Math´ematiques 3 Semaine du 30 novembre L2 CUPGE - automne 2020
Colle – D´ eterminant et r´ eduction d’endomorphismes
On travaille syst´ematiquement sur des espaces vectoriels sur K=R ou C.
— Formes multilin´eaires, formes altern´ees, si V espace vectoriel de dimension n alors les formes n-lin´eaires altern´ees forment un espace vectoriel de dimension 1.
— D´eterminant dans une base, construction par r´ecurrence sur la dimension avec la formule du d´eveloppement par ligne
— Une famille de nvecteurs est libre ssi son d´eterminant dans une base est non nul
— D´eterminant d’un endomorphisme, multiplicativit´e. Le d´eterminant d’un endomorphisme est non nul ssi l’endomorphisme est bijectif
— D´eterminant d’une matrice, le d´eterminant est non nul ssi la matrice est inversible, multiplica- tivit´e, le d´eterminant d’une matrice est ´egal `a celui de sa transpos´ee (admis).
— Op´erations sur les lignes et colonnes, effet sur le d´eterminant.
— Formule de d´eveloppement sur une ligne ou sur une colonne, d´eterminant d’une matrice trian- gulaire sup´erieure.
— R´eduction : d´efinition des vecteurs propres, valeurs propres, espaces propres
— D´efinition du polynˆome caract´eristique.
— Les racines du polynˆome caract´eristique sont les valeurs propres, lien entre dimension de l’espace propre et multiplicit´e dans le polynˆome caract´eristique.
— Le polynˆome caract´eristique est scind´e avec les racines qui ont pour multiplicit´e les dimensions des espaces propres ssi l’endomorphisme est diagonalisable.
Questions de cours
— Donner la formule de d´eveloppement en ligne d’une matrice.
— ´Enoncer et d´emontrer les effets sur le d´eterminant des op´erations sur les colonnes sur une matrice (´echange deCi etCj,Ci←Ci+λCj et enfinCi ←λCi (avecj 6=ietλ∈K)).
— D´efinir : vecteur propre, valeur propre, espace propre, et montrer que les espaces propres associ´es
`
a des valeurs propres distinctes sont en somme directe.
— Montrer que sif est un endomorphisme deV de dimension finie, etλ∈Kest une valeur propre, la dimension de l’espace propre de la valeur propreλest born´ee par la multiplicit´e deλdans le polynˆome caract´eristique de f.
Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques
