Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Feuille d’exercices n°4
Nombres complexes et trigonométrie − partie 3
Exercice 19
1. Soitθ∈[0,π]. Montrer que :
cos µθ
2
¶
= s
1+cos(θ)
2 et sin
µθ 2
¶
= s
1−cos(θ)
2 .
2. Déduire de la question 1 les valeurs de cos¡π 8
¢et sin¡π 8
¢, puis celles de cos¡π 16
¢et sin¡π 16
¢. 3. Déduire de la question 1 les valeurs de cos¡π
12
¢et sin¡π 12
¢, puis celles de cos¡π 24
¢et sin¡π 24
¢.
Exercice 20
Soientz1etz2des nombres complexes de module 1, tels quez1z26= −1. Démontrer que le nombre complexe z1+z2
1+z1z2
est réel, et préciser son module.
Exercice 21
Soitz∈C\ {1}. Démontrer :
|z| =1 ⇔ 1+z 1−z ∈iR.
Exercice 22
1. Soitθ∈]−π,π[. Justifier que le nombret=tan³θ
2
´
est bien défini et montrer que :
cos(θ)=1−t2
1+t2 et sin(θ)= 2t 1+t2. 2. On considère l’équation
(E) : x2+y2=z2 d’inconnue (x,y,z)∈(Z∗)2.
(a) Déterminer dix triplets d’entiers relatifs solutions de (E).
(b) Démontrer que (E) possède une infinité de triplets d’entiers relatifs solutions.
Exercice 23
1. (a) Soitθ∈R. Linéariser cos4(θ).
(b) En déduire une primitive de la fonction
¯
¯
¯
¯
f : R → R
x 7→ cos4(x).
2. (a) Soitθ∈R. Linéariser sin6(θ).
(b) En déduire une primitive de la fonction
¯
¯
¯
¯
g : R → R
x 7→ sin6(x).
3. (a) Soitθ∈R. Linéariser sin4(θ) cos3(θ).
(b) En déduire une primitive de la fonction
¯
¯
¯
¯
h : R → R
x 7→ sin4(x) cos3(x).
Exercice 24
1. Soitθ∈R. Démontrer :
sin(5θ)=(16cos(θ)4−12cos(θ)2+1) sin(θ).
2. Résoudre l’équation
16x4−12x2+1=0 d’inconnuex∈R.
3. En déduire que
cos³π 5
´
=1+p 5 4 . Exercice 25
Soientn∈N∗ett∈R. Calculer les trois sommes suivantes.
S1(n,t) :=
n
X
k=0
sin(kt) S2(n,t) :=
n
X
k=0
Ãn k
!
cos(kt) S3(n,t) :=
n
X
k=0
(−1)k Ãn
k
! sin(kt)
