Transformation de Laplace

Cours de mathématiques

Chapitre 5

Transformation de Laplace

La transformationdeLaplae(1749-1827)aétéintroduiteparlemarquisPierreSimonde

Laplaeen1812,danssonouvrageThéorieanalytiquedesprobabilités,andearatériser

diverses lois de probabilités.

On rapporte que, feuilletant la Méanique éleste, Napoléon t remarquer à Laplae qu'il

n'y était nulle part fait mention de Dieu. "Je n'ai pas eu besoin de ette hypothèse",

rétorqua le savant.

Il serait aussi à l'origine de la méthode de la variation de la onstante utilisée dans la

résolution d'équationdiérentielle.

Aymar de Saint-Seine

Année scolaire 2010–2011

1.

Préliminaires

1.1.

Intégrales généralisées

Définition 1 : Intégrales généralisées

Soit a ∈

^R

et f une fonction continue sur [a; + ∞ [. On considère pour tout x ∈ ]a; + ∞ [, le nombre I(x) =

Z x a

f (t)

^d

t.

Si I (x) admet une limite finie lorsque x tend vers + ∞ , alors on dit que l’intégrale Z ₊ ∞

a

f (t)

^d

t converge, et on pose Z ₊ ∞

a

f (t)

^d

t = lim

x 7→ + ∞

Z x a

f(t)

^d

t.

Dans le cas contraire, on dit que Z ₊ ∞

a

f (t)

^d

t diverge.

Remarque: Lespropriétésonnuesde l'intégrale(linéarité,positivité,...)restentvalables

pour lesintégrales généralisées.

Exerie résolu 1 :

Caluler, si elleonverge, lavaleurde l'intégrale

Z + ∞ 0

e

− 2x

d

x

Solution : On pose

I(x) = Z x

0

e

− 2x

d

x

^.

Z x

0

e

− 2x

d

x =

e

− 2x

− 2 x

0

=

^e

− 2x

− 2 + 1 2

Comme

lim

x 7→ + ∞ I(x) = 1

2

^{, ondéduitque}

Z + ∞

0

e

− 2x

d

x

^{onverge et que}

Z + ∞

0

e

− 2x

d

x = 1 2

1.2.

Fontions ausales

Définition 2 : Fonctions causales

Une fonction f (ou un signal) de la variable réelle t est dite causale si pour tout t strictement négatif, on a f (t) = 0.

Exemple : Fontion éhelon unité ou fontion de Heaviside :

Lafontionéhelonunitéestlafontionnotée

U

etdéniepar

U (t) :

U (t) = 0

^si

t < 0

U ( t ) = 1

^si

t ≥ 0

1 2

− 1

− 2

− 3

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

Remarques :

•

^{La fontion}

U

n'est pas ontinue en 0; elleest ontinue seulement à droiteen 0.

•

^{On rend une fontion ausale en la} multipliantpar lafontion

U

. Exemple : La fontion rampe unité

LafontionrampeunitéestdéniesurRpar

f ( t ) = t U ( t )

^,'estàdire

U ( t ) = 0

^si

t < 0 U (t) = t

^si

t ≥ 0

1 2

− 1

− 2

− 3

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

Exemple : La fontion retardée

Si

f

^{est une fontion numérique,alors lafontion}

g

^{dénie par}

g : x 7→ f (x + a)

^{est dite}

en avane de

a

^etlafontion

h

^{dénie par}

h : x 7→ h(x − a)

^{est dite retardée de}

a

^.

La ourbe de

g

^{est obtenue par une} translation de veteur

a ^→ u

^{dans un repère}

( O ; ~ u, ~v )

^.

La fontion éhelon retardée de 3 est dénie par

U (t − 3)

^.

1 2

− 1

− 2

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

b

La fontion arréeretardée de

2

^{est dénie par}

f ( t − 2) = ( t − 2) ² U ( t − 2)

1 2 3

− 1

− 2

− 3

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

2 ^→ u

Exemple : La fontion réneau

Soient

a

^et

b

^{deux réels tels que}

0 < a < b

^et

k

^{un réel.}

La fontion réneau est dénie par

f (t) = k [ U (t − a) − U (t − b)]

^{, 'est à dire}

f(t) :







f ( t ) = 0

^si

t < a f(t) = k

^si

a 6 t < b f ( t ) = 0

^si

t > b

Graphique de la fontionréneau

f(t) = 2 [ U (t − 1) − U (t − 4)]

1 2

− 1

− 2

− 3

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

2.

Transformations de Laplae

2.1. Dénition

Définition 3 : Transformée de Laplace d’une fonction

La transformée de Laplace d’une fonction causale f est la fonction L _f de la variable réelle ou complexe p définie par

L _f (p) = Z ₊ ∞

0

e

− pt f (t)

^d

t.

Remarques :

•

^{On note aussi par abus d'ériture}

F (p)

^ou

L [f (t)] (p)

^aulieude

L _f (p)

^.

• L _f ( p )

^{existe siet seulement si} l'intégralegénéralisée

Z + ∞ 0

e

− pt f ( t )

^d

t

^onverge.

Théorème 1 : Linéarité

Soient f et g deux fonctions dont les transformées de Laplace sont L [f ] et L [g] et k un réel. On a :

L [f + g] = L [f ] + L [g]

L [kf ] = k L [f ]

Preuve. Onutilise uniquement lalinéaritéde l'intégrale.

L [αf + g] =

Z ₊ ∞ 0

e

− pt (αf + g)(t)

^d

t

=

Z ₊ ∞ 0

e

− pt (αf (t) + g(t))

^d

t

=

Z + ∞ 0

α

^e

^{− pt} f (t) +

^e

^{− pt} g(t)

^d

t

= α

Z ₊ ∞ 0

e

− pt f (t)

^d

t + Z ₊ ∞

0

e

− pt g(t)

^d

t

= α L [f ] + L [g]

2.2.

Transformée de Laplae des fontions uselles

Théorème 2 : Transformée de Laplace des fonctions uselles :

1

^.

La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0 et on a

L _U (p) = 1 p .

2

^.

La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour tout p > 0 et on a :

L [t U (t)] (p) = 1 p ² .

3

^.

La transformée de Laplace de t 7→ t ⁿ U (t) pour n ∈

^N

est définie pour tout p > 0 et on a :

L [t ⁿ U (t)] (p) = n!

p ⁿ⁺¹ .

4

^.

La transformée de Laplace de t 7→ e ^{− at} U (t) avec a ∈

^C

est définie si

^Re

(p) >

Re

(a) et on a :

L

e ^{− at} U (t)

(p) = 1 p + a .

5

^.

Transformée de Laplace de sin et cos. Pour tout w ∈

^R

, on a : L [cos(ωt) U (t)] (p) = p

p ² + ω ²

^et

L [sin(ωt) U (t)] (p) = ω

p ² + ω ² .

Remarque : Dans la pratique et pour la suite on ne préise pas les valeurs de

p

^pour

lesquelles

L [f (t)] (p)

^existe.

Preuve.

1

^{. fait dansexerie 5.0}

Calulons

Z x 0

e

− pt U (t)

^d

t = Z x

0

e

− pt

d

t =

− e ^{− pt} p

x 0

= − e ^{− px} + 1 p

Puisque

p > 0

^,ona

lim

x 7→ + ∞

− e ^{− px} + 1

p = 1

p

^,etdon

L _U (p) = Z ₊ ∞

0

e

− pt U (t)

^d

t = 1 p 2

^{. fait dansexerie 5.0}

Z x 0

e

− pt t U (t)

^d

t = Z x

0

t

^e

^{− pt}

^d

t

^.

Si

p = 0

^alors l'intégrale

Z x 0

t

^d

t

^diverge.

Si

p 6 = 0

^{,on eetueune} intégration par parties.

Z x 0

t

^e

^{− pt}

^d

t =

t −

^e

^{− pt} p

x 0

− Z x

0

−

^e

^{− pt} p

^d

t

=

t −

^e

^{− pt} p

x 0

+ 1 p

Z x 0

e

− pt

d

t

=

t −

^e

^{− pt} p

x 0

+ 1 p

−

^e

^{− pt} p

x 0

= − x

^e

^{− px}

p + −

^e

^{− px} p ² + 1

p ²

Puisque

p > 0

^,ona

lim

x 7→ + ∞

− xe ^{− px}

p = lim

x 7→ + ∞

− e ^{− px}

p ² = 0

^{,et don}

L _{t U} (p) =

Z + ∞ 0

t

^e

^{− pt} U (t)

^d

t = 1

p ²

^{.On remarque que si}

p < 0

^{, alors} l'intégrale est diver- gente.

3

^{. fait dansexerie 5.0}

Il nousfaut aluler

Z ₊ ∞ 0

e

− pt t ⁿ U (t)

^d

t = Z ₊ ∞

0

t ⁿ

^e

^{− pt}

^d

t = I _n

^.

Posons,pourtout

x > 0

^ettout

n ∈

^N

I _n (x) = Z x

0

t ⁿ

^e

^{− pt}

^d

t

^.

Si

p = 0

^,alors

I _n (x) = Z x

0

t ⁿ

^d

t = x

n + 1

^etl'intégralediverge.

regardonsles asoù

p 6 = 0

^.

Onsait déjà que

I ₀ = 1

p

^et

I ₁ = 1 p ²

^.

Onproèdeà l'aided'une intégrationpar parties sur

I _n (x)

^{(on dérive}

t ⁿ

^).

I _n (x) =

t ⁿ −

^e

^{− pt} p

x 0

− Z x

0

nt ^{n − 1} −

^e

^{− pt} p

^d

t

= x ⁿ −

^e

^{− px}

p + n

p Z x

0

t ^{n − 1}

^e

^{− pt}

^d

t

= x ⁿ −

^e

^{− px}

p + n

p I n − 1 (x)

•

^Si

p > 0

^,lorsque

x

^tendvers

+ ∞

^{,on a :}

I _n = n p I _n − 1

^.

Ainsi

I ₂ = 2

p I ₁ = 2

p ³

^;

I ₃ = 3

p I ₂ = 6

p ⁴

^;

· · ·

^...;

I n = n!

p ⁿ⁺¹

•

^Si

p < 0

^,omme

I _n (x) = x ⁿ −

^e

^{− px}

p + n

p I _n − 1 (x)

^,l'intégralediverge.

4

^{. Il nousfaut aluler}

Z ₊ ∞

0

e

− pt

e

− at U (t)

^d

t = Z ₊ ∞

0

e

− (p+a)t

d

t

^.

Pour elaposons

I (x) = Z x

0

e

− (p+a)t

d

t

^.

•

^Si

p + a = 0

^{,alors on}

I(x) = Z x

0

1

^d

t = x

^etdonl'intégrale diverge.

•

^Si

p + a 6 = 0

^,alors

I(x) =

"

−

^e

^{− (p+a)t} p + a

# x

0

= − 1 p + a

^e

− (p+a)x + 1 p + a .

Erivonsalors lenombre

p + a

^{sous forme}algébrique.

Ainsion pose

α =

^Re

(p + a)

^et

β =

^Im

(p + a)

^.

Donon a e

− (p+a)x =

^e

^{− αx}

^e

⁻

ⁱ

^β

^{etpar suite}

|

^e

^{− (p+a)x} | =

^e

^{− αx}

⋄

^Si

α < 0

^,alorsl'intégrale diverge.

⋄

^Si

α > 0

^{,alors, omme}

lim

x 7→ + ∞

e

− αx = 0

^,l'intégrale onverge. En outre

lim

x 7→ + ∞ I(x) = 1

p + a

^.

5

^{. Onutilise les formules d'Euler. (}

cos ωt = ^e

ⁱ

^{ωt +e} ₂ ⁻

ⁱ

^ωt

⁾

L [cos(ωt) U (t)] (p) = L

e

ⁱ

^ωt + e ⁻

ⁱ

^ωt 2

= 1 2 L

e

ⁱ

^ωt + L

e ⁻

ⁱ

^ωt

= 1 2

1

p −

ⁱ

ω + 1 p +

ⁱ

ω

= 1 2

p +

ⁱ

ω + p −

ⁱ

ω p ² + ω ²

= p

p ² + ω ²

Onproèdeexatement de lamême manière pour sinus.(

sin ωt = ^{e iωt −} ₂ ^{e − iωt}

i )

L [sin(ωt) U (t)] (p) = L

e

ⁱ

^ωt − e ⁻

ⁱ

^ωt 2

ⁱ

= 1 2

ⁱ

L

e

ⁱ

^ωt

− L e ⁻

ⁱ

^ωt

= 1 2

ⁱ

1

p −

ⁱ

ω − 1 p +

ⁱ

ω

= 1 2

ⁱ

p +

ⁱ

ω − p +

ⁱ

ω p ² + ω ²

=

2

ⁱ

ω (2

ⁱ

)(p ² + ω ² )

= ω

p ² + ω ²

Exerie résolu 2 :

Calulerla transformée de Laplae de haune des fontionsausales suivantes :

1

^.

(2 t ² + 3 t ) U ( t ) 2

^{. e}

^{− 5t} U (t) 3

^{. e}

^{− 5t+2} U (t) 4

^.

cos(5t) U (t)

Solution :

1

^{. On utilise la linéaritéde la} transformée de Laplae pour déomposer la fontion en moreaux dontla transformée est onnue.

L

(2t ² + 3t) U (t)

(p) = L

2t ² U (t)

+ L [3t U (t)]

= 2 L

t ² U (t)

+ 3 L [t U (t)]

= 2 × 2!

p ³ + 3 × 1 p ²

= 4

p ³ + 3 p ²

= 4 + 3 p p ³ 2

^.

L [

^e

^{− 5t} U (t)] (p) = 1

p + 5

^{qui existe quepour}

^{p > 5} 3

^.

L [

^e

^{− 5t+2} U ( t )] ( p ) =

^e

² L [

^e

^{− 5t} U ( t )] ( p ) =

^e

2

p + 5

^.

4

^.

L [cos(5t) U (t)] (p) = p

p ² + 25 .

2.3.

Propriétés

Théorème 3 : Effet de la multiplication par

^e

^{− at} avec a ∈

^R

Soit a ∈

^R

. Si F (p) = L [f (t) U (t)] (p), alors

L

f (t)

^e

^{− at} U (t)

(p) = F (p + a).

Preuve.

L

f (t)e ^{− at} U (t) (p) =

Z + ∞ 0

f (t)

^e

^{− at}

^e

^{− pt}

^d

t = Z + ∞

0

f (t)

^e

^{− (p+a)t}

^d

t = F (p + a)

^.

Exemple :

L [ t ⁵ e ^{− 2t} U ( t )] ( p ) = 5!

(p + 2) ⁶ .

Théorème 4 : Effet d’un changement d’échelle sur la variable Soit a ∈ R.

L [f (at)] = 1 a F ( p

a )

Preuve. Onpose,pour tout

x > 0

^,

I (x) = Z x

0

f (at)

^e

^{− pt}

^d

t

^.

Oneetue lehangement de variable

z = at

^,d'oùd

z = a

^d

t

^.

Ainsi

I(x) = Z ax

0

f(z)

^e

^{− p a z}

^d

z a = 1

a Z ax

0

f (z)

^e

^{− a p z}

^d

z

^.

En faisant tendre

x

^vers

+ ∞

^{,on en déduitque}

I (x)

^{tend vers}

1 a F ( p

a )

^.

Remarque: Cethéorèmeestohérentavelaformuletrouvéepoure

− at U (t)

^et

U (t)

^.Ilest

aussi ohérent ave la formule obtenue pour

sin(ωt)

^puisque

L [sin(4t) U (t)] = 4 p ² + 16

et quele alul de

1 4 F ( t

4 ) = 1

4 × 1

p 4

2

+ 1 = 1 4

16

p ² + 16 = 4 p ² + 16

Théorème 5 : Théorème du retard

On regarde ce qui se passe si le signal au lieu de commencer à l’instant t = 0, commence à l’instant t = τ avec τ > 0.

Soit τ ∈

^R

.

L [f (t − τ ) U (t − τ )] =

^e

^{− pτ} L _f

Preuve. Ondoit aluler

L [f (t − τ ) U (t − τ )] (p) = Z ₊ ∞

0

f (t − τ ) U (t − τ )

^e

^{− pt}

^d

t

^.

Posons

I(x) = Z x

0

f (t − τ ) U (t − τ )

^e

^{− pt}

^d

t

^{pour tout}

x ∈

^R

^{∗ +}

^.

Comme

f (t − τ ) U (t − τ ) = 0

^pour

t < τ

^{,ona que}

I (x) = Z x

τ

f(t − τ )

^e

^{− pt}

^d

t

Oneetue alors lehangement de variable

z = t − τ

^,d'oùd

t =

^d

z

^.

Ona

I (x) = Z x − τ

0

f (z)

^e

^{− pz}

^e

^{− pτ}

^d

z

^don

I(x) =

^e

^{− pτ} Z x − τ

0

f (z)

^e

^{− pz}

^d

z

^.

Don, en faisant tendre

x

^vers

+ ∞

^{,on obtient}

L [f (t − τ )U (t − τ )] (p) =

^e

^{− pτ} F (p)

^.

Exemples :

1

^.

L [(t − 10) ⁴ U (t − 10)] (p) = 4!

p ⁵ ×

^e

^{− 10p} = 24

^e

^{− 10p} p ⁵

^.

2

^.

L

cos(2t − π) U (t − ^π ₂ )

(p) = L

cos(2(t − ^π ₂ )) U (t − ^π ₂ )

(p) = p p ² + 4

^e

− ^π

2 . 3

^.

L [t ² U (t − 3)] (p) =?

On ne onnait pas de formule pour

t ² U ( t − 3)

^{, mais seulement pour}

t ² U ( t )

^et

(t − 3) ² U (t − 3)

^.

C'est pourquoi, on érit

t ² U (t − 3)

^{sous laforme}

(t − 3) ² U (t − 3) + · · · t ² U ( t − 3) = ( t − 3) ² U ( t − 3) + 6( t − 3) U ( t − 3) + 9 U ( t − 3)

^.

En appliquant lethéorème du retard,onobtient:

L [t ² U (t − 3)] (p) =

^e

^{− 3p} 2

p ³ 6

^e

^{− 3p} 1

p ² + 9

^e

^{− 3p} 1

p =

^e

^{− 3p} 2

p ³ + 6 p ² + 9

p

4

^.

L [

^e

^2t U ( t − 2)] ( p ) = L

e

2(t − 2)+4 U ( t − 2)

( p ) =

^e

⁴ L

e

2(t − 2) U ( t − 2)

( p ) =

^e

4

p − 2

^e

− 2p .

3.

Original d'une fontion

3.1. Généralités

Définition 4 : Original d’une fonction

Si F (p) = L [f (t) U (t)] (p), on dit que f est l’original de F . On note f (t) = L ^{− 1} [F (p)].

Remarques :

•

^{On admet que sil'originalexiste, alors ilest unique.}

•

^{La tehnique de reherhe} d'originauxs'apparenteà elle de la reherhe de primitive.

Théorème 6 : Linéarité

La transformation L ^{− 1} est linéaire.

Preuve. ADMIS

3.2.

Exemples de reherhe d'original

D'une manière général, la reherhe d'originaux s'apparente à elle de la reherhe de

primitive.

On utilise le tableau des transformées de Laplae des fontions usuelles et on utilise le

théorème du retardet l'eet de lamultipliation par e

− at

.

Exerie résolu 3 :

Calulerl'original de

F (p) = 1 p + 1

2 p ² − 1 2( p ² + 2)

Solution : on saitque

L ^{− 1} 1

p

= U (t) L ^{− 1}

1 2 p ²

= 1 2 L ^{− 1}

1 p ²

= 1

2 t U (t).

Il reste à trouverl'originalde

1 2(p ² + 2)

^.

Comme l'original de

ω

p ² + ω ²

^est

sin(ωt) U (t)

^{, alors en prenant}

ω = √

2

^{, on trouve}

L ^{− 1}

" √ 2 p ² + 2

#

= sin( √

2t) U (t)

^{etpar suite}

L ^{− 1}

1 2(p ² + 2)

= 1

2 √

2 sin( √

2t) U (t)

^.

Ainsi

f(t) = U (t) + 1

2 t U (t) − 1 2 √

2 sin( √

2t) U (t) =

1 + 1

2 t − 1 2 √

2 sin( √ 2t)

U (t)

^.

Exerie résolu 4 :

Calulerl'original de

F ( p ) = 1 2p ² + p − 1

^.

Solution : On déompose

F

^{en éléments simpleset onobtient}

F (p) = 1

3

− 1

p + 1 + 1 p − ¹ ₂

.

On saitque

L [ U (t)] (p) = 1

p

^{. On utilisela}multipliationpar e

− at

pourobtenir :Ainsi

L ^{− 1} 1

p + 1

=

^e

^{− t} U (t)

^et

L ^{− 1} 1

p − ¹ ₂

=

^e

^{1 2 t} U (t)

^.

Pour onlure on utilise la linéarité :

f ( t ) = 1 3

−

^e

^{− t} U ( t ) +

^e

^{1 2 t} U ( t )

= 1

3

−

^e

^{− t} +

^e

^{1 2 t} U (t)

^.

Exerie résolu 5 :

Calulerl'original de

F ( p ) = 1

4p ² + 16p + 17 = 1 4

1 ( p + 2) ² + ¹ ₄

^.

Solution :

L [sin(ωt) U (t)] = ω

p ² + ω ²

^{. On prend don}

ω = 1

2

^d'où

L ^{− 1} 1

2

p ² + ¹ ₄

= sin( 1

2 t) U (t)

^.

Il faut don remplaer

p

^par

p + 2

^{, donon multipliepar}

e ^{− 2t}

^.

onobtient

f(t) = 1

4 × 2 × e ^{− 2t} × sin( 1

2 t) U (t) = 1

2 × e ^{− 2t} × sin( 1

2 t) U (t)

^.

Exerie résolu 6 :

Calulerl'original de

F (p) = 1

(p + 1) ² + 1 + 3 e ^{− 2p} (p + 1) ² + 1 .

Solution : En posant

G(p) = 1

(p + 1) ² + 1

^{, ona}

F (p) = G(p) + 3e ^{− 2p} G(p).

Cherhons l'originalde

G

^.

L'original de

1

u ² + 1

^est

sin ωt U (t)

^{. Il faut remplaer}

u

^par

p + 1

^{don en utilisant}

l'eet de la multipliation par e

− at

, on obtient que l'original de

1

(p + 1) ² + 1

^est

g(t) = sin te ^{− t} U (t)

^.

On utilise la linéaritéet lethéorème du retard.

On obtientalors

L ^{− 1} [F (p)] = g(t) + 3g(t − 2)

^.

Don

f ( t ) = sin te ^{− t} U ( t ) + 3 sin( t − 2) e ^{− (t − 2)} U ( t − 2)

^.

4.

Appliations de la transformation de Laplae

4.1.

Propriétés préliminaires

Théorème 7 : Transformée d’une dérivée

Soit f une fonction continue sur

^R

^{∗ +} , dérivable par morceaux sur

^R

^{∗ +} et dont la dérivée est continue par morceau sur

^R

^{∗ +} . Si F(p) = L [f (t) U (t)] (p), alors

L

f ^′ (t) U (t)

(p) = pF (p) − f(0 ⁺ ) où f (0 ⁺ ) la limite à droite en 0 de f .

Preuve. On supposeque

f

^{est delasse}

C ¹

^surR

^{+ ∗}

^.

L [f ^′ (t)U (t)] (p) =

Z + ∞ 0

f ^′ (t)

^e

^{− pt}

^d

t

^.

Onposepour tout

x > 0

^,

I(x) = Z x

0

f ^′ (t)

^e

^{− pt}

^d

t

^.

Onproède àl'aide d'uneintégrationpar parties (évidemment, on intègre

f ^′

^{) :}

Ainsi

I(x) =

f(t)e ^{− pt} x 0 + p

Z x 0

f (t)

^e

^{− pt}

^d

t = f (x)e ^{− px} − f(0 ⁺ ) + p Z x

0

f (t)

^e

^{− pt}

^d

t

^.

Onaforement

lim

x 7→ + ∞ f (x)e ^{− px} = 0

^{arsinononpeutdémontrerque}

Z ₊ ∞

0

f(t)

^e

^{− pt}

^d

t

^estdiver-

gente. Ainsi

lim

x 7→ + ∞ I(x) = p L [f (t)U (t)] (p) − f(0 ⁺ )

^.

Exerie résolu 7 :

Soit

f

^{la fontion dénie sur R par}

f (t) = sin(t) U (t)

.Déterminer la transformée de Laplae de

f ^′ (t)

^.

Solution : On applique la formule

L [ f ^′ ( t ) U ( t )] ( p ) = pF ( p ) − f (0 ⁺ )

^ave

F ( p ) = 1

p ² + 1

^et

f (0 ⁺ ) = lim

t 7→ 0 ⁺ sin(t) = 0

^.

On obtient

L [f ^′ (t) U (t)] (p) = p

p ² + 1

^{. On retrouve ainsi la formule onnue pour}

L [cos(t)]

^.

Théorème 8 : Transformée d’une dérivée (suite)

Soit f une fonction admettant une transformée de Laplace.

Si f ^′ une fonction continue sur

^R

^{∗ +} , dérivable par morceaux sur

^R

^{∗ +} et si f ^′′ est con- tinue par morceau sur

^R

^{∗ +} alors

L

f ^′′ (t) U (t)

(p) = p ² F (p) − pf (0 ⁺ ) − f ^′ (0 ⁺ ).

Preuve. On saitque

f ^′′ = (f ^′ ) ^′ .

Posons

g = f ^′

^{. Don}

g

^{est de lasse}

C ¹

^{sur R}

^{+ ∗}

^{. On peut don lui appliquer le théorème}

préédent.

Ainsi

L [g ^′ (t)U (t)] (p) = p L [g(t)U (t)] (p) − g(0 ⁺ ).

Or

g ^′ (t) = f ^′′ (t)

^{;on peutalors érire}

L [f ^′′ (t)U (t)] (p) = p L [f ^′ (t)U (t)] (p) − f ^′ (0 ⁺ )

^.

Mais,toujours selon lethéorème préédent, ona

p L [f ^′ (t)U (t)] (p) = p (pF (p) − f (0 ⁺ ))

^.

Ainsi

L [f ^′′ (t)U (t)] (p) = p ² F (p) − pf (0 ⁺ ) − f ^′ (0 ⁺ )

^.

Théorème 9 : Dérivée d’une transformation de Laplace Si F (p) = L [f (t) U (t)] (p), alors

F ^′ (p) = L [ − tf(t) U (t)] (p)

Preuve. ADMIS

Théorème 10 : Transformée d’une intégrale Si F (p) = L [f (t) U (t)] (p) et si ϕ(t) =

Z t 0

f (x) U (x)

^d

x alors

L [ϕ(t)] (p) = 1

p F (p) p 6 = 0

Preuve. ADMIS

Théorème 11 : Théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale

Si F (p) = L [f (t) U (t)] (p) et si les fonctions considérées ont des limites dans les condi- tions indiquées, on a :

• Théorème de la valeur initiale : lim

p 7→ + ∞ pF (p) = lim

t → 0 t > 0

f (t)

• Théorème de la valeur finale : lim

p → 0 p > 0

pF (p) = lim

t 7→ + ∞ f (t)

Preuve. ADMIS

4.2.

Résolution d'équations diérentielles

D'une manièregénérale, on proèdeen trois étapes:

1

^{. Passage du système} d'équations diérentielles ,à un système algébrique grae à la transformmée de Laplae;

2

^{. Résolution du système algébrique pour obtenir les} transformmées de Laplae des solutions;

Exerie résolu 8 :

On herhe à résoudre l'équation diérentielle

s ^′ (t) + s(t) = U (t) − U (t − 1)

^{, ave la}

ondition initiale

s(0 ⁺ ) = 0

^et

s

^{est une fontion ontinue sur R}

^{+ ∗}

^{et dérivable par}

moreaux.

Solution : Notons

S

^la transformée de Laplae de

s

^.

Etape 1 : On applique la transformée de Laplae à l'équation.

L [s ^′ (t) + s(t)] (p) = L [ U (t) − U (t − 1)] (p)

L [s ^′ (t)] (p) + L [s(t)] (p) = L [ U (t)] (p) − L [ U (t − 1)] (p) pS(p) − s(0 ⁺ ) + S(p) = 1

p − 1 p

^e

− p

pS(p) + S(p) = 1

p 1 − e ^{− p}

Etape 2 : On herhe l'expression de

S ( p ) (p + 1)S(p) = 1

p 1 − e ^{− p}

don

S ( p ) = 1

p(p + 1) 1 − e ^{− p}

Etape 3 : On détermine

s(t)

^{en herhant l'original de}

S(t) S(p) = 1

p(p + 1) − 1

p(p + 1) e ^{− p}

^.

On déompose en éléments simples

1

p(p + 1) = 1 p − 1

p + 1 .

Comme

L ^{− 1} 1

p

= U (t)

^et

L ^{− 1} 1

p + 1

=

^e

^{− t} U (t)

^{, on a}

L ^{− 1}

1 p ( p + 1)

= U (t) −

e

− t U ( t )

^.

Pour nir, d'après lethéorème du retard,on a aussi

L ^{− 1}

1 p(p + 1)

^e

− p

= U ( t − 1) −

e

− (t − 1) U ( t − 1)

^.

On onlut don que

s(t) = (1 − e ^{− t} ) U (t) − (1 − e ^{− (t − 1)} ) U (t − 1).

On peut fairele graphiquepour bien voirque lafontion est ontinue sur R.







s(t) = 0

^si

t ∈ ] − ∞ ; 0[

s(t) = 1 −

^e

^{− t}

^si

t ∈ [0, 1[

s ( t ) =

^e

^{− t} +

^e

^{− t+1}

^si

t ∈ [1 , + ∞ [

1

− 1

− 2

1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

4.3.

Résolution de système d'équations diérentielles

Exerie résolu 9 :

Résoudre le système

x ^′ (t) = 2x(t) − y(t)

y ^′ (t) = x(t) + 2y(t)

^{ave les onditions initiales}

x(0 ⁺ ) = 1

y (0 ⁺ ) = 0

^.

On admet que

x

^,

y

^{etleurs dérivées admettent des} transformées de Laplae.

Solution : On appliquela transformationde Laplaeau système eton obtient :

L [x ^′ ] = L [2x − y]

L [ y ^′ ] = L [ x + 2 y ] ⇔

pX (p) − x(0 ⁺ ) = 2X(p) − Y (p) pY ( p ) − y (0 ⁺ ) = X ( p ) + 2 Y ( p )

^.

On résout le système en

X(p)

^et

Y (p)

^{pour obtenir}

X ( p ) = p − 2

(p − 2) ² + 1

^et

Y ( p ) = 1 (p − 2) ² + 1 .

On sait que l'original de

p

p ² + ω ²

^est

cos( ωt ) U ( t )

^{. On prend don}

ω = 1

^{. Ensuite on}

doit remplaer

p

^par

p − 2

^{. d'où}

x(t) = cos t

^e

^2t U (t)

^{. On sait aussi que l'original de}

ω

p ² + ω ²

^est

sin(ωt) U (t)

^{. On prend}

ω = 1

^{.Ensuite on doit remplaer}

p

^par

p − 2

^,d'où

y ( t ) = sin t

^e

^2t U ( t )

^.

5.

Exeries

On peut déterminer des transformées de Laplaeave Maxima.

La syntaxe de la ommandeest :laplae (expr,

t

^,

s

^{) où}

t

^{est la variable de lafontion et}

s

^{est lavariablede la}transformée de Laplaeorrespondante.

Parexemple : laplae (exp (

2

^*

t

⁺

π

^{) * sin}

( t )

^*

t

^,

t

^,

s

⁾

5.1.

Intégrales généralisées

5.1

^{Caluler, en fontion de}

x

^{, lenombre}

Z x

1

1

t

^d

t

^{. En déduire}

lim

x 7→ + ∞

Z x 1

1 t

^d

t

^.

L'intégrale

Z + ∞ 1

1

t

^d

t

^{est-elle onvergente?}

5.2

^{Caluler,enfontionde}

x

^,lenombre

Z x 1

1

t ²

^d

t

^.Endéduire

lim

x 7→ + ∞

Z x 1

1

t ²

^d

t

^.L'intégrale

Z + ∞ 1

1

t ²

^d

t

^{est-elleonvergente?}

5.3

^On s'interresse auxintégralesgénéralisées de la forme

Z + ∞ 0

t ⁿ

^e

^{− pt}

^d

t

^{, où}

n ∈

^Net

p

est un réel stritementpositif.

On pose

I _n (x) = Z x

0

t ⁿ

^e

^{− pt}

^d

t 1

^{. Cas où}

n = 0

^.

Z x

b

^. L'intégrale

Z + ∞ 0

t ⁰

^e

^{− pt}

^d

t

^{est-elle onvergente? Sioui, donner savaleur.}

2

^{. Cas où}

n = 1

^.

a

^{. Caluler, à l'aided'une} intégration par parties,le nombre

I ₁ ( x ) = Z x

0

t

^e

^{− pt}

^d

t

^.

b

^. L'intégrale

Z + ∞ 0

t

^e

^{− pt}

^d

t

^{est-elle onvergente? Sioui, donner savaleur.}

3

^{. Cas où}

n > 2

^.

a

^{. Montrer,àl'aided'une}intégrationparparties,que

I _n ( x ) = x ⁿ −

^e

^{− px} p + n

p I _n − 1 ( x )

^.

b

^{. Donner etjustier une relationentre}

Z + ∞ 0

t ⁿ

^e

^{− pt}

^d

t

^et

Z + ∞

0

t ^{n − 1}

^e

^{− pt}

^d

t

^.

c

^{. Endéduire lesvaleurs de}

Z + ∞ 0

t ²

^e

^{− pt}

^d

t

^,

Z + ∞

0

t ³

^e

^{− pt}

^d

t

^,

· · ·

^,

Z + ∞

0

t ⁷

^e

^{− pt}

^d

t

^.

d

^{. Proposer une formulepour}

Z + ∞ 0

t ⁿ

^e

^{− pt}

^d

t

^.

5.2.

Fontions ausales

5.4

^{Dénir haunedes fontionssuivantes sansutiliserlafontion}

U

puisdessiner pour haune la ourbe représentative de lafontion.

1

^.

f (t) = 3 U (t) + U (t − 1) + 3 U (t − 2) 2

^.

g(t) = 2 U (t) − t U (t − 1) + (t − 2) U (t − 3) 3

^.

h(t) = sin(t) U (t) − sin(t) U (t − π)

4

^.

i(t) = t ² U (t) − (t ² − 5t + 4) U (t − 1) + (t ² − 4t + 4) U (t − 2) 5

^.

k ( t ) = t − t U ( t )

5.5

^{Dénir haune des fontionssuivantes par une seule égalité(et don en utilisantla}

fontion éhelon unité

U (t)

^).



 

 



 

 



f ( t ) = 0

^si

t ∈ ] − ∞ ; 0[

f (t) = t

^si

t ∈ [0, 1[

f (t) = 1

^si

t ∈ [1, 2[

f ( t ) = − t + 4

^si

t ∈ [2 , 4[

f (t) = 0

^si

t ∈ [4, + ∞ [

;



 

 

 

 

g(t) = 0

^si

t ∈ ] − ∞ ; 0[

g ( t ) = k

^si

t ∈ [0 , a [ g ( t ) = k

a − k

^si

t ∈ [ a, 2 a [ g(t) = t

^si

t ∈ [2a, + ∞ [

5.6

^{Exprimer haun des signaux suivants àl'aide de lafontion}

U (t)

^.

1 2

−1

−2

−3

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

1 2

−1

−2

−3

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

1 2

−1

−2

−3

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4

−1

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

f (x) = x ²

1 2

−1

−2

−3

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

1 2

−1

−2

−3

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

5.3.

Transformée de Laplae

5.7

^Calulerles transformées de Laplae de haune des fontionssuivantes :

1

^.

(3t ² − 2t + 1) U (t)

2

^.

( t ⁴ + t ³ + t ² + t + 1) U ( t ) 3

^.

(4 t ⁴ + 3 t ³ + 5 t ² + 2) U ( t ) 4

^{. e}

^{− 3t} U ( t )

5

^{. e}

^{− 5t+2} U ( t )

6

^.

[

^e

^{− 3t} +

^e

^3t ] U (t) 7

^{. e}

ωt +

^e

^{− ωt} 2 U (t) 8

^{. e}

ωt −

^e

^{− ωt} 2 U ( t )

5.8

^Calulerles transformées de Laplae de haune des fontionssuivantes :

1

^.

sin(3 t ) U ( t )

2

^.

[sin(3t) − 2 cos(3t)] U (t)

3

^.

[ t ² + cos(3 t )] U ( t )

5.9

^Calulerles transformées de Laplae de haune des fontionssuivantes :

1

^{. e}

^{− t} sin(3t) U (t) 2

^{. e}

^{− 3t} cos(2t) U (t)

5.10

^{On onsidère les fontions e}

^{− at} sin( ωt ) U ( t )

^{et e}

^{− at} cos( ωt ) U ( t )

^qui interviennent en physique pour dérire des phénomènesosillatoires déroissants.

Déterminer lestransformées de Laplaede haune de es deux fontions.

5.11

^{Caluler les}transformées de Laplae de haune des fontionssuivantes :

1

^.

cos(t − π) U (t − π) 2

^.

(t − 5) ³ U (t − 5) 3

^{. e}

^{− t+2} U (t − 2)

4

^.

sin(2t − π) U (t − π 2 ) 5

^{. e}

^{− 3t+5} U (t − 5

3 )

6

^{. e}

^{− 5t} U (t − 5) 7

^.

cos(t) U (t − π

2 ) 5.12

^{Enfaisantapparaîtreleterme}

t − 1

^,alulerlestransforméesdeLaplaede haune des fontionssuivantes.

1

^.

t U (t − 1) 2

^.

t ² U (t − 1)

3

^{. e}

^{− t} U (t − 1)

4

^.

[t ² + 2t] U (t − 1)

5.13

^{Caluler les}transformées de Laplae de haune des fontionssuivantes.

1

^.

( t − 2) U ( t − 3) 2

^.

cos( t ) U ( t − π ) 3

^.

t U (t − 2)

4

^{. e}

^{− t} U ( t − 4) 5

^.

t ² U ( t − 2)

6

^.

t [ U (t − 12) − U (t − 2)]

5.14

^{Caluler les}transformées de Laplae de haune des fontionssuivantes.

1

^.

sin(4t) U (t) 2

^.

cos ² (2t) U (t) 3

^{. e}

^{− 3t} cos(2t) U (t) 4

^.

(t − 2) ² U (t − 2)

5

^.

(t − 2) U (t) 6

^.

t ² U (t − 3) 7

^{. e}

^{− t} U (t − π)

8

^{. e}

^{− 2t} sin(t) U (t − π)

5.15

^{Dessiner les ourbes} représentatives des fontions suivantes, les exprimer à l'aide de l'éhelonunité et alulerleurs transformées de Laplae.

1

^.



 



 



f(t) = 0

^si

t ∈ ] − ∞ ; 0[

f ( t ) = 2 k

^si

t ∈ [0; a [ f(t) = k

^si

t ∈ [a; b[

f(t) = 0

^si

t ∈ [b; + ∞ [ 2

^.







f (t) = 0

^si

t ∈ ] − ∞ ; 0[

f (t) = t

^si

t ∈ [0; 1[

f ( t ) =

^e

^{− t+1}

^si

t ∈ [1; + ∞ [

3

^.







f(t) = 0

^si

t ∈ ] − ∞ ; 0[

f(t) = sin t

^si

t ∈ [0; 2π[

f(t) = 0

^si

t ∈ [2π; + ∞ [ 4

^.



 

 



 

 



f (t) = 0

^si

t ∈ ] − ∞ ; 0[

f ( t ) = t

^si

t ∈ [0; 1[

f (t) = 1

^si

t ∈ [1; 2[

f (t) = − t + 3

^si

t ∈ [2; 3[

f ( t ) = 0

^si

t ∈ [3; + ∞ [

5.4.

Reherhe d'originaux

5.16

^{Caluler lesoriginauxde haune des fontions suivantes :}

1

^.

F (p) = 3!

p ⁴ 2

^.

F (p) = − 3

p ² + 9 3

^.

F (p) = 1

p ³

4

^.

F (p) = 1 p + 1 5

^.

F ( p ) =

^e

^{− 2p} × 1

p 6

^.

F (p) = p

p ² + 1

^e

− 2p

5.17

^{Caluler lesoriginauxde haune des fontions suivantes :}

1

^.

F (p) = 3

p + 4 2

^.

F (p) = 3

p ² + 4

3

^.

F (p) = 3 ( p + 4) ² 4

^.

F (p) = 3

p ² − 4

5

^.

F (p) = 1 2 p + 4

5.18

^{Caluler lesoriginauxde haune des fontions suivantes :}

1

^.

F (p) = 3p

p ² + 4 2

^.

F ( p ) = 3 p

p ² − 4

3

^.

F (p) = 3

^e

^{− p} p + 4 4

^.

F ( p ) = 1 +

^e

^{− p}

p ³

5.19

^{Reherherlesoriginauxdehaunedesfontions}rationnellessuivantes.(Onmettra au préalable

F ( p )

^{sous la formeindiquée).}

1

^.

F (p) = 2 (p + 1)(p + 2)

F (p) = a

p + 2 + b p + 1

2

^.

F ( p ) = 1 p ² (p + 1)

F ( p ) = a p ² + b

p + c p + 1

3

^.

F (p) = 1

(p + a)(p + b) (a 6 = b) 4

^.

F ( p ) = 6 p + 6

(p ² + 2)(p + 2)

F ( p ) = ap

p ² + 2 + b

p ² + 2 + c p + 2

5

^.

F (p) = p p ² + 4 p + 5

F (p) = ap + 2

( p + 2) ² + 1 + c ( p + 2) ² + 1

5.5.

Appliations à la résolution d'équations diérentielles

5.20

^{L'étude d'un mouvement amorti amèneà onsidérer lafontion}

f

^{telle que:}







f ( t ) = 0

^si

t < 0

f ^′′ (t) + 2f ^′ (t) + 2f(t) =

^e

^{− t}

^pour

t > 0 (1) f (0) = 1

^et

f ^′ (0) = 0

Partie A : Détermination de la transformée de Laplace de f

On note

F

^la transformée de

f

^.

1

^{. Caluleren fontion de}

F (p)

^:

L [ f ^′′ ( t )] ( p ) ; L [ f ^′ ( t )] ( p )

^et

L [ f ^′′ ( t ) + 2 f ^′ ( t ) + 2 f ( t )] ( p ) 2

^{. Caluler}

L [

^e

^{− t} U ( t )]

^où

U

est l'éhelonunité.

3

^{. Appliquer la} transformée de Laplae à l'équation diérentielle

(1)

^{et en déduire}

l'expression de

F (p)

^{en fontion de}

p

^.

Partie B : Détermination de f

1 1

2

^{. Déduire du résultatpréédent} l'expression de

f ( t )

^pour

t

^positif.

5.21

^{Résoudre l'équation}diérentielle

y ^′′ + 4 y ^′ + 4 y = 0

^où

y

^{est lafontion ausale de}

transformée de Laplae

Y

^vériant

y(0 ⁺ ) = 0

^et

y ^′ (0 ⁺ ) = 1

^.

5.22

^{Résoudre l'équation}diérentielle

y ^′′ + 3y ^′ + 2y = 0

^où

y

^{est lafontion ausale de}

transformée de Laplae

Y

^vériant

y (0 ⁺ ) = 0

^et

y ^′ (0 ⁺ ) = 1

^.

5.23

^{Résoudre l'équation} diérentielle

y ^′′ + 2 y ^′ + y = 0

^où

y

^{est la fontion ausale de}

transformée de Laplae

Y

^vériant

y(0 ⁺ ) = 1

^et

y ^′ (0 ⁺ ) = 0

^.

5.24

^{Déterminer lasolution ausalede l'équation}diérentielle:

x ^′′ (t) + 4x(t) = cos(3t) U (t) x (0 ⁺ ) = 1

^et

x ^′ (0 ⁺ ) = 0

5.25

^{On onsidère lesystème} diférentielle

x ^′ (t) = 5x(t) − y(t)

y ^′ (t) = x(t) + 5y(t)

^{ave les onditions initiales}

x(0 ⁺ ) = 1 y(0 ⁺ ) = 0

où

y

^et

x

^{sont des fontions ausalesde lavariable}

t

^{, ontinues sur}

]0; + ∞ [

^.

1

^{. Montrer quela}transformationde Laplaeappliquéeausystème diérentielonduit au système :

(p − 5)X(p) + Y (p) = 1

− X(p) + (p − 5)Y (p) = 0 2

^{. En déduireque les}expressions de

X(p)

^et

Y (p)

^sont

X ( p ) = p − 5

1 + (p − 5) ²

^et

Y ( p ) = 1 1 + (p − 5) ² 3

^{. En déduireles} expressions de

x ( t )

^et

y ( t )

^.

5.26

^{Résoudre haun des systèmes} dierentielles suivantdans lesquel

x

^et

y

^{sont deux}

fontions ausales de transformées de Laplae

X

^et

Y

^.







x ^′ = 2x + y y ^′ = x + 2 y

x(0) = 0

^et

y(0) = 1

;







x ^′ = 3x + 2y y ^′ = x + 2 y

x(0) = 3

^et

y(0) = 0

5.6.

Appliations à des as pratiques

5.27

^{On onsidère le iruit i-dessous eton se propose d'étudier en fontion du temps}

(expriméeen seondes), l'intensitéduourant

i ( t )

^{(expriméeen ampères)suivantlafore}

életromotrieappliquée aux bornes.

f ( t )

On saitquel'équation diérentielle régissant le iruitest :

1 2

d

i

d

t (t) + 10i(t) = f (t). (1) Partie A

Dans ette partie,on suppose que

f(t) = 5.

1

^{. Déterminer lasolution}

i ₁

^{de l'équation}

(1)

^vériant

i ₁ (0) = 0

^.

2

^{. Etudier lesens de variation de}

i ₁

^sur

[0; + ∞ [

^.

3

^. Représenter graphiquement

i ₁

^{dans un repère orthormal pour}

0 6 t 6 0.5

^(unité

graphique :20 m).

Partie B

On suppose maintenantque lafore életromotrie

f

^{est déniepar :}







f(t) = 0

^si

t < 0 f(t) = 5

^si

0 6 t < 0.5 f(t) = 0

^si

t > 0.5

1

^.

a

^{. Donner} l'expression de

f(t)

^{en utilisantla fontion ehelon unité.}

b

^{. Endéduire la}transformée de Laplaede

f

^.

2

^.

a

^{. Déterminerlesréels}

a

^et

b

^{telsque,pour toutréel}

p

^{stritementpositif,onait:}

10

p(p + 20) = a

p − b p + 20 .

b

^{. Endéduire lesoriginaux de Laplae des fontions déniespar :}

F ₁ (p) = 10

p ( p + 20)

^et

F ₂ (p) = 10

^e

^{− p 2} p ( p + 20)

3

^.

a

^{. En appliquant la tranformée de Laplae à l'équation}

(1)

^, déterminer, à l'aide desquestionspréédentes,lasolution

i ₂

^{del'équation}diérentielle

(1)

^vériant

i ₂ (0) = 0

^.

b

^{. Montrer que ette solutionpeut s'érire:}

( i ₂ ( t ) = i ₁ ( t )

^si

0 6 t < 0 . 5 (t) = 1

( ¹⁰ − 1) ^{− 20t} 0.5

5.28

^{Lebutdeetexerieestl'étudede} l'intensitéduourantdanslesmaillesduréseau i-dessous.

e R ₁

R ₂ R ₃

L ₂ L ₃

i ₁ i i ₂

On suppose

R ₁ = 30

^,

R ₂ = 10

^,

R ₃ = 20

^,

L ₂ = 2

^,

L ₃ = 4

^{. Les fontions}

e

^,

i

^,

i ₁

^et

i ₂

^sont

dénies sur R.

On saitpar ailleurs que

•

^{pour tout}

t < 0

^:

e(t) = i(t) = i ₁ (t) = i ₂ (t) = 0

^.

•

^{pour tout}

t > 0

^:

i(t) = i ₁ (t) + i ₂ (t)

^.

Lesloisde l'életriitémontre quelesfontions

i ₁ ( t )

^et

i ₂ ( t )

^{sontsolutionssur} l'intervalle

[0; + ∞ [

^{du système} dierentielle :



 

 



 

 



5i 1 (t) +

^d

i ₁

d

t (t) − 10i 2 (t) − 2

^d

i ₂

d

t (t) = 0 20i 1 (t) +

^d

i ₁

d

t (t) + 15i 2 (t) = 1 2 e(t) i ₁ (0 ⁺ ) = i ₂ (0 ⁺ ) = 0

On suppose que les fontions

e

^,

i ₁

^et

i ₂

^{admettent des} transformées de Laplae que l'on notera respetivement

E

^,

I ₁

^et

I ₂

^.

1

^{. Montrer quela}transformationde Laplaeappliquéeausystème diérentielonduit au système :

( ( p + 5) I ₁ ( p ) − (2 p + 10) I ₂ ( p ) = 0 (p + 20)I 1 (p) + 15I 2 (p) = 1

2 E(p) 2

^{. En déduireles} expressions de

I ₁ (p)

^et

I ₂ (p)

^{.On obtiendra :}

I ₁ (p) = E ( p )

2p + 55 ; I ₂ (p) = E ( p ) 2(2p + 55)

(On supposera que lesonditions

p 6 = − 5

^et

p 6 = − 55

2

^{sontii vériées).}

3

^{. Dans ette question lafontion}

e

^{est dénie par :}

e(t) = 110 U (t) − 110 U (t − 1 10 ) a

^{. Déterminer}

E ( p )

^.

b

^{. Déterminerdeuxréels}

A

^et

B

^{telsque,pourtout}

p

appartenantàR

−{ 0; − 55 2 }

^,

onait :

1

p(2p + 55) = A

p + B

2p + 55

c

^{. Endéduire les}expressions de

i ₁ (t)

^,

i ₂ (t)

^{, et}

i(t)

^sur

[0; + ∞ [