Exercice 1: Soient n et m des entiers naturels non nuls. On considère un système de contrôle linéaire autonome

Université Pierre et Marie Curie Contrôle en dimension finie et infinie M2, Spécialité Mathématiques de la Modélisation 1er semestre 2016–2017

Examen

2h30

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Exercice 1: Soient n et m des entiers naturels non nuls. On considère un système de contrôle linéaire autonome

˙

x(t) = Ax(t) + Bu(t), avec A ∈ M _n (IR) et B ∈ M _n,m (IR), et on suppose qu’il vérifie la condition de Kalman. Soit T > 0, on définit

C _T = Z T

0

e ^−tA BB ^> e ^−tA

.

Rappeler pourquoi C T est inversible, puis démontrer que le système est exponentiellement asymptotiquement stabil- isable avec la matrice de feedback K = −B ^> C _T ⁻¹ .

Indication: On montrera que la fonction V (x) = x ^> C _T ⁻¹ x est une fonction de Lyapunov. Pour cela, on montrera que

V ˙ = −2kB ^> C _T ⁻¹ xk ² + x ^> A ^> C _T ⁻¹ + C _T ⁻¹ A x, puis que

x ^> A ^> C _T ⁻¹ + C _T ⁻¹ A

x = −kB ^> e ^{−T A}

C _T ⁻¹ xk ² + kB ^> C _T ⁻¹ xk ² . On utilisera ensuite le principe de LaSalle.

1

Exercice 2:

On considère le mouvement (planaire) d’un navire en présence de houle.

Dans un référentiel fixe, à l’instant t, le navire est repéré par trois coordonnées (x(t), y(t), θ(t)), où (x, y) est la position dans le plan IR ² et θ est un angle par rapport à un axe fixe. On note v(t) la vitesse relative latérale due à la houle. Le pilotage du navire se fait avec deux contrôles scalaires (supposés non contraints) : u 1 (t) (contrôle de la vitesse axiale) et u 2 (t) (contrôle de la rotation du navire). Le système s’écrit

˙

x(t) = u ₁ (t) cos θ(t) − v(t) sin θ(t)

˙

y(t) = u 1 (t) sin θ(t) + v(t) cos θ(t) θ(t) = ˙ u 2 (t)

˙

v(t) = −u ₁ (t)u ₂ (t) − v(t) Le système part d’une condition initiale fixée : x(0) = x ₀ , y(0) = y ₀ , θ(0) = θ ₀ , v(0) = v ₀ .

1. Contrôlabilité.

(a) Ecrire le système linéarisé en le point d’équilibre (¯ x, y, ¯ θ, ¯ v ¯ = 0), u ¯ 1 = 0, u ¯ 2 = 0. Montrer qu’il n’est pas contrôlable, même si on se restreint aux 3 premières variables.

(b) On fixe maintenant le contrôle u 2 (t) = 1 constant, et on suppose que θ 0 = 0. Ecrire le système de contrôle qui en résulte (contrôlé par u 1 ), et étudier sa contrôlabilité.

(c) On fixe maintenant le contrôle u ₁ (t) = 1 constant. On suppose v ₀ 6= 0.

i. Ecrire le système de contrôle qui en résulte (contrôlé par u 2 ). Calculer la trajectoire (¯ x(t), y(t), ¯ θ(t), ¯ v(t)) ¯ associée au contrôle ¯ u 2 (t) = 0.

ii. Linéariser le système le long de la trajectoire associée à u ¯ 2 (t) = 0, et étudier sa contrôlabilité.

iii. Que peut-on en déduire pour le système non linéaire de départ ?

2. Contrôle optimal. On considère le problème de rejoindre la position finale x(t f ) = x 1 , y(t f ) = y 1 , θ(t f ) = θ 1

(avec t _f et v(t _f ) libres), en minimisant R t

0 (u ₁ (t) ² + u ₂ (t) ² ) dt.

On admet temporairement être dans le cas normal, et on normalise le vecteur adjoint de sorte que p ⁰ = −1/2.

(a) Ecrire le Hamiltonien du problème de contrôle optimal. On note p x , p y , p θ , p v les coordonnées adjointes.

(b) Ecrire les équations extrémales adjointes.

(c) Ecrire les conditions de transversalité sur l’adjoint et sur le temps. En particulier, montrer que le Hamil- tonien est nul le long de toute extrémale.

(d) Condition de maximisation.

i. Ecrire le système en (u ₁ , u ₂ ) obtenu en appliquant la condition de maximisation du principe du maxi- mum de Pontryagin, et le résoudre sous une condition qu’on précisera.

ii. Montrer par l’absurde que la fonction t 7→ p _v (t) n’est constante, égale à 1 ou à −1, sur aucun sous- intervalle.

Indication: Si p _v = ε = ±1 est constante sur un sous-intervalle I non trivial, montrer alors qu’on doit avoir u ₁ = u ₂ = 0, θ = Cste sur I. Montrer qu’on doit avoir I = [0, t _f ] puis conclure.

(e) (Question bonus, plus difficile) Montrer que le cas anormal p ⁰ = 0 n’arrive pas si v 0 6= 0.

Indication: Montrer que p _v ne s’annule identiquement sur aucun sous-intervalle. Puis exprimer les contrôles extrémaux et analyser les limites des différentes composantes en t = t _f .

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