Université de Caen L3
TD n
o3 : Transformée de Laplace
Rappels (Transformée de Laplace). Pour toute distribution T ∈ D+0 localement intégrable sur R+, on définit la transformée de Laplace de T par
L(T)(p) =< T, e−px >, p > 0.
Exercice 1. Calculer L(δ(n))(p), L(e3x{H})(p),L(xe−x{H})(p), L({H} ∗ {H})(p)et
L
H(x) sin
x− 3π 4
(p).
Exercice 2. On considère l’équation différentielle (E), dansD+0 : T00−T0−2T =δ0 +{H}.
1. Montrer que
p2+ 1
p(p+ 1)(p−2) =− 1
2p+ 2
3(p+ 1) + 5 6(p−2).
2. Résoudre (E) à l’aide de la transformée de Laplace.
Exercice 3. Résoudre dansD0+ l’équation différentielle : T0 + 2T +{H} ∗T =δ.
Exercice 4.
1. Vérifier que
L({sin(x)H(x)})(p) = 1
1 +p2, L({cos(x)H(x)})(p) = p 1 +p2.
2. En déduireL({sin(x)H(x)} ∗ {cos(x)H(x)})(p).
3. Sans calculer d’intégrale, montrer que{sin(x)H(x)} ∗ {cos(x)H(x)}={x2 sin(x)H(x)}.
4. Résoudre l’équation différentielle suivante, en utilisant les résultats des questions précé- dentes.
T(4)+ 2T00+T =δ0.
Exercice 5. Résoudre l’équation différentielle suivante, dansD0+. T00−4T0+ 3T =δ0−δ.
C. Chesneau 1 TD no 3
