Exercice 1. Soit u = (u

Feuille n

0 MM2

Comment d´ emontrer que.... ?

1 Echauffement ´

Exercice 1. Soit u = (u

)

une suite ` a valeurs r´ eelles. Traduire ` a l’aide de quantificateurs les notions suivantes.

– La suite u est minor´ ee.

– La suite u est born´ ee.

– La suite u est stationnaire.

– La suite u diverge vers +∞.

Exercice 2. Ecrire ` ´ a l’aide de quantificateurs les assertions suivantes.

– Le trinˆ ome X

+ 4X + 3 poss` ede au moins une racine r´ eelle.

– Le trinˆ ome X

+ 3 est toujours positif sur R .

Exercice 3. Soit f : R → R une fonction. Traduire en fran¸cais correct les affirmations suivantes.

– ∃T ∈ R / ∀x ∈ R, f(x) ≤ T.

– ∃T ∈ R / ∀x ∈ R , f(x + T ) = f (x).

– ∃x

∈ R / f (x

) = 0.

– ∀x, y ∈ R, x ≤ y ⇒ f(x) ≥ f (y).

Exercice 4. Ecrire la n´ ´ egation des phrases suivantes. En profiter pour s’in- terroger sur leur signification. Soit E un ensemble, f une fonction de E dans R .

– ∀x ∈ N , ∃y ∈ N / y > x

. – ∀y ∈ R, ∃x ∈ E / y = f (x).

– ∀x ∈ E, x

∈ E, (x 6= x

⇒ f (x) 6= f (x

)).

– ∀x

∈ R , ∀ε > 0, ∃η > 0 / ∀x ∈ R , (|x −x

| < η ⇒ |f (x) − f (x

)| ≤ ε).

Exercice 5. Ces assertions sont-elles vraies ?

∀x ∈ R , ∃m ∈ Z / x ≥ m.

∃m ∈ Z / ∀x ∈ R , x ≥ m.

2 Raisonnements

Exercice 6. Enoncer le th´ ´ eor` eme de Pythagore et sa r´ eciproque.

Exercice 7 (Les fondements de l’epsilonite). Montrer que pour tout nombre complexe z,

(∀ε > 0, |z| < ε) ⇒ z = 0.

1

Exercice 8 (Raisonnement par disjonction de cas.). Etablir que pour tout (a, b) ∈ R

:

max(a, b) = 1

2 (a + b + |a − b|), min(a, b) = 1

2 (a + b − |a − b|).

Exercice 9 (Raisonnement par analyse/synth` ese.). 1. Donner un exemple d’une fonction paire, d’une fonction impaire, d’une fonction ni paire ni impaire.

2. Montrer que toute fonction est somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

Exercice 10. Montrer que pour tous q ∈ N

, q > 1 et n ∈ N

, si q|n alors q 6 |n + 1.

Exercice 11. Montrer que l’ensemble des nombres premiers est infini.

Exercice 12. Pour tout n ∈ N , n ≥ 2, on note S

= 1·2+2·3+· · ·+(n−1)·n.

Montrer de deux mani` eres diff´ erentes que pour tout n ∈ N , n ≥ 2, S

= 1

3 (n − 1)n(n + 1).

Exercice 13. Montrer de deux mani` eres diff´ erentes que pour tout n ≥ 1, P

k=1

k · (k!) = (n + 1)! − 1.

Exercice 14. Montrer que pour tout n ∈ N ,

n

X

k=1

k

=

n

X

k=1

k

!

.

Exercice 15 (Binˆ ome de Newton). Montrer que pour tous nombres com- plexes a, b et pour tout entier naturel n,

(a + b)

=

n

X

k=0

n k

a

b

.

2