une colonne . . . . 11 3 D´ eterminant d’un endomorphisme 13 4 Autres applications des d´ eterminants 14 4.1 Syst` emes lin´ eaires . . . . 14 4.2 Equation des hyperplans vectoriels . . . . ´ 15

1 D´ eterminant d’une matrice carr´ ee 3 2 Propri´ et´ es du d´ eterminant 6 2.1 Op´ erations ´ el´ ementaires . . . . 6 2.2 Inversibilit´ e . . . . 8 2.3 D´ eterminant d’une famille de vecteurs . . . . 9 2.4 D´ eterminant d’un produit . . . . 10 2.5 D´ eterminant de la transpos´ ee . . . . 11 2.6 D´ eveloppement par rapport ` a une ligne ou

une colonne . . . . 11 3 D´ eterminant d’un endomorphisme 13 4 Autres applications des d´ eterminants 14 4.1 Syst` emes lin´ eaires . . . . 14 4.2 Equation des hyperplans vectoriels . . . . ´ 15

Mathieu Mansuy - Professeur de Math´ ematiques en sup´ erieures PCSI au Lyc´ ee Saint Louis (Paris)

mansuy.mathieu@hotmail.fr

Introduction

On se place dans R

²

muni de sa base canonique que l’on note ( ~i,~j).

Soit ~ u, ~ v deux vecteurs de R

²

, et P

_~u,~v

le parall´ elogramme port´ e par les vecteurs ~ u et ~ v : P

_~u,~v

= {α~ u + β~ v | α, β ∈ [0, 1]}

On note A(P

_~u,~v

) l’aire alg´ ebrique de P

_~u,~v

c’est ` a dire que l’aire de P

_~u,~v

est compt´ ee :

ˆ positivement si une mesure de l’angle (~ u, ~ v) appartient ` a [0, π].

ˆ n´ egativement si une mesure de l’angle (~ u, ~ v) appartient ` a ] − π, 0[.

~ u

₁

~ u

2

~i

~j

Soit u ~

1

, ~ u

2

, ~ v

1

, ~ v

2

∈ R

²

. Soit λ ∈ R . On a les propri´ et´ es suivantes : (1) A(P

_{u~1+u~2, ~v1}

) = A(P

_{u~1, ~v1}

) + A(P

_{u~2, ~v1}

)

(2) A(P

_{λ ~u1, ~v1}

) = λA(P

_{u~1, ~v1}

) (3) A(P

_{v~1, ~u1}

) = −A(P

_{u~1, ~v1}

)

(4) A(P

_{u~1, ~u1}

) = 0

(5) A(P

_~i,~j

) = 1.

Propri´ et´ e 1

Preuve.

(1) ~i

~j u ~

1

~

u

₂

u ~

₃

(2)

~ u

1

~ u

₂

~i

~j

Corollaire.

(6) A(P

_{u~1,λ ~v1}

) = λA(P

_{u~1, ~v1}

) (7) A(P

_{u~1, ~v1+v~2}

) = A(P

_{u~1, ~v1}

) + A(P

_{u~1, ~v2}

)

G´ en´ eralisons ceci en dimension finie quelconque.

1 D´ eterminant d’une matrice carr´ ee

Dans tout le chapitre K d´ esignera R ou C, et n sera un entier naturel sup´ erieur ou ´ egal ` a 2.

Dans toute cette section, on identifiera la matrice A ∈ M

_n

(K) avec le n-uplet de ses colonnes (C

₁

(A), . . . , C

_n

(A)) ∈ M

_n,1

( K )

ⁿ

. En particulier, pour f : M

_n

( K ) → K une application et A ∈ M

_n

( K ), on notera indiff´ eremment f (A) ou f (C

₁

(A), . . . , C

_n

(A)) la valeur prise par f en A.

D´ efinition.

Soit f : M

_n

( K ) → K une application. On dit que :

ˆ f est multilin´ eaire si f est lin´ eaire par rapport ` a chaque colonne des matrices de M

_n

( K ) : pour tout C

₁

, . . . , C

_n

∈ M

_n,1

( K ), pour tout j ∈ [|1, n|],

X 7→ f (C

₁

, . . . , C

j−1

, X, C

_j+1

, . . . , C

_n

) est lin´ eaire de M

_n,1

( K ) dans K .

ˆ f est antisym´ etrique si pour tout C

1

, . . . , C

n

∈ M

_n,1

( K ), pour tout 1 ≤ i < j ≤ n, f (C

1

, . . . , C

i

, . . . , C

j

, . . . , C

n

) = −f(C

₁

, . . . , C

j

, . . . , C

i

, . . . , C

n

).

ˆ f est altern´ ee si pour tout C

₁

, . . . , C

_n

∈ M

_n,1

( K ), pour tout 1 ≤ i < j ≤ n, C

i

= C

j

⇒ f (C

1

, . . . , C

n

) = 0.

Exemple. L’application f :

M

_2,1

( R )

²

→ R a

c

, b

d

7→ A(P

(a,c),(b,d)

) est multilin´ eaire (bilin´ eaire), anti- sym´ etrique et altern´ ee.

Soit f : M

_n

( K ) → K une application multilin´ eaire. On a l’´ equivalence suivante : f est antisym´ etrique ⇔ f est altern´ ee .

Propri´ et´ e 2

Preuve.

⇒ Soient C

₁

, . . . , C

_n

∈ M

_n,1

( K ). Supposons que C

_i

= C

_j

pour 1 ≤ i < j ≤ n, alors :

f (C

1

, . . . , C

i

, . . . , C

j

, . . . , C

n

) = −f (C

1

, . . . , C

j

, . . . , C

i

, . . . , C

n

) = −f (C

1

, . . . , C

i

, . . . , C

j

, . . . , C

n

).

Donc 2f(C

₁

, . . . , C

_i

, . . . , C

_j

, . . . , C

_n

) = 0 et f (C

₁

, . . . , C

_i

, . . . , C

_j

, . . . , C

_n

) = 0.

⇐ Supposons que f est altern´ ee. Consid´ erons C

₁

, . . . , C

_n

∈ M

_n,1

( K ) et 1 ≤ i < j ≤ n. On a : 0 = f (C

1

, . . . , C

i

+ C

j

, . . . , C

i

+ C

j

, . . . C

n

)

= f (C

₁

, . . . , C

_i

, . . . , C

_i

+ C

_j

, . . . C

_n

) + f (C

₁

, . . . , C

_j

, . . . , C

_i

+ C

_j

, . . . C

_n

)

= f (C

₁

, . . . , C

_i

, . . . , C

_i

, . . . C

_n

) + f (C

₁

, . . . , C

_i

, . . . , C

_j

, . . . C

_n

) + f (C

₁

, . . . , C

_j

, . . . , C

_i

, . . . C

_n

) + f (C

₁

, . . . , C

_j

, . . . , C

_j

, . . . C

_n

)

= f (C

1

, . . . , C

i

, . . . , C

j

, . . . C

n

) + f(C

1

, . . . , C

j

, . . . , C

i

, . . . C

n

)

Ainsi, on a bien f(C

₁

, . . . , C

_i

, . . . , C

_j

, . . . , C

_n

) = −f (C

₁

, . . . , C

_j

, . . . , C

_i

, . . . , C

_n

).

Il existe une unique application f : M

_n

( K ) → K satisfaisant les propri´ et´ es suivantes :

ˆ f est multilin´ eaire ;

ˆ f est antisym´ etrique (et donc altern´ ee ´ egalement) ;

ˆ f (I

n

) = 1.

Propri´ et´ e 3

D´ efinition.

Cette application est appel´ ee d´ eterminant et not´ ee det. Si A ∈ M

_n

( K ), alors det(A) ∈ K est appel´ e le d´ eterminant de la matrice A.

Notation. Si A =











a

_1,1

a

_1,2

. . . a

_1,n

a

2,1

a

2,2

. . . a

2,n

.. . .. . .. . a

n,1

a

n,2

. . . a

n,n











, on note det(A) =

a

_1,1

a

_1,2

. . . a

_1,n

a

2,1

a

2,2

. . . a

2,n

.. . .. . .. . a

n,1

a

n,2

. . . a

n,n

.

Preuve pour n = 2. On raisonne par analyse-synth` ese :

ˆ Analyse. Supposons qu’une telle application f : M

₂

( K ) → K existe, et soit A = a b

c d

∈ M

₂

(K). Notons e

1

=

1 0

, e

2

= 0

1

∈ M

_2,1

(K). On a : f(A) = f ((ae

1

+ ce

2

), be

1

+ de

2

)

= abf (e

1

, e

1

) + adf (e

1

, e

2

) + cbf (e

2

, e

1

) + cdf (e

2

, e

2

)

= (ad − bc)f (I

2

) = ad − bc

ˆ Synth` ese. On v´ erifie sans difficult´ e que f : M

₂

(K) → K, a b

c d

7→ ad − bc est bien une application multilin´ eaire, antisym´ etrique et telle que f(I

2

) = 1.

Soit A = a b

c d

∈ M

₂

( K ). On a :

det(A) = ad − bc.

Propri´ et´ e 4

Exercice. D´ eterminer l’expression explicite de det pour n = 3.

ˆ Analyse. Supposons avoir f qui convient. Soit A =





x

₁

y

₁

z

₁

x

2

y

2

z

2

x

3

y

3

z

3



. Par lin´ earit´ e par rapport

`

a chaque colonne, on a : f (A) = x

1

f





1 y

₁

z

₁

0 y

2

z

2

0 y

₃

z

₃



 + x

2

f





0 y

₁

z

₁

1 y

2

z

2

0 y

₃

z

₃



 + x

3

f





0 y

₁

z

₁

0 y

2

z

2

1 y

₃

z

₃





= x

1

y

1

f





1 1 z

₁

0 0 z

2

0 0 z

₃



 + x

1

y

2

f





1 0 z

₁

0 1 z

2

0 0 z

₃



 + x

1

y

3

f





1 0 z

₁

0 0 z

2

0 1 z

₃





+ x

2

y

1

f





0 1 z

₁

1 0 z

2

0 0 z

₃



 + x

2

y

2

f





0 0 z

₁

1 1 z

2

0 0 z

₃



 + x

2

y

3

f





0 0 z

₁

1 0 z

2

0 1 z

₃





+ x

3

y

1

f





0 1 z

₁

0 0 z

2

1 0 z

3



 + x

3

y

2

f





0 0 z

₁

0 1 z

2

1 0 z

3



 + x

3

y

3

f





0 0 z

₁

0 0 z

2

1 1 z

3





= x

1

y

2

z

3

f





1 0 0 0 1 0 0 0 1



 + x

1

y

3

z

2

f





1 0 0 0 0 1 0 1 0



 + x

2

y

1

z

3

f





0 1 0 1 0 0 0 0 1



 + x

2

y

3

z

1

f





0 0 1 1 0 0 0 1 0





+ x

3

y

1

z

2

f





0 1 0 0 0 1 1 0 0



 + x

3

y

2

z

1

f





0 0 1 0 1 0 1 0 0





= (x

₁

y

₂

z

₃

− x

₁

y

₃

z

₂

− x

₂

y

₁

z

₃

+ x

₂

y

₃

z

₁

+ x

₃

y

₁

z

₂

− x

₃

y

₂

z

₁

)f (I

₃

)

= x

1

y

2

z

3

− x

1

y

3

z

2

− x

2

y

1

z

3

+ x

2

y

3

z

1

+ x

3

y

1

z

2

− x

3

y

2

z

1

donc on a unicit´ e.

ˆ Synth` ese. Posons f : M

₃

( K ) → K ,





x

1

y

1

z

1

x

₂

y

₂

z

₂

x

3

y

3

z

3



 7→ x

₁

y

₂

z

₃

− x

₁

y

₃

z

₂

− x

₂

y

₁

z

₃

+ x

₂

y

₃

z

₁

+ x

₃

y

₁

z

₂

−x

₃

y

₂

z

₁

. On v´ erifie ensuite que f est lin´ eaire et antisym´ etrique par rapport aux colonnes, et que f (I

3

) = 1 donc on a existence.

Remarque. Pour n ≥ 2 quelconque, on a l’expression explicite suivante du d´ eterminant d’une matrice A = (a

i,j

) ∈ M

_n

(K).

det(A) = X

σ∈S_n

ε(σ)a

_σ(1),1

a

_σ(2),2

. . . a

_σ(n),n

,

ou la somme est prise sur l’ensemble des bijections (permutations) de {1, . . . , n} dans lui-mˆ eme, et o` u ε est ce qu’on appelle la signature de σ. Cette formule n’est pas ` a savoir (hors programme), mais il est int´ eressant de retenir que det(A) est une fonction polynomiale en les coefficients de la matrice A.

Un d´ eterminant est ainsi continu, de classe C

^k

... si les coefficients le sont.

Remarque.

ˆ Consid´ erons f :

M

₂

( R ) → R A =

a b

c d

7→ A(P

(a,c),(b,d)

) . On a vu que f est multilin´ eaire (par rapport ` a chacune de ses colonnes), antisym´ etrique. De plus f v´ erifie f(I

n

) = 1. Par unicit´ e, on a donc f = det. Ainsi en notant ~ u = (a, c), ~ v = (b, d) ∈ R

²

, on en d´ eduit que det (A) est l’aire alg´ ebrique du parall´ elogramme construit sur les vecteurs ~ u, ~ v : det(A) = A(P

_~u,~v

).

ˆ Dans R

³

: soit ~ u = (a

1

, a

2

, a

3

), ~ v = (b

1

, b

2

, b

3

) et w ~ = (c

1

, c

2

, c

3

) ∈ R

³

. On peut montrer que

det









a

1

b

1

c

1

a

₂

b

₂

c

₂

a

₃

b

₃

c

₃









est le volume du parall´ el´ epip` ede engendr´ e par les vecteurs ~ u, ~ v et w. ~

Donnons les premi` eres propri´ et´ es sur le d´ eterminant d’une matrice.

Soit A ∈ M

_n

( K ) une matrice carr´ e.

(1) Si une colonne de A est nulle, alors det(A) = 0.

(2) Si deux colonnes de A sont ´ egales, alors det(A) = 0.

(3) Pour tout λ ∈ K , det(λ · A) = λ

ⁿ

det(A) (Attention ` a ne pas se tromper ici !) Propri´ et´ e 5

Preuve. Les points (1) et (3) d´ ecoulent imm´ ediatement de la multilin´ earit´ e, le point (2) d´ ecoule de

det altern´ ee.

2 Propri´ et´ es du d´ eterminant

2.1 Op´ erations ´ el´ ementaires

Rappel. Matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires.

Pour 1 ≤ i, j ≤ n et λ ∈ K , on a d´ efini les matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires suivantes :

ˆ matrice de dilatation (λ 6= 0) : D

_i

(λ) =















 1

. ..

λ . ..

1

















∈ M

_n

( K ).

ˆ matrice de transposition : P

i,j

=















 1

1

1 1

















∈ M

_n

(K).

ˆ matrice de transvection : T

i,j

(λ) =















 1

. .. λ 1

. ..

1

















∈ M

_n

( K ).

Soit 1 ≤ i, j ≤ n, λ ∈ K et A ∈ M

_n

( K ). On a : (1) det(AD

i

(λ)) = λ det(A) (λ 6= 0) ;

(2) det(AP

_i,j

) = − det(A) ; (3) det(AT

_i,j

(λ)) = det(A).

Propri´ et´ e 6

Preuve.

(1) AD

_i

(λ) est la matrice obtenue en appliquant C

_i

← λC

_i

` a A. Par multilin´ earit´ e de det, on a bien det(AD

_i

(λ)) = λ det(A).

(2) AP

i,j

est la matrice obtenue en appliquant C

i

↔ C

j

` a A. Par antisym´ etrie de det, on a bien det(AP

_i,j

) = − det(A)

(3) AT

_i,j

(λ) est la matrice obtenue en appliquant C

_j

← C

_j

+ λC

_i

` a A. Par multilin´ earit´ e de det qui est altern´ ee, on a bien det(AT

i,j

(λ)) = det(A).

Remarque. Pour A = I

_n

, on obtient :

det(D

i

(λ)) = λ ; det(P

i,j

) = −1 ; det(T

i,j

(λ)) = 1.

En particulier si E est une matrice d’op´ eration ´ el´ ementaire, alors det(E) 6= 0 et pour toute matrice A ∈ M

_n

( K ), det(A × E) = det(A) × det(E).

Soit T = (t

_i,j

) ∈ M

_n

( K ) une matrice triangulaire (sup´ erieure ou inf´ erieure) ou diagonale.

Alors :

det(T ) = t

1,1

t

2,2

. . . t

n,n

. Propri´ et´ e 7 (D´ eterminant d’une matrice triangulaire)

Preuve. Traitons le cas o` u T est triangulaire sup´ erieure (la preuve est la mˆ eme si T est triangulaire inf´ erieure). La preuve consiste ` a appliquer l’algorithme de Gauss sur les colonnes de T.

En utilisant la lin´ earit´ e sur la premi` ere colonne et les op´ erations ´ el´ ementaires, on obtient :

t

_1,1

t

_1,2

. . . t

_1,n

0 t

2,2

. . . t

2,n

.. . .. . .. . 0 0 . . . t

n,n

= t

_1,1

×

1 t

_1,2

. . . t

_1,n

0 t

2,2

. . . t

2,n

.. . .. . .. . 0 0 . . . t

n,n

Ci←C

=

_i−t_1,iC1

t

_1,1

×

1 0 . . . 0

0 t

2,2

. . . t

2,n

.. . .. . .. . 0 0 . . . t

n,n

En poursuivant l’algorithme de Gauss sur les colonnes de T , on obtient ainsi :

t

1,1

t

1,2

. . . t

1,n

0 t

2,2

. . . t

2,n

.. . .. . .. . 0 0 . . . t

n,n

= t

_1,1

t

_2,2

. . . t

_n,n

1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 .. . .. . .. . 0 0 . . . 1

= t

_1,1

t

_2,2

. . . t

_n,n

.

I Pour calculer le d´ eterminant d’une matrice A ∈ M

_n

(K), on applique l’algorithme de Gauss sur les colonnes de la matrice. On se ram` ene ainsi ` a une matrice ´ echelonn´ ee triangulaire inf´ erieure (inutile de la r´ eduire) dont le calcul du d´ eterminant est ais´ e.

Exemple. Calculer le d´ eterminant des matrices A =





1 1 1 1 2 4 1 3 8



 et B =





1 2 3 4 0 4 3 2 1



.

ˆ

1 1 1 1 2 4 1 3 8

= C

2

← C

2

− C

1

C

3

← C

3

− C

1

1 0 0 1 1 3 1 2 7

= C

3

← C

3

− 3C

2

1 0 0 1 1 0 1 2 1

= 1.

ˆ det(B ) = 32.

Exercice. Calculer

a 1 . . . 1 1 1 a . . . 1 1 .. . .. . .. . .. . 1 1 . . . a 1 1 1 . . . 1 a .

∆ = =

C1←Pn i=1Ci

a + n + 1 1 . . . 1 1 a + 1 + n a . . . 1 1 .. . .. . .. . .. . a + n + 1 1 . . . a 1 a + n + 1 1 . . . 1 a

= (a + n + 1)

1 1 . . . 1 1 1 a . . . 1 1 .. . .. . .. . .. . 1 1 . . . a 1 1 1 . . . 1 a

Ci←C

=

_i−C1

(a + n + 1)

1 0 . . . 0

1 a − 1 0 .. .

.. . 0 . .. . .. .. .

1 .. . 0 a − 1 0

1 0 · · · 0 a − 1

= (a + n − 1)(a − 1)

ⁿ⁻¹

. 2.2 Inversibilit´ e

Soit A ∈ M

_n

(K). Alors :

A est inversible ⇔ det(A) 6= 0.

Th´ eor` eme 8

Preuve.

⇒ Supposons que A soit inversible. Alors on sait que A est produit de matrices d’op´ erations

´ el´ ementaires : il existe E

1

, . . . , E

_k

matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires telles que A = E

1

×· · ·×E

_k

. On en d´ eduit alors que :

det(A) = det(E

₁

× · · · × E

_k

) = det(E

₁

× · · · × E

_k−1

) det(E

_k

) = · · · = det(E

₁

) × · · · × det(E

_k

) 6= 0.

⇐ Soit A ∈ M

_n

( K ). On sait qu’il existe une matrice R ´ echelonn´ ee r´ eduite par colonnes et E = E

1

× · · · × E

k

un produit de matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires telles que :

A = RE.

Supposons que A ne soit pas inversible, alors le nombre de pivots dans la matrice R est < n. En d’autres termes, R contient au moins une colonne nulle, et det(R) = 0. On obtient alors :

det(A) = det(RE) = det(R) × det(E

₁

) × · · · × det(E

_n

) = 0.

Exemple. Les matrices A =





1 1 1 1 2 4 1 3 8



 et B =





1 2 3 4 0 4 3 2 1



 sont inversibles.

La matrice C

a

=















a 1 . . . 1 1 1 a . . . 1 1 .. . .. . .. . .. . 1 1 . . . a 1 1 1 . . . 1 a















est inversible si et seulement si det(C

a

) = (a+n−1)(a−1)

ⁿ⁻¹

6= 0

soit si et seulement si a 6= 1 et a 6= 1 − n.

Remarque. On retrouve ici qu’une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ces coefficients diagonaux sont non nuls.

2.3 D´ eterminant d’une famille de vecteurs D´ efinition.

Soit E un K -espace vectoriel de dimension n, B = (e

1

, . . . , e

n

) une base de E. Soit F = (v

1

, . . . , v

n

) une famille de vecteurs de E.

ˆ On appelle matrice des coordonn´ ees de la famille F dans la base B la matrice not´ ee M at

B

(F) = (a

_i,j

) ∈ M

_n

( K ) d´ efinie par :

∀1 ≤ j ≤ n, v

_j

=

n

X

i=1

a

_i,j

e

_i

.

ˆ On appelle d´ eterminant de la famille F dans la base B et on note det

B

(F), le d´ eterminant det(M at

B

(F )).

L’application det

B

: E

ⁿ

→ K, (v

1

, . . . , v

n

) 7→ det

B

(v

1

, . . . , v

n

) satisfait les propri´ et´ es suiv- antes :

(1) det

B

est multilin´ eaire, c’est ` a dire det

B

est lin´ eaire par rapport ` a chacun des n vecteurs

;

(2) det

B

est antisym´ etrique : il change de signe lorsqu’on permute deux vecteurs ; (3) det

B

est altern´ ee : il est nul si deux vecteurs sont ´ egaux ;

(4) det

B

(e

₁

, . . . , e

_n

) = 1.

Propri´ et´ e 9

Preuve. Les trois premiers points d´ ecoulent de la d´ efinition mˆ eme de det

B

et des propri´ et´ es analogues satisfaites par le d´ eterminant d’une matrice. Pour le dernier point, il suffit de noter que M at

B

(B) = I

n

,

et donc det

B

(e

1

, . . . , e

n

) = det(I

n

) = 1.

Avec les notations pr´ ec´ edentes, on a l’´ equivalence :

F est une base de E ⇔ det

B

(F) 6= 0.

Th´ eor` eme 10

Preuve.

F est une base de E ⇔ M at

B

(F ) inversible ⇔ det

B

(F) = det(M at

_B

(F)) 6= 0.

Exemples. Montrer que ((1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 2, 1)) est une base de R

³

.

Exercice. Soient a

1

, . . . , a

n

∈ R . Montrer que

cos(a

₁

+ a

₁

) cos(a

₁

+ a

₂

) . . . cos(a

₁

+ a

_n

) cos(a

₂

+ a

₁

) cos(a

₂

+ a

₂

) . . . cos(a

₂

+ a

_n

)

.. . .. . .. .

cos(a

n

+ a

1

) cos(a

n

+ a

2

) . . . cos(a

n

+ a

n

)

= 0.

Il suffit de noter que toutes les colonnes de ce d´ eterminant appartiennent au sous-espace V ect(C, S ) avec C = (cos(a

₁

), . . . , cos(a

_n

)), S = (sin(a

₁

), . . . , sin(a

_n

)).

Interpr´ etation g´ eom´ etrique du d´ eterminant d’une famille de vecteurs

On se place dans le plan R

²

muni de la base canonique B. Soient u, v ∈ R

²

. Alors | det

B

(u, v)| est l’aire du parall´ elogramme d´ efini par les vecteurs u et v.

Si B est la base canonique de R

³

et u, v, w ∈ R

³

des vecteurs, alors |det

_B

(u, v, w)| est le volume du parall´ el´ epip` ede form´ e par ces trois vecteurs.

Remarques. On retrouve en particulier le th´ eor` eme pr´ ec´ edent : (u, v) est une base ssi u et v ne sont pas colin´ eaires, ssi le parall´ elogramme est non aplati, ssi son aire est > 0, ssi |det

B

(u, v)| 6= 0.

2.4 D´ eterminant d’un produit

Remarque. Soit A ∈ M

_n

( K ). On a d´ ej` a montr´ e que si E est une matrice d’op´ eration ´ el´ ementaire, ou plus g´ en´ eralement un produit de telles matrices, alors :

det(A × E) = det(A) × det(E).

Soient A, B ∈ M

_n

(K). Alors :

det(A × B) = det(A) × det(B).

En particulier si A est inversible, alors det(A

⁻¹

) = 1 det(A) . Propri´ et´ e 11

Preuve. Si B est inversible, le r´ esultat d´ ecoule de la remarque pr´ ec´ edente en se rappelant que toute matrice inversible peut s’´ ecrire comme produit de matrices d’op´ erations ´ el´ ementaires. Si B n’est pas inversible, alors A × B n’est pas inversible non plus

¹

, et l’identit´ e est imm´ ediate puisque det(AB) = 0 = det(B).

Enfin si A est inversible, alors :

det(A) × det(A

⁻¹

) = det(I

_n

) = 1.

Attention. det(A + B) 6= det(A) + det(B ).

Corolaire. Soit A ∈ M

_n

( K ), P ∈ GL

_n

( K ) et p ∈ N . On a : det(A

^p

) = det(A)

^p

det(P

⁻¹

AP ) = det(A)

Remarque. det(AB) = det(A) det(B) = det(B) det(A) = det(BA). Notons cependant qu’en g´ en´ eral AB 6= BA !

1Pr´ecisons pourquoiA×Best non inversible : siBest non inversible, il existeX0∈Kⁿ,X06= 0_Kⁿtel queBX0= 0_Kⁿ. Mais alorsA×B×X0= 0_Kⁿ et doncA×B est non inversible.

2.5 D´ eterminant de la transpos´ ee

Soit A ∈ M

_n

( K ). On a :

det(

^t

A) = det(A).

Propri´ et´ e 12

Preuve. Supposons que A soit non inversible. Alors

^t

A est non inversible ´ egalement et l’´ egalit´ e est satisfaite.

Supposons que A soit une matrice d’op´ eration ´ el´ ementaire, alors on v´ erifie sans difficult´ e que det(

^t

A) = det(A).

Supposons ` a pr´ esent que A soit inversible. On sait alors que A est produit de matrices d’op´ erations

´

el´ ementaires E

₁

, . . . , E

_k

. Alors :

det(

^t

A) = det(

^t

E

_k

× · · · ×

^t

E

₁

) = det(

^t

E

_k

) × · · · × det(

^t

E

₁

) = det(E

_k

) × · · · × det(E

₁

) = det(A).

Cons´ equence. Les propri´ et´ es du d´ eterminant, valables sur les colonnes d’une matrice, le sont

´

egalement sur ses lignes, en d’autres termes :

ˆ det(M ) est multilin´ eaire par rapport ` a chacune des lignes de la variable-matrice ;

ˆ det est antisym´ etrique et altern´ ee en les lignes de la matrice.

En particulier, il est ´ egalement possible de faire des op´ erations ´ el´ ementaires sur les lignes d’un d´ eterminant, avec les mˆ emes r` egles de calcul que pour les colonnes.

2.6 D´ eveloppement par rapport ` a une ligne ou une colonne

Lemme.

m

_1,1

. . . m

1,n−1

m

_1,n

.. . .. . .. .

m

n−1,n

. . . m

n−1,n−1

m

n−1,n

0 . . . 0 1

=

m

1,1

. . . m

1,n−1

.. . .. .

m

n−1,n

. . . m

n−1,n−1

Preuve. Consid´ erons l’application suivante :

f : M

_n−1

( K ) → K , A 7→

A ∗

0 1 .

Alors f est multilin´ eaire, antisym´ etrique et v´ erifie f (I

n−1

) = 1. Par unicit´ e d’une telle application, on obtient f = det. D’o` u finalement :

m

_1,1

. . . m

1,n−1

m

_1,n

.. . .. . .. .

m

n−1,n

. . . m

n−1,n−1

m

n−1,n

0 . . . 0 1

=

m

_1,1

. . . m

1,n−1

.. . .. .

m

n−1,n

. . . m

n−1,n−1

.

Remarque. On obtient un r´ esultat analogue en transposant.

D´ efinition.

Soit M = (m

i,j

) ∈ M

_n

( K ). Pour tout 1 ≤ i, j ≤ n, on appelle mineur d’indice (i, j) le d´ eterminant

∆

_i,j

de la matrice carr´ ee d’ordre n − 1 obtenue en rayant dans M la ligne i et la colonne j.

Pour toute matrice carr´ ee M ∈ M

_n

( K ), on peut calculer le d´ eterminant de M :

ˆ par d´ eveloppement suivant la j-` eme colonne : det(M ) =

n

X

i=1

(−1)

^i+j

∆

i,j

.

ˆ par d´ eveloppement suivant la i-` eme ligne : det(M ) =

n

X

j=1

(−1)

^i+j

∆

_i,j

. Propri´ et´ e 13

Preuve. On le montre pour la premi` ere formule. On a :

m

1,1

. . . m

1,j

. . . m

1,n

.. . .. . .. .

m

i,1

. . . m

i,j

. . . m

i,n

.. . .. . .. .

m

n,1

. . . m

n,j

. . . m

n,n

=

n

X

i=1

m

i,j

m

1,1

. . . 0 . . . m

1,n

.. . .. . .. . m

i,1

. . . 1 . . . m

i,n

.. . .. . .. . m

n,1

. . . 0 . . . m

n,n

=

n

X

i=1

(−1)

^n−j

m

_i,j

m

_1,1

. . . . . . m

_1,n

0

.. . .. . .. .

m

_i,1

. . . . . . m

_i,n

1

.. . .. . .. .

m

_n,1

. . . . . . m

_n,n

0

=

n

X

i=1

(−1)

^n−j

(−1)

ⁿ⁻ⁱ

m

i,j

m

_1,1

. . . . . . m

_1,n

0 .. . .. . .. . .. . .. . .. . m

_n,1

. . . . . . m

_n,n

0 m

i,1

. . . . . . m

i,n

1

=

n

X

i=1

(−1)

^i+j

m

i,j

∆

i,j

Exemple. Calculer le d´ eterminant

1 2 3 4 5 6 7 8 9

en d´ eveloppant par rapport ` a la colonne 3, puis par rapport ` a la ligne 2.

Remarque. Complexit´ e de l’algorithme de calcul du d´ eterminant.

Ces formules ram` enent le calcul d’un d´ eterminant d’ordre n ` a celui de n d´ eterminants d’ordre n − 1.

Si u

_n

est le nombre d’op´ erations pour calculer un d´ eterminant d’ordre n, on a donc : u

_n

= nu

n−1

+ n ≥ nu

n−1

.

D’o` u u

n

≥ n!

2 u

2

= 3

2 n!. Ainsi cet algorithme est rapidement explosif en nombre d’op´ erations. Ces

formules ne sont donc pas exploitable en pratique (sauf pour n = 3). En pratique, on se ram` ene

toujours, grˆ ace ` a l’algorithme de Gauss, au d´ eterminant d’une matrice triangulaire, ce qui n´ ecessite

O(n

³

) op´ erations.

Quelques chiffres. Une modeste matrice 25 × 25, on a 25! ≈ 1, 5 × 10

²⁵

op´ erations. Un ordinateur t´ eraflops, c’est-` a-dire capable d’effectuer 10

¹²

op´ erations en virgule flottante par seconde aurait besoin d’au moins 500000 ans de fonctionnement ininterrompu pour effectuer ce calcul.

Ce chiffre est ` a comparer avec le nombre d’op´ erations de la m´ ethode de Gauss. Dans ce cas, l’ordre est de 10

⁵

op´ erations, que le mˆ eme ordinateur effectuera en 0, 1 millioni` emes de secondes.

A titre d’information, l’ordinateur le plus puissant du monde en 2004 `

²

(compos´ e de 32768 processeurs) atteint une puissance maximale de 70,72 t´ eraflops. Il s’en tirerait en 70500 ans seulement... Avec une matrice 26 × 26, ce chiffre passe ` a 1833000 ann´ ees de calcul.

Remarque. Par une r´ ecurrence ´ evidente et ` a l’aide de ces formules, on retrouve ici que le d´ eterminant d’une matrice est une fonction polynomiale en les coefficients de la matrice.

3 D´ eterminant d’un endomorphisme

Lemme. Soit E un K -espace vectoriel de dimension n et f L(E). Soient B, B

⁰

deux bases de E. Alors :

det(M at

B

(f )) = det(M at

B⁰

(f )).

En particulier, le scalaire det(M at

B

(f )) ne d´ epend que de f , et pas de la base B de E choisie.

Preuve. Notons A = M at

B

(f )), A

⁰

= M at

B⁰

(f ), et soit P = P ass(B, B

⁰

) la matrice de passage de la base B ` a la base B

⁰

. Alors on a A

⁰

= P

⁻¹

AP et donc en prenant le d´ eterminant :

det(A

⁰

) = det(P

⁻¹

AP ) = det(P

⁻¹

) det(A) det(P ) = det(A).

D´ efinition.

On appelle d´ eterminant de l’endomorphisme f ∈ L(E), et on note det(f ), le d´ eterminant de la matrice de f dans n’importe quelle base de E.

Remarque. Si B = (e

1

, . . . , e

n

) est une base de E et f ∈ L(E), alors : det(f) = det

B

(f (e

1

), . . . , f (e

n

)).

Ainsi | det(f )| est le coefficient par lequel f multiplie les volumes.

Exemples.

ˆ det(Id

_E

) = det

B

(Id

_E

(e

₁

), . . . , Id

_E

(e

_n

)) = det

B

(e

₁

, . . . , e

_n

) = 1.

ˆ det(λId

_E

) = det

B

(λe

₁

, . . . , λe

_n

) = λ

ⁿ

.

ˆ Soit p la projection sur F dans la direction de G 6= {0

_E

}. En prenant B = (e

1

, . . . , e

p

, e

p+1

, . . . , e

n

) une base adapt´ ee ` a la somme direct E = F ⊕ G, on obtient :

det(p) = det

B

(p(e

1

), . . . , p(e

p

), p(e

p+1

), . . . , p(e

n

)) = det

B

(e

1

, . . . , e

p

, 0

_E

, . . . , 0

_E

) = 0.

ˆ Soit s la sym´ etrie par rapport ` a F dans la direction de G. En prenant B = (e

₁

, . . . , e

_p

, e

_p+1

, . . . , e

_n

) une base adapt´ ee ` a la somme direct E = F ⊕ G, on obtient :

det(s) = det

B

(s(e

1

), . . . , s(e

p

), s(e

p+1

), . . . , s(e

n

)) = det

B

(e

1

, . . . , e

p

, −e

_p+1

, . . . , −e

_n

) = (−1)

^n−p

.

2Le gouvernement am´ericain esp`ere franchir la barre de l’exaflops (10¹⁸op´erations) dans les prochaines ann´ees.

Soient f, g ∈ L(E).

(1) det(f ◦ g) = det(f ) × det(g) ;

(2) f est un automorphisme ⇔ det(f ) 6= 0.

Et si f est bijective, alors det(f

⁻¹

) = 1 det(f ) . Propri´ et´ e 14

Preuve. Toutes ces propri´ et´ es d´ ecoulent directement de celles d´ emontr´ ees pour le d´ eterminant d’une

matrice.

4 Autres applications des d´ eterminants

4.1 Syst` emes lin´ eaires

On consid` ere un syst` eme lin´ eaire M X = B de n ´ equations ` a n inconnues, avec M ∈ M

_n

( K ). On rappelle que ce syst` eme est dit de Cramer s’il v´ erifie l’une des conditions ´ equivalentes suivantes : (1) M est de rang n ;

(2) M ∼

_L

I

n

; (3) M ∼

_C

I

n

; (4) M ∈ GL

_n

( K ) ;

(5) Pour tout B ∈ M

_n,1

( K ), le syst` eme M X = B admet une unique solution ;

(6) Pour tout B ∈ M

_n,1

( K ), le syst` eme M X = B admet au moins une solution ;

(7) Le syst` eme M X = 0

n,1

admet une unique so- lution.

L’unique solution de ce syst` eme est alors X = M

⁻¹

B .

Le syst` eme lin´ eaire M X = B est de Cramer si et seulement si det(M) 6= 0.

Propri´ et´ e 15

On donne ` a pr´ esent des formules pr´ ecisant la solution unique d’un tel syst` eme.

Pour toute matrice carr´ ee inversible M ∈ M

_n

( K ), la solution X = (x

1

, . . . , x

n

) du syst` eme de Cramer M X = B est donn´ ee par :

∀k = 1, . . . , n, x

k

= det(C

1

(M ), . . . , B, . . . , C

n

(M))

det(M ) .

Propri´ et´ e 16 (Formules de Cramer)

Preuve. L’unique solution X du syst` eme de Cramer M X = B v´ erifie :

x

1

C

1

+ · · · + x

n

C

n

= B.

On obtient alors (avec B en position k) :

det(C

₁

, . . . , B, . . . , C

_n

) = det(C

₁

, . . . ,

n

X

j=1

x

_j

C

_j

, . . . , C

_n

)

=

n

X

j=1

x

_j

det(C

₁

, . . . , C

_j

, . . . , C

_n

)

= x

_k

det(C

₁

, . . . , C

_k

, . . . , C

_n

) = x

_k

det(M).

Comme det(M ) 6= 0, on obtient le r´ esultat souhait´ e.

Remarque. Ces formules n’ont pas d’int´ erˆ et pratique, puisqu’elles n´ ecessitent le calcul de d´ eterminants couteux en op´ erations, alors que l’inversion d’une matrice (et donc la r´ esolution du syst` eme) n´ ecessite O(n

³

) op´ erations. Elle ont en revanche un int´ erˆ et th´ eorique car elles permettent, lorsque le syst` eme d´ epend d’un param` etre, d’´ etudier la continuit´ e, d´ erivabilit´ e, ... des solutions en fonction de ce param` etre.

4.2 Equation des hyperplans vectoriels ´

Soit E de dimension n, B une base de E et H = V ect(v

₂

, . . . , v

_n

) un hyperplan de E. Alors pour tout v ∈ E :

v ∈ H ⇔ det

B

(v, v

2

, . . . , v

n

) = 0.

Propri´ et´ e 17

Preuve. Tout d’abord, notons que (v

2

, . . . , v

n

) est une famille libre par hypoth` ese. D` es lors on a les

´

equivalences suivantes :

det

B

(v, v

2

, . . . , v

n

) = 0 ⇔ (v, v

2

, . . . , v

n

) est li´ ee

⇔ v ∈ V ect(v

2

, . . . , v

n

) = H.

Remaque. Ainsi H est le noyau de la forme lin´ eaire non nulle :

ϕ : v ∈ E 7→ det

B

(v, v

₂

, . . . , v

_n

), et H est d´ efini par l’´ equation lin´ eaire ϕ(v) = 0.

Exemple. D´ eterminer l’´ equation cart´ esienne :

ˆ du plan vectoriel dirig´ e par les vecteurs v

1

= (1, 0, −1), v

2

= (1, 1, 1).

ˆ du plan passant par les points A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) et C = (0, 0, 1).