DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
D´ eterminant de Gram
Dans tout le probl`eme,E d´esigne un espace vectoriel r´eel de dimension non nulle (´eventuellement infinie), et muni d’un produit scalaire. Le produit scalaire de deux vecteursuetv est not´eu·v, la norme d’un vecteur uest not´eekuk(=√
u·u). De plus, dans les trois premi`eres parties,E d´esigne un espace eudidien de dimension n(n>2).
Partie A – D´ eterminant de Gram en dimension 3
Dans cette partie,n= 3 etE est l’espace affine euclidien canonique orient´eR3.
Si u, v, wsont trois vecteurs quelconques deE , on note Gram(u, v, w) la matrice d´efinie par : Gram(u, v, w) =
u·u u·v u·w v·u v·v v·w w·u w·v w·w
et G(u, v, w) = det (Gram(u, v, w)) A.1CalculerG(u, v, w) siu, v, w sont trois vecteurs deux `a deux orthogonaux.
A.2On supposew orthogonal `a uet v. Exprimer G(u, v, w) en fonction deG(u, v) et dekwk, o`u G(u, v) = det
u·u u·v v·u v·v
.
A.3 u, v, w sont trois vecteurs deE et B une base orthonormale deE. Montrer que le r´eel|detB(u, v, w)|
ne d´epend pas du choix deB.
On admet (provisoirement) queG(u, v, w) = (detB(u, v, w))2.
Pour u, vvecteurs quelconques deE,u∧v d´esigne le produit vectoriel deuparv.
Rappel :SiB est une base orthonorm´ee directe deE, pour tout ´el´ementy deE on a detB(u, v, y) = (u∧v)·y.
A.4Montrer queku∧vk2=G(u, v).
Partie B – D´ eterminant de Gram en dimension finie
Soientu1, . . . , un nvecteurs de E. Pour touti, tout j, entiers de [[1, n]], on notegi,j=ui·uj.
On note Gram(u1, . . . , un) la matrice (appel´ee matrice de Gram) carr´ee de taille n, de coefficientgi,j en position (i, j), et le d´eterminant de cette matrice (appel´ed´eterminant de Gram) est not´e
G(u1, . . . , un) = det (Gram(u1, . . . , un))
SoitB= (e1, . . . , en) une base orthonorm´ee deE. On pose, pour tout entierj de [[1, n]]
uj =
n
X
k=1
uk,jek
B.1 Exprimer, pour tout i, tout j, entiers de [[1, n]], le r´eel gi,j en fonction des coordonn´ees des vecteurs u1, . . . , un dans la baseB.
B.2
a SoitA= (ui,j)16i,j6n∈ Mn(R). Montrer que
Gram(u1, . . . , un) =tAA bEn d´eduire queG(u1, . . . , un) est un r´eel positif.
cMontrer que
G(u1, . . . , un)6= 0 ⇐⇒ (u1, . . . , un) libre
Partie C – Une propri´ et´ e des ellipses
Dans cette partie, n = 2, et E est le plan affine euclidien canonique orient´eR2. On note (e1, e2) sa base canonique.
On munit Ed’un autre produit scalaire not´ef1. Soit (u1, u2), (u01, u02) deux bases orthonormalespour f1. C.1On noteA=P(e1,e2)→(u1,u2),S=P(u1,u2)→(u0
1,u02) etA0 =P(e1,e2)→(u0
1,u02). a Donner le lien entre ces trois matrices.
bLaquelle de ces matrices est-elle assur´ement orthogonale ?
cMontrer queG1=tSG0S, avecG0= Gram(u1, u2) etG1= Gram(u01, u02).
C.2Montrer : G(u1, u2) =G(u01, u02) etku1k2+ku2k2=ku01k2+ku02k2.
(O;i, j) est un rep`ere orthonorm´e du plan euclidienE. On consid`ere deux nombres r´eels strictement positifs aetbet on d´efinit la courbeC d’´equation :
x2 a2 +y2
b2 = 1, o`uxety d´esignent les coordonn´ees dans le rep`ere (O;i, j).
C.3Pouruetv, vecteurs deE, de coordonn´ees (x, y) et (x0, y0) dans la base (i, j) on note f1(u, v) = xx0
a2 +yy0 b2 . Montrer qu’on d´efinit ainsi un nouveau produit scalaire dansE.
C.4SoitM un point quelconque deCetT la tangente `aCenM. SoitDla droite passant parOet parall`ele
`
aT etM0 un ´el´ement deC ∩ D.
Montrer quef1(−−→
OM ,−−−→ OM0) = 0.
C.5Montrer queOM2+OM02=a2+b2 et queG(−−→
OM ,−−−→
OM0) =a2b2.u, v, w sont trois vecteurs deE et B une base orthonormale deE. Montrer que le r´eel|detB(u, v, w)|ne d´epend pas du choix deB.
Partie D – Exemple de convergence en moyenne quadratique
Dans toute la suite,E n’est plus forc´ement de dimension finie. Siu1, . . . , ursontrvecteurs deE (r∈N∗), on note, comme dans la partie B,G(u1, . . . , ur) le d´eterminant de la matrice deMr(R) de coefficientui·uj en position (i, j).
Soit (e1, . . . , ep) une famille libre dep(∈N∗) vecteurs deE etF = Vect(e1, . . . , ep). Pour toutx´el´ement de E, on notexF le projet´e orthogonal de xsurF.
D.1 Soit x ∈ E. Il existe un unique p-uplet (λ1, . . . , λp) de r´eels tel que xF =
p
X
k=1
λkek. En utilisant les formules de Cramer, exprimer, pour toutk∈[[1, p]],λk en fonction des vecteurse1, . . . , ep, x.
Indication :on pourra trouver un syst`eme carr´e dont les inconnues sontλ1, . . . , λp, obtenu en remarquant que x−xF est orthogonal `ae1, . . . , ep.
D.2Soitx∈E. Montrer que le r´eeld(x, F) d´efini pard(x, F) =inf
kx−fk ; f ∈ F , v´erifie : d(x, F)2=x·(x−xF)
D.3Soitx∈E. Montrer que
d(x, F) = s
G(x, e1, . . . , ep) G(e1, . . . , ep)
Indication :Effectuer l’op´erationC1←C1−
p
X
k=1
λkCk+1 sur les colonnesC1, . . . , Cp+1 de Gram(x, e1, . . . , ep).
Dans toute la suite du probl`eme,E d´esigneR[X] muni du produit scalaire P·Q=
Z 1 0
P(t)Q(t) dt.
D.4Pourn entier non nul, on noteEn= Vect(X, . . . , Xn). V´erifier que En est un sous-espace vectoriel de E de dimensionn.
D.5Pournentier non nul, on note :
un= inf (Z 1
0
1−
n
X
i=1
aiti2
dt; (a1, . . . , an)∈ Rn )
En interpr´etantun comme le carr´e d’une distance d’un vecteur `a un sous-espace vectoriel deE, exprimer un en fonction de d´eterminants de Gram.
Pour toute suite finie (λ1, . . . , λm) de r´eels positifs ou nuls (m ∈N∗), on d´efinit la matrice C(λ1, . . . , λm) comme la matrice carr´ee de taillem, de terme g´en´eral (de position (i, j)) λ 1
i+λj+1, et on noteD(λ1, . . . , λm) le d´eterminant deC(λ1, . . . , λm).
D.6D´eduire de D.3 et de D.5 que
un= D(0,1,2, . . . , n) D(1,2, . . . , n) =
det
1 12 13 . . . n+11
1 2
1 3
1
4 . . . n+21
1 3
1 4
1
5 . . . n+31 ... ... ... ...
1 n+1
1
n+2 . . . 2n+11
det
1 3
1
4 . . . n+21
1 4
1
5 . . . n+31
1 5
1
6 . . . n+41 ... ... ...
1
n+2 . . . 2n+11
D.7Pour tout entier naturel non nuln, on consid`ere la fraction rationnelle
ψn(X) = det
1 X+1
1 2
1
3 . . . n+11
1 X+2
1 3
1
4 . . . n+21
1 X+3
1 4
1
5 . . . n+31 ... ... ... ...
1 X+n+1
1
n+2 . . . 2n+11
Montrer que l’on peut trouver un r´eelαn tel que ψn=αn
(X−1)(X−2). . .(X−n) (X+ 1)(X+ 2). . .(X+n+ 1)
D.8En exprimant de deux mani`eres diff´erentes la partie polaire deψn relativement au pˆole−1 (une par la m´ethode classique, la donnant en fonction deαn, l’autre grˆace `a l’expression deψn sous forme de d´eterminant), relierαn etD(1,2, . . . , n).
D.9En d´eduire queun=(n+1)1 2.
Indication : Calculerψn(0) de deux fa¸cons diff´erentes.
Remarque :Pour tout entier non nul n, il existe un unique polynˆomePn∈En (Pn est le projet´e orthogonal de 1 surEn) tel que k1−Pnk=√
un = n+11 . Il est donc prouv´e que la suite (Pn) (dont les ´el´ements sont des polynˆomes) tend, pour la norme d´eduite du produit scalaire sur E, vers 1. Le r´esultat est en fait bien plus g´en´eral (cf. Centrale 99 PSI MII, dont ce sujet est inspir´e).
