Universit´e Libanaise Examen Final
ISAE - CNAM Juillet 2014
MVA003 - Automates, codes et matrices dur´ee: 2h - documents non autoris´es
Exercice 1 (4 points)Reproduire cette table dans votre copie, puis r´epondre par V (Vraie) ou F (Faux) aux questions suivantes
question a b c d e f g h
r´eponse
a) Un code lin´eaire de distance 21 peut d´etecter 20 erreurs et corriger 10 b) La forme r´eduite ´echellonn´ee d’une matrice A est unique
c) Le mot ababbabappartient au lanagage L= (a+ba)∗
d) La matrice
1 1 1
0 1 2
0 0 −1
est inversible
e) Le langage d´efini par l’expression L= (ab)∗b∪a+b∗aest r´egulier
f) Si C1 etC2 sont deux codes lin´eaires, alorsC1∩C2 est aussi un code lin´eaire g) L’automate suivant
1 a - 2 b - 3
-
λ
accepte la langage (ab)∗
h) Les 3 mots 001,010 et 011 sont lin´eairement d´ependants
Exercice 2 (5 points) a) Donner la forme r´eduite ´echellonn´ee de la matrice suivante:
1 2 2 −1 2 −2 −3
3 6 0 2 0 0 6
−1 −2 1 1 1 −1 3
b) Calculer le d´eterminant de la matrice
A=
1 1 4 7
1 4 1 −2
4 1 0 1
2 −1 0 1
T.S.V.P
Exercice 3 (5 points) On consid`ere l’AFN ci-dessous d´efini sur Σ ={a, b},
2
1 3
4
- - -
R
3
b a
λ
a b
a) Donner tous les mots de longueur 4 accept´es par cet automate
b) Utiliser le lemme de d´epart pour trouver le langage accept´e par cet AFN c) Convertir cet AFN `a un AFD ´equivalent
Exercice 4 (6 points) SoitC le code binaire dont la matrice g´en´eratriceGest la suivante
G=
0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1
a) Mettre Gsous forme r´eduite ´echellonn´ee, puis pr´eciser la dimension de ce code b) Donner la distance de C; combien d’erreurs ce code peut d´etecter ? corriger ?
c) Donner un mot qui ne peut pas ˆetre corrig´e par C d) Donner la matrice de contrˆoleH du codeC
e) Le mot u= 0011110 est-il un mot du code ? sinon peut-il ˆetre corrig´e ? - mˆeme question pour le motv= 1111001
