PREMI`ERECOMPOSITIONDEMATH´EMATIQUES MP

ECOLE POLYTECHNIQUE ´ FILI` ERE MP

CONCOURS D’ADMISSION 1999

PREMI` ERE COMPOSITION DE MATH´ EMATIQUES

(Dur´ee : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autoris´ee pour cette ´epreuve.

* * *

On attachera la plus grande importance ` a la clart´ e, ` a la pr´ ecision et ` a la concision de la r´ edaction.

* * * Notations

Pour toute fonction f de deux variables r´eelles x et y, on posera ∂

f = ∂f

∂x et ∂

f = ∂f

∂y . Par ailleurs on pose

Π

= {(x,y) ∈ R

|y > 0}

Π ¯

= {(x,y) ∈ R

|y > 0}

Enfin on d´esigne par K la fonction sur Π

d´efinie par K(x,y) = 1

π y x

+ y

Premi` ere partie

1. Calculer Z

−∞

K (x,y )dx.

2. Calculer ∂

K, ∂

K, ∂

K + ∂

K.

3. Montrer que, si m et n sont deux entiers > 0, (∂

∂

K)(x,y) peut s’´ecrire sous la forme P

(x,y)

(x

+ y

)

o` u P

est un polynˆome dont le degr´e par rapport `a x est major´e par 2(m + n).

1

Deuxi` eme partie

Dans cette partie, la lettre f d´esigne une fonction complexe continue born´ee sur R .

4. Montrer que, pour tout (x,y ) dans Π

, la fonction t 7→ f(t)K(x − t,y) est int´egrable sur R .

On notera Φ

(x,y) son int´egrale.

5.a) Montrer que la fonction Φ

ainsi d´efinie sur Π

est continue et born´ee.

b) On d´esigne par E (resp. F ) l’espace des fonctions complexes continues born´ees sur R (resp. sur Π

) et on le munit de la norme ϕ 7→ kϕk = sup

x∈R

|ϕ(x)| (resp. sup

(x,y)∈Π+

|ϕ(x,y)|).

V´erifier que l’application lin´eaire f 7→ Φ

de E dans F est continue et pr´eciser sa norme.

6. Montrer que Φ

est de classe C

. Calculer ∂

Φ

+ ∂

Φ

.

7. Montrer que, pour tout r´eel a > 0, Φ

est uniform´ement continue sur le demi-plan {(x,y) ∈ R

| y > a}.

8. Soit x

un r´eel, ε un r´eel > 0. Trouver un r´eel η > 0 tel que

∀(x,y) ∈ Π

, |x − x

| < η, y < η ⇒ |Φ

(x,y) − f (x

)| < ε.

On notera Φ

la fonction continue sur ¯ Π

´egale `a Φ

sur Π

et telle que ∀x ∈ R , Φ

(x,0) = f (x).

9. On suppose f uniform´ement continue.

a) Soit ε un r´eel > 0. Trouver un r´eel η > 0 tel que

∀(x,y ) ∈ Π

, ∀x

∈ R , |x − x

| < η, y 6 η = ⇒ |Φ

(x,y) − f(x

)| 6 ε.

b) Montrer que la fonction Φ

est uniform´ement continue.

Troisi` eme partie

10. On prend ici pour f la fonction x 7→ e

o` u α est un r´eel > 0 fix´e.

a) Montrer qu’il existe une fonction g telle que l’on ait Φ

(x,y) = f (x)g (y).

b) Ecrire une ´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre satisfaite par ´ g et en d´eduire explicitement Φ

.

2

11. On fixe un r´eel a > 0. Expliciter la fonction ψ sur R d´efinie par ψ(p) =

Z

−∞

e

x

+ a

dx, puis la fonction y 7→ R

−∞

e

ψ(p)dp.

12. On note ici f une fonction continue p´eriodique de p´eriode 2π et y

un r´eel > 0.

On pose h(x) = Φ

(x,y

).

a) V´erifier que h est p´eriodique de p´eriode 2π.

b) Exprimer les coefficients de Fourier de h en fonction de ceux de f . [On montrera d’abord que l’on a

b h(n) = lim

A→+∞

1 2π

Z

e

Z

−A

f(x − t)K(t,y

)dt

dx.

Quatri` eme partie

On suppose ici que la fonction continue f tend vers 0 lorsque x tend vers ± ∞.

13. Montrer que la fonction Φ

est uniform´ement continue.

14. Soit ε un r´eel > 0 ; d´eterminer des r´eels a et u tels que l’on ait Φ

(x,y) 6 ε pour tout point (x,y) de ¯ Π

satisfaisant y > a ou |x| > u.

15. D´eterminer la limite de Φ

(x,y) lorsque |x| + y tend vers l’infini.

16. On d´esigne par E

le sous-espace vectoriel de E form´e des fonctions qui tendent vers 0 lorsque la variable tend vers ± ∞.

D´eterminer la norme de l’application f 7→ Φ

de E

dans F .

* *

*

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