partieln°3 probabilité-transformée de LAPLACE-Nombres complexes

(1)

Partiel n°3 mathématiques BTSGO 2^ième année 2008-2009 Exercice 1

Le parc informatique d’un lycée est composé de 200 ordinateurs dont : - 30 sont considérés comme neufs ;

- 90 sont considérés comme récents ;

- Les autres sont considérés comme anciens.

Une étude statistique indique que :

- 5 % des ordinateurs neufs sont défaillants ; - 10 % des ordinateurs récents sont défaillants ; - 20 % des ordinateurs anciens sont défaillants.

On choisit au hasard un ordinateur de ce parc. On note les évènements suivants :

N : « L’ordinateur est neuf » ; R : « L’ordinateur est récent » ; A : « L’ordinateur est ancien » ; D : « L’ordinateur est défaillant » ; _D : l’événement contraire de D.

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

2. Calculer la probabilité que l’ordinateur choisi soit neuf et défaillant.

3. Démontrer que la probabilité que l’ordinateur choisi soit défaillant est égale à 0,1325.

4. Déterminer la probabilité que l’ordinateur soit ancien sachant qu’il est défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.

5. Pour équiper le centre de ressources de l’établissement, on choisit au hasard 3 ordinateurs dans le parc.

On admet que le parc est suffisamment important pour qu’on puisse assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise.

Déterminer la probabilité qu’exactement un des ordinateurs choisis soit défaillant.

Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.

Exercice 2

Pour fabriquer un appareil on utilise successivement et dans cet ordre deux machines ^M₁ et ^M₂"

La machine ^M₁ peut provoquer deux défauts ^d₁ et ^d₂. Un relevé statistique permet d'estimer que :

 4% des appareils présente le défaut ^d₁ et lui seul ;  2% des appareils présente le défaut ^d₂ et lui seul ;

 1% des appareils présentent à la fois les défauts ^d₁ et ^d₂. 1°) On prélève au hasard un appareil à la sortie de ^M₁;on note :

A l'événement « l'appareil présente le défaut dl » ; B l'événement « l'appareil présente le défaut ^d₂ » a) Calculer les probabilités des événements A et B notées respectivement ^{P A}^{( )} et ^{P B}^{( )}.

b) Les événements A et B sont-ils indépendants ?

c) Soit D l'événement « l'appareil présente au moins un défaut » Montrer que la probabilité de l'événement D est égale à 0,07.

d) Quelle est la probabilité que l'appareil ne présente aucun défaut ? 2.

À la sortie de la machine M1 les appareils en cours de fabrication passent par la machine M2 qui peut provoquer un défaut d3dans les conditions suivantes :

60% des appareils ayant au moins un défaut en sortant de M1 présentent le défaut d3 ; 3% des appareils sans défaut à la sortie de M1 présentent le défaut d3.

On prélève au hasard un appareil après les passages successifs dans les machines M1 et M2. On note C l'événement « l'appareil présente le défaut d3».

a) Traduire les informations précédentes à l'aide d'un arbre pondéré . b) Quelle est la probabilité qu'un appareil fabriqué soit sans défaut ? Exercice BTS- 98

La fonction échelon unité^U est définie par : ^^ ^{( ) 0}_{( ) 1}^t_t ^ ^{si t}_{si t}^⁰₀ U

U

On considère un système « entrée-sortie » dans lequel le signal d’entrée est une tension notée ^{e t}^{( )}et le signal de sortie une intensité notée ^{i t}^{( )}. Les fonctions ^t ^{e t}^{( )}et ⁱ^{i t}^{( )}admettent des transformées de Laplace ^p^{E p}^{( )}et ^p^{I p}^{( )}.

(2)

La fonction de transfert Hd’un système est définie par :^{I p}^{( )}^^{H p}^{( )}^^{E p}^{( )}. Dans cet exercice cette fonction de transfert est : ₂ 2

( ) 2 1

H p p

p p

   . Partie A

Dans cette partie la tension est le créneau défini par : ^{e t}^{( )}^U ^{( )}^t ^U ⁽^t^²⁾ 1°. Construire la représentation graphique de la fonction ^edans un repère orthogonal.

2°. Déterminer l’expression de ^{I p}^{( )} puis celle de ^{i t}^{( )}.

3°. On a fait tracer la courbe représentative de ⁱpar un terminal graphique et obtenu la courbe suivante :

2 3 4 5 6 7 8

0 1

1

x y

Par lecture graphique , on constate que la fonctionⁱpossède un minimum sur l’intervalle ^{[3; 4]}

a. Déterminer la valeur exacte de la variable^tpour laquelleⁱatteint son minimum . b. Déterminer la valeur exacte de ce minimum.

Partie B

Pour étudier la réponse du système à une tension sinusoïdale de pulsation (0), on s’intéresse à l’image du nombre complexe ^Z ^{H j}⁽ ⁾ dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v 

. 1°. Montrer que l’on peut écrire ^{H j}⁽ ⁾sous la forme 1

( )

1 ( )

H j jf

 

 où 1

( ) 2 2

f  

  

2°. Etudier les variations de la fonction ^f et préciser ses limites en 0et en (on ne demande pas le tracé De la courbe représentative de ^f ).

3°.

a. Quel est l’ensemble C1des points m1du planP, d’affixe Z1 1 jf( ) lorsquedécrit l’intervalle ^[0;^^[

b. Le « lieu de transfert » du filtre est la courbe décrite, dans un plan rapporté à un repère ( ; , )O i j  , par le point M d’affixe^Z ^{H j}⁽ ⁾lorsquedécrit l’intervalle ^[0;^^[. Soit A le point d’affixe 1

2. Calculer 1

( )

H j 2 .En déduire que le « lieu de transfert » du filtre est inclus dans un cercle C dont on précisera le centre et le rayon .Représenter graphiquement les ensembles C1et C .

4° .Dans le repère précédent ,placer les points d’affixes : 2 H j

   ; ^H

 

³^j ^;^{H j}

^{ }

^et^H

 

²^j

Conclure .

(3)

Exercice 1

1. On note : N : « L’ordinateur est neuf » ; R : « L’ordinateur est récent » ; A : « L’ordinateur est ancien » ;

D : « L’ordinateur est défaillant » ; D : l’événement contraire de D.

30 ordinateurs sur 200 sont considérés comme neufs Puisque sur les 200 ordinateurs du lycée donc ^{( )} ³⁰ ^0,15

p N 200 . De même 90 ordinateurs sur 200 sont considérés comme récents donc ^{( )} ⁹⁰ ^0,45

p R  200 . les autres ordinateurs sont considérés comme anciens donc ^{( )} ⁸⁰ ^0,4 p A 200 Puisque 5 % des ordinateurs neufs sont défaillants donc p DN^{( ) 0,05} .de même 10 % des ordinateurs récents sont défaillants donc p DR^{( ) 0,1} .20 % des ordinateurs anciens sont défaillants donc p DA^{( ) 0,2}

2. La probabilité que l’ordinateur choisi soit neuf et défaillant est égale :p N



D



 p N

 

p_N

 

D 0,15 0,05 0,0075  3. L’ensemble {N ;R ;A} forme une partition de l’univers.

Ainsi :

     

           

( ) ( )

( ) 0,0075 0,45 0,1 0, 4 0, 2 0,1325

N R A

p D p N D p R D p A D

p D p N p D p R p D p A p D

p D

     

     

     

4. La probabilité que l’ordinateur soit ancien sachant qu’il est défaillant est donnée par :

 

0,4 0,2

( ) 0,60

( ) 0,1325

D

p A D

p A p D

 

   arrondie au centième

5. Notons Di l’événement « un ordinateur choisi parmi le trois est défaillant »,

Le parc étant suffisamment important pour qu’on puisse assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise .or on sait que

^{p D}^{( ) 0,1325}^ et p D( ) 0,8675 ), donc l'évènement «exactement un des ordinateurs choisis soit défaillant» correspond aux trois

issues :D D D₁; ₂; ₃ ; D D D₁; ₂; ₃ et D D D₁; ₂; ₃. La probabilité demandée est donc :



¹ ² ³

 

¹ ² ³

 

¹ ² ³



2

; ; ; ; ; ;

3 ( ) ( )

3 0,1325 0,8675 0,3

p p D D D p D D D p D D D

p p D p D

p

  

 

    

   

Exercice 2

1°) a) On sait que 4% des appareils présentent le défaut ^d et lui seul et que 1% des appareils présentent

R A

D D D D D D

N

0,15 0,4

0,45

0,05 0,95 0,1 0,90 0,2 0,80

D1 D1

D2

D3

D2

1er

2ème

3ième

0,1325 0,8675

0,1325

0,1325 0,1325 0,1325 0,1325

0,1325

0,8675 0,8675

D3 D3 D3 D3 D3 D3 D3

D2 D2

(4)

les deux défauts ^d₁ et ^d₂, Donc 5% des appareils présentent le défaut ^d₁

L'appareil étant prélevé au hasard à la sortie de ^M₁, puisque A est l'événement « l'appareil présente le défaut ^d₁ » .On a:P A( ) 5% 0,05 

On sait que 2% des appareils présentent le défaut ^d₂ et lui seul et que 1% des appareils présentent les deux défauts ^d₁et ^d₂ . Donc 3% des appareils présentent le défaut ^d₂.

L'appareil étant prélevé au hasard à la sortie de ^M₁, puisque B est l'événement « l'appareil présente le défaut ^d₂ » on a : P B( ) 3% 0,03 

A B est l'événement «l’appareil présente les deux défauts ^d₁ et ^d₂ »

1 % des appareils présentent les deux défauts ^d₁ et ^d₂ donc ^{P A B}⁽ ^ ^{) 1% 0, 01}^ ^ . On a P A^{( )}P B( ) 0, 05 0, 03 0, 0015   donc ^{P A}^{( )}^^{P B}^{( )}^^{P A B}⁽ ^ ⁾.

Les deux événements A et B ne sont pas indépendants .

b) D est l'événement « l'appareil présentent au moins un défaut », c'est-à-direD A B. On sait que P A B⁽  ⁾P A^{( )}P B^{( )}P A B⁽  ) 0, 05 0, 03 0,01 0,07   

c) L'événement « l’appareil ne présente aucun défaut » est l'événement _D événement contraire de D.

On sait que P D( ) 1 P D( ) 1 0, 07 0,93   .

La probabilité que l'appareil ne présente aucun défaut est 0,93 . 2°) a) On peut ,traduire la situation par l'arbre pondéré ci-contre :

On sait d après le texte que : 60% des appareils ayant au moins un défaut

en sortant de M1 présentent le défaut d3 . Donc P CD^{( ) 0,6} . 3% des appareils sans défaut à la sortie de M1présentent le défaut d3 . Donc ^{P C}_D^{( ) 0,03}^ . On peut compléter l'arbre en sachant que la somme des probabilités portées sur les branches issue d'un même nœud est égale à 1 .

b) Un appareil est sans défaut s'il n'a pas les défauts ^d₁ et ^d₂et s'il n'a pas le défaut ^d₃ .L'événement «l'appareil est sans défaut » est donc D C .On a : P D C⁽  ⁾P C_D^{( )}P D( ) 0,97 0,93 0,9021   . La probabilité qu'un appareil fabriqué soit sans défaut est 0,9021.

Exercice 3 Partie A

1. ^{e t}^{( )}^^U ^{( )}^t ^^U ⁽^t^²⁾ :

Sur ^]^{ }^;0[ : ^{e t}^{( ) 0}^ ; sur ^{[0; 2[} : ^{e t}^{( ) 1}^ et sur l’intervalle ^[2;^^[ : ^{e t}^{( ) 0}^ On déduit la représentation graphique de la fonction ^t^{e t}^{( )}

2. on a : ^{e t}^{( )}^U ^{( )}^t ^U ⁽^t^²⁾. On rappelle les transformée de Laplace connues suivantes ( voir formulaire) . Pour tout nombre^pde ^{] 0;}^^[ , ^{L U}⁽ ^{( ))}^t ^ ¹_p .Or si ^U_^{( )}^t ^^U ⁽^t^^⁾, alors

( (t )) 1e ^p p

 ^

 

L U . Par conséquent , grâce à la linéarité de la transformation de Laplace , et les transformées ci-dessus avec  2 :

^{E p}^{( )}^^L ^{( ( ))}^{e t} ^^{L U}



^{( )}^t ^^U ⁽^t^²⁾



^^{L U}



^{( )}^t



^^{L U}



⁽^t^²⁾



^.^L ^{( ( ))}^{e t} ^ ¹_p^¹_p^e^²^p ^ ¹_p⁽¹^^e^²^p⁾^{. On}

remplace ^{E p}^{( )}et ^{H p}^{( )} dans l’expression ^{I p}^{( )}^^{H p}^{( )}^^{E p}^{( )} Et on obtient :

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 1 2 2 2 2

( ) (1 ) (1 ) (1 )

2 1 2 1 ( 1) ( 1) ( 1)

p p p p

p e

I p e e e

p p p p p p p p

   

        

      

D

C

C C 0,07 C

0,93

0,6 0,4

0,97 0,03

(5)

2

2 2

( ) ( ( ))

( 1) ( 1)

1 1 1 e p

i t = I p

p p

       

      

L L L

On sait que ¹ ₂ ^{( )}

( )

1 te at t

p a

   

 

  

L U et ₂ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

( )

1 e p a t

t e t

p a

   

     

  

 

  

 

L U ( formulaire )

Donc

2 ( 2)

2 2

( ) ( ( )) 2 ( ) 2( 2) ( 2)

( 1) ( 1)

1 1 1 e p t t

i t = I p te t t e t

p p

          

         

L L L U U

( ) 2 ^t ( ) 2( 2) ( 2)^t ( 2)

i t  te^U t  t e^{ } U t et enfin

( 2)

0 0

( ) 2 [0;2[

2 2( 2) [2; [

t

t t

si t i t te si t

te t e si t



  

 

 

    

 ( ) 2 ^t 2( 2) ( 2)^t [2; [

i t  te^  t e^{ } si t  ; i t( ) 2 te^^t(1e²) 4 e e² ^^t si t[2;[

2 2 2

'( ) 2 ^t(1 ) 2 ^t(1 ) 4 ^t

i t  e^ e  te^ e  e e^ ; ^{i t}^{'( ) 2}^ ê^^t^_^{1 3}^ ê²^^t⁽¹^ê²⁾^_

2 2

'( ) 2 ^t (1 3 ) (1 ) [2; [ i t  e^   e t e  si t 

'( ) 0

i t   (1 3 )e² t(1e²) 0 t(1e²) (1 3 )  e² , or ₁__e² _₀, donc ^{1 3}₂² 1 t e

e

 

 '( ) 0

i t   (1 3 ) 2 (1e²  t e²) 0 2 (1t e²) (1 3 )  e² , or ₁__e²_₀, donc ^{1 3}₂² 1 t e

e

 

 Donc

2

min 2

1 3 1 t e

e

 

 ;

2 2

(1 3 ) (1 3 )

2 2

(1 ) (1 )

2 2

1 3 1 3

2 (1 ) 4

1 1

e e

i e e e e

e e

 

       

   

     

   

2 2 2

(1 3 ) (1 3 ) (1 3 )

2 2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 )

2

1 3 2(1 3 ) 4 2(1 )

1

e e e

i e e e e e e e

e

  

      

 

  

  ;

2 2

(1 3 )

2 (1 )

(1 )

e

Min e e e

 

  

Partie B

1.

 

²

2 1 1

( )

1 1

2 1 1 1

2 2 2 2

H j j

j j j j

j

     

 

  

 

       

 

, puisque ₂¹_j ^{ }₂_^j . Donc ^{H j}⁽ ^⁾^₁_ _jf¹_{( )}_ , avec ^{( )} ¹

2 2 f  

  

2. la fonction f , définie sur l’intervalle ]0 ;[ par ( ) ¹ 2 2 f  

   , est dérivable sur ]0 ;[ et '( ) ¹ ¹₂ ² ₂¹ 0

2 2 2

f  

 

     .la fonction ^f est donc strictement croissante sur ^{]0 ;}^^[. lim0 0

2



  et

0

lim 1 2

^  ^{ }, donc _^{lim ( )}_₀^f ^ ^{ }. ^lim

2



   et ^lim ¹ ⁰ 2

^  ^ , donc _^lim_ ^f^{( )}^ ^{ }.

3a. lorsque  décrit l’intervalle ^{]0 ;}^^[ ; Z1 1 jf( ) a une partie réelle fixe et égale à 1, sa partie imaginaire^f^{( )} parcourt _ ..

Donc l’ensemble C1des points m1du planP, d’affixe Z1 1 jf( ) lorsquedécrit l’intervalle ^[0;^^[ est la droite d’équation :x1.

3b.

1 1

2 1 1

1 1 1 1 2 2 1 2 2

( )

1 1 1

2 1 2 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2

j j

H j

j j j

 

   

  

   

        

   

      

     

           

, ¹

1

1 1 ( )

2 2 H j Z

   Z

 0 

'( ) f 

( ) f 

. + 



(6)

donc ¹ ¹

1 1

1 1 1

( )

2 2 2 2

Z Z

H j   Z  Z  , on sait que l’ensemble du point M d’affixe Ztel que ^{Z a}^{ }^r est le cercle C de centre A d’affixe a et de rayon ^r.donc l’ensemble du point M d’affixe^Z ^{H j}⁽ ⁾ est le cercle C de centre A d’affixe ¹

2et de rayon ¹

r2 privé de l’origine du repère O .

 

²

2 2

( ) 1

2 1 2

j j

H j  j j  j

  ;

 

2

4 3 4

2 2 4 4 12 16 16 12

(2 ) 2 2 2 1 4 4 1 3 4 25 25 25 25

j j

j j j j

H j j

j j

    

      

    

  

   

2

3 1 3

2 3 2 3 3 3 3 3 3

( 3)

4 4 4 4

3 2 3 1 1 3

3 2 3 1

j j

j j j j

H j j

j j

  

      

    

 

   

2

2 2 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 2 2

( 2)

9 9 9 9

2 2 2 1 1 2 2

2 2 3 1

j j

j j j j

H j j

j j

   

      

    

 

1 1 ( ) 2 2

H j   ; ⁽ ³⁾ ¹ ¹ 2 2

H j   ; ⁽ ²⁾ ¹ ¹ 2 2

H j   et ^{(2 )} ¹ ¹

2 2

H j   , et tous les points correspondants appartiennent au cercle C de centre A d’affixe ¹

2et de rayon ¹

r2.

Exercice 2 1°

2 3

-1

2

0 1

1

x y

Partie B

(7)

H( j / 2 )

H( 3 j )

H ( 2 j )

H( 2 j )

H( j )

1 1

x I

A C B O

F D

E

x=1