Résolution d’un système paramétré.
Exercice 1 :
On considère le système (𝑆) {(3 − 𝜆)𝒙 − 2𝒚 = −4
5𝒙 − (4 + 𝝀)𝒚 = 5 où 𝜆 ∈ ℝ est fixé.
On souhaite déterminer, suivant les valeurs de 𝜆, les solutions de ce système (𝑆).
1) Ecrire le système sous forme matricielle 𝐴𝑋 = 𝐵.
2) Justifier que la matrice 𝐴 est inversible si et seulement si 𝜆 vérifie 𝜆2+ 𝜆 − 2 ≠ 0.
3) Déterminer l’ensemble des solutions du système (𝑆) exprimées en fonction de 𝜆, pour toutes les valeurs de 𝜆 ∈ ℝ.
Exercice 2 :
𝑡 est un paramètre réel.
Pour chaque 𝑡 fixé, on considère les droites (𝑑1) et (𝑑2) d’équations respectives 𝑡²𝑥 + 𝑦 = 1 et 𝑡𝑥 + 𝑦 = 𝑡.
On souhaite déterminer, à l’aide du calcul matriciel, les points d’intersection de ces droites, donc on veut résoudre le système (𝑆): {𝑡²𝑥 + 𝑦 = 1
𝑡𝑥 + 𝑦 = 𝑡} .
1) On suppose dans cette question que 𝒕 = 𝟐.
a) Ecrire le système (𝑆) sous la forme 𝐴𝑋 = 𝐵 où 𝑋 = (𝑥
𝑦) et où 𝐴 et 𝐵 sont deux matrices à préciser.
b) Justifier que la matrice (4 1
2 1) est inversible et déterminer son inverse.
c) Résoudre le système (𝑆), à l’aide d’un calcul sur les matrices.
2) Dans cette question, on revient au cas général où 𝒕 est un paramètre réel quelconque.
a) Traduire le système sous la forme 𝐴𝑋 = 𝐵 où 𝑋 = (𝑥
𝑦) et où 𝐴 et 𝐵 sont deux matrices que l’on précisera et qui dépendent du paramètre t.
b) Déterminer à quelle condition sur 𝑡 la matrice 𝐴 est inversible.
Exprimer 𝐴−1 en fonction de 𝑡 dans ce cas.
c) Justifier que, dans ce cas, le système a une unique solution et que cette solution est (𝑥
𝑦) = ( −1
𝑡
𝑡 + 1).
3) Etude de cas particuliers :
a) Ecrire et résoudre le système (𝑆) pour 𝑡 = 1. Que peut-on dire des droites (𝑑1) et (𝑑2) dans ce cas ?
b) Reprendre la question précédente pour 𝑡 = 0.
4) Question finale
Sur quelle(s) courbe(s) se trouvent les points qui sont solutions des systèmes {𝑡²𝑥 + 𝑦 = 1
𝑡𝑥 + 𝑦 = 𝑡} lorsque 𝑡 parcourt ℝ ?
CHEVRIER – Math Expertes -2020/2021
