f(x)IF(x)k (une constante)

PRIMITIVES USUELLES c désigne un réel quelconque

f(x) I F(x)

k (une constante) ℝ kx+c

xⁿ où n ∈ℕ* ℝ xⁿ⁺¹

n+1 + c xⁿ où n ∈ℤ^-∗-{-1} ^{]0 ;+∞ [} ou ]−∞; 0[ xⁿ⁺¹

n+1 + c

1÷x ^{]0 ;+∞ [} ou ]−∞; 0[ ln ∣x∣ + c

e

1

√

√

sin(x) ℝ - cos(x) + c

cos(x) ℝ sin (x) + c

Propriété 3 :

Soient f et g deux fonctions admettant F et G comme primitives sur I alors une primitive de a .f + b.g où a et b sont des réels est a F + b G.

Démonstration :

(aF+bG)' = aF'+BG' = af+bg donc aF+bG est une primitive de af+bg

Propriété 4 : Si u dérivable sur I alors :

fonction primitive condition de validité

u’.uⁿ où n ∈ℕ* uⁿ⁺¹ n+1 + c u’.uⁿ où n ∈ℤ^-∗-{-1} uⁿ⁺¹

n+1 + c u ≠ 0 sur I

u '

u ln∣u∣+ c u ≠ 0 sur I

u '

√

√

u’ e^u e^u + c

u’. sin(u) - cos(u) + c

u’ . cos(u) sin(u) + c

EXERCICE 2 :

Déterminer l’ensemble de continuité I et une primitive sur I des fonctions définies par : f₁ ( x ) = x⁴ f₂ ( x ) =2x⁴ + 5x³ -8x² +3x + 7 f₃ ( x ) = 1

5 x⁶

f₄ ( x ) = -3 x² + 5x - 4 + 3



7 x



9 x x²– 9

f₈ ( x ) =(x + 1) (3 x²+6 x+2)³ f₉ ( x ) = 5

– 2 x4⁴ f₁₂ ( x ) = 5



f₁₃ ( x ) = lnx

x  7

3 x f₁₅ ( x ) = -5 e ^{2 x} +7 e^x -3

f₁₆ ( x ) = e^x

5e^x2 f₁₇ ( x ) = ¹

xlnx