Problème A : transformation de Fourier

PSI* — 2019/2020 Pour le 10/01/2020.

D.M. 5

Problème A : transformation de Fourier

Notations

On désigne parAleC-espace vectoriel des applications deRdansC, parI le sous-espace des fonctions continues et intégrables sur R (c’est-à-dire telles que ^+∞

−∞ |f(t)|dt existe, |f(t)|désignant le module def(t)). On considère l’application linéaire F deI dans Adéfinie par :

f −→^F f où f(x) =

+∞

−∞

e^−ixtf(t) dt pour toutx deR. La fonction f est appeléetransformée de Fourier de la fonction f.

I — Généralités et premiers exemples 1) Dans cette question,f désigne une fonction appartenant à I.

a)Justifier la définition de la fonction f.

b)On suppose que la fonction f est à valeurs réelles. Montrer que si f est une fonction paire, alors f est une fonction paire et à valeurs réelles. Que peut-on dire de f si la fonction f est impaire ?

2) Premier exemple : on considère la fonction pdéfinie sur Rpar p(t) =





1−t lorsque t∈[0,1]

0 lorsque t∈]1,+∞[ p(−t) lorsque t∈]−∞,0[

. a)Montrer que p appartient àI.

b)Expliciter p(x) pour toutx∈R. La fonctionp appartient-elle àI ?

3) Deuxième exemple : pour tout entier natureln, on considère la fonctionE_n définie sur Rpar E_n(t) =|t|ⁿe^−|t| où |t| désigne la valeur absolue det.

On se propose de déterminer la transformée de Fourier E_n de cette fonction.

Pour cela, on fixe x dansR, on désigne par αle nombre complexe1−ixet l’on pose K_n=

+∞

0

tⁿe^−αtdt.

a)Montrer que E_n appartient à I et exprimerE_n(x)à l’aide de la partie réelle deK_n. b)ExprimerK_n en fonction de netα.

c)Expliciter E₀(x),E₁(x),E₂(x).

d)Montrer qu’il existe une fonction β, définie sur N, à valeurs réelles, que l’on explicitera, telle que E_n(x) = 2 (n!) cos (n+ 1) arctanx

(1 +x²)^β(n) . e)La fonction E_n appartient-elle àI ?

II — Transformée de Fourier de H⁰

Dans cette partie, on désigne par H0 la fonction définie surRparH0(t) =e^−t2/2 et l’on se propose de déterminer la transformée de Fourier de H0 . Pour cela, on fixe xdans R.

1) On rappelle que ^+∞

0

e^−u2du=

√π 2 .

En déduire que H0 est intégrable sur Ret calculer ^+∞

−∞ H0(t) dt.

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2) On définit surR la suite de fonctions(g_n)par :

g_n(t) =t²ⁿe^−t2/2 pour toutn∈N.

a)Montrer que, pour tout nappartenant à N, la fonctiong_n appartient à I. b)On considère l’intégrale I_n=

+∞

0

g_n(t) dt, pourn∈N.

Établir une relation de récurrence entre I_n+1 etI_n. En déduire une expression simple de I_n (2n)! . 3) Montrer la convergence de la série

n≥0

(−1)ⁿ x²ⁿ

2ⁿ·n! et préciser la valeur de sa somme.

4) Vérifier que la fonction définie surRpar t→e^−t2/2cos (xt) est intégrable sur R. 5) Justifier avec soin l’égalité :

H0(x) = 2

+∞

n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ (2n)!

+∞

0

t²ⁿe^−t2/2dt.

(On rappelle que : ∀θ∈R cosθ= Ree^iθ =

+∞

n=0

(−1)ⁿ θ²ⁿ (2n)!.)

6) Déduire de ce qui précède l’existence d’un nombre réel λ₀, que l’on explicitera, tel queH0=λ₀H0.

Problème B

Notations : on désigne respectivement par J l’intervalle ]−1,+∞[,F l’ensemble des applications de J dans R, B l’ensemble des applications continues et bornées sur R⁺ = [0,+∞[, à valeurs réelles et E l’ensemble des applications f continues sur R⁺, à valeurs réelles et telles que la fonction t→ f(t)

1 +t² soit intégrable surR⁺.

Objet du problème

Dans la partie I, on définit une application linéaire T :f →T[f]sur E.

Dans la partie II, on étudie certaines propriétés des fonctions T[f],liées à la dérivation.

Dans la partie III, on étudie l’injectivité deT.

Partie I 1) Prouver queE est unR-espace vectoriel contenantB. 2) Vérifier que la fonction γ:t→√

tsintest élément de E, mais n’appartient pas àB.

On retiendra donc pour la suite du problème qu’un élément de E n’est pas forcément de signe constant, ni borné sur R⁺.

3) Soit f ∈ E. Montrer que, pour toutx∈J, la fonction t→ f(t)

1 +t²+x est intégrable sur R⁺. Dans toute la suite, pour f ∈ E, on note T[f]la fonction à valeurs réelles définie sur J par

∀x∈J T[f] (x) =

R⁺

f(t) 1 +t²+xdt.

4) Montrer que T :f →T[f]est une application linéaire deE dansF.

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Partie II Dans cette partie, f désigne un élément fixé de E.

1) Prouver que la fonction T[f]est de classeC¹ sur J et que

∀x∈J (T[f])^′(x) =−

R⁺

f(t)

(1 +t²+x)²dt. (1)

2) a)Prouver plus généralement que T[f] est dérivable à tout ordre p sur J et exprimer (T[f])^(p)(x) à l’aide de l’intégrale suivante :

F_p(x) =

R⁺

f(t)

(1 +t²+x)^p+1dt.

b)Qu’obtient-on pour x= 0?

Dans la suite, on note, pour p∈N, I_p=

R⁺

f(t) (1 +t²)^p+1dt.

3) a)Vérifier que, pour tout p∈N, on a :

R⁺

|f(t)|

(1 +t²)^p+1dt≤

R⁺

|f(t)|

1 +t²dt. (2)

b)Montrer que, pour tout réel x dans l’intervalle ]−1,1[, on a : T[f] (x) =

∞

p=0

(−1)^pI_px^p. (3)

c)On désigne par C^∞(J,R) l’espace vectoriel des fonctions de classeC^∞ sur J, à valeurs réelles.

L’application T : E → C^∞(J,R) f → T[f]

est-elle surjective ?

Partie III 1) Soit f un élément de E. On définit une fonction ΦsurR⁺ par

∀t∈R⁺ Φ (t) =

t 0

f(u) 1 +u²du.

a)Vérifier que la fonction Φest bornée sur R⁺.

b)Montrer que, pour tout k∈N^∗,la fonction t→ tΦ (t)

(1 +t²)^k+1 est intégrable surR⁺ et que

R⁺

tΦ (t)

(1 +t²)^k+1dt= I_k

2k (4)

(où I_k a été défini dans la partieIIaprès la question II.2)).

Dans toute la suite de cette partie, on suppose que f ∈ KerT, c’est-à-dire que f ∈ E et T[f] est la fonction nulle sur J.

2) Montrer que, pour tout k∈N, on aI_k = 0.

3) On considère la fonction ϕ: [0,1]→Rdéfinie par : ϕ(0) = 0 et ϕ(u) = Φ 1−u

u si u∈]0,1].

a)Montrer que ϕest continue sur [0,1]et que

∀k∈N

1 0

u^kϕ(u) du= 0. (5)

b)En déduire que ∀u∈[0,1] ϕ(u) = 0(on pourra utiliser le théorème de Weierstrass : il existe une suite de polynômes qui converge uniformément vers ϕsur [0,1]).

L’application T est-elle injective ?