équations différentielles et transformées de Laplace

Partiel n°2 mathématiques BTSGO 2^ième année 2008-2009 Exercice BTS-GO -2005

L'exercice est composé de deux parties qui peuvent se traiter de façon indépendante.

Partie A

Un embrayage vient appliquer, à l’instant ^t⁰, un couple résistant constant sur un moteur dont la vitesse à vide est de 150 rad/s. On note ^{w t( )}, la vitesse de rotation du moteur à l’instant t.

La fonction ^w est solution de l’équation différentielle : 1

'( ) ( ) 146 (1)

200y t y t  ; où y désigne une fonction dérivable de la variable réelle positive t.

1. (a) Déterminer la solution générale de l’équation différentielle (1).

On cherchera une solution particulière constante.

(b) Sachant que ^{w(0) 150} , montrer que w t( ) 146 4  e^200t pour tout ^t



^0;



2. (a) On note^{w }_t^{lim w t( )}. Déterminer la perte de vitesse w_ w0 due au couple résistant.

(b) On considère que la vitesse du moteur est stabilisée lorsque l’écart relatif ^{w t( )}_w ^w



 est inférieur à 1 %.

Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse.

On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au millième. Partie B

La vitesse du moteur étant stabilisée, on s'intéresse dans cette deuxième partie à l'effet d'une perturbation ^du couple résistant sur la vitesse de rotation du moteur .

On note ^{f t( )}la différence, à l'instant t, entre la vitesse perturbée du moteur et sa vitesse stabilisée.

La fonction f est solution de l'équation différentielle : 1

'( ) ( ) ( ) (2)

200 f t  f t  t avec f(0 ) 0^  On admet que la fonction f possède une transformée de Laplace notée F .

La fonction ^est définie par ^{( )t K}_^{U ( )t U (t )}_où ^et K sont des réels strictement positifs caractérisant la perturbation et U est la fonction échelon unité ( ) 0 0

( ) 1 0

t si t

t si t

  

  

 U

U .

1. a) Représenter la fonction ^pour ^= 0,005 et K = 0,2 .

b) Déterminer, en fonction de ^et K, la transformée de Laplace ^de la fonction^.

2. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle (2), déterminer^{F p( )} .

3. a) Déterminer les réels a et b tels que _{p p(} ²⁰⁰_200)^{ a}_p^ _p^b₂₀₀ pour tout réel p strictement positif.

(b) En déduire l'original f de la fonction F. On vérifiera notamment que :

200

200 200

( ) (1 ) [ 0; [

( ) ( 1) [ ; [

t t

f t K e si t

f t K e e si



 

    



    



(c) Donner le sens de variation de la fonction f sur chacun des intervalles ^{[0; [} et ^{[ ; [} .

Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de ces deux intervalles.

(d) Représenter la fonction f pour ^= 0,005 et K = 0,2.

On pourra tracer les courbes représentatives des fonctions ^et f dans le même repère. (voir annexe ) Exercice 2-BTS-94

On considère le système différentiel suivant : ^S:



^{x ty t'( )'( ) 12   7xx106y tyU ( )t , oùxety} sont des fonctions numériques de la variable réelle^tdéfinies et dérivables sur_ telles que



^{xx t(0)( )y ty( ) 0(0) 0 si t0.}

Et où U désigne la fonction échelon unité définie par :



^{UU ( ) 0( ) 1tt  si tsi t00.}

On admet que les fonctionsxet^y et leurs dérivées ont des transformées de Laplace , et l’on note : ( ) ( ( ) ( ))

X p L x t U t et ^{Y p( )}L ^{( ( ) ( ))y t} U ^t .

1. à partir du système (S) montrer que l’on a : ²

( 7) ( ) 6 ( ) 1 :

12 ( ) ( 10) ( ) 0

p X p Y p

S p

X p p Y p

   

   

 2. a. Calculer^{X p( )}et ^{Y p( )}.

b. Montrer que ^{X p( )}et ^{Y p( )}peuvent s’écrire respectivement sous la forme :

^{( ) 7 5}₂ ^{9 2}

1 2

X p   p p  p  p

  ; ^{( ) 9 6}₂ ^{12 3}

1 2

Y p  p p  p  p

 

3. Déterminer alors ^{x t( )} et ^{y t( )} pour t0.

4. on se propose d’étudier la fonction numérique xdéfinie sur ^[0;[ par :x t( )   7 5t 9e^t 2e^2t a. Calculer ^{f t'( )}, puis vérifier que ^{f t'( ) }



^et1



^^et5₄^

b. Etudier les variations dex(dérivée, tableau de variation , limite de^{x t( )}quand ^ttend vers ^) . c. Représenter graphiquement x, pour ⁰ ^{t 0, 4}, dans un repère orthormal ( ; , )O i j 

( unités graphiques : 4 cm représente 0,1 unité sur les axes ).

Solution

1. (a) Il faut résoudre l’équation homogène associée : ^{1 '( ) ( ) 146 (1)} 200y t y t 

La solution homogène est donnée par :₁( )t ke^200tavec k

Il faut chercher une solution particulière de l’équation complète sous la forme d’une constante, c’est à dire :^{( )t} ₀ donc ^{'( ) 0t} 

Remplaçons dans l’équation (1) ; on obtient : ¹ '( ) ( ) 146 0 ₀ 146 ₀ 146 200 t  t       Une solution particulière est donc : ₂^{( ) 146t} 

La solution générale de l’équation complète est obtenue est la somme de la solution homogène de l’équation et une solution particulière de l’équation avec second membre, c’est-à-dire :

( )t ke 200^t 146

  ^  avec k

(b) On a ^{(0) 150} donc (0)ke⁰146 150 donc k 4. On a donc bien : ( ) 4t  e^200t 146 2. (a) On sait que _t^lim_^{e200t 0} donc : lim ( ) 146_t  t

 

La perte de vitesse est donc :₀_ ^{150 146 4}  (b) On a :

200 200

( ) 4 2

146 73

t t

w t w e e

w

 





   . Il faut donc résoudre : ^{( ) 1}

100 w t w

w





  Donc :

200 200

2 1 2 1

73 100 73 100

t t

e^ e^

   .Il vient : ^{200 73} 200 ln 0,365

200

e^ t    t donc − 200t < ln 0, 365 D’où ^ln(0,365)

t 200

 et on obtient : ^{t0,00503929}.En conclusion la valeur approchée est ^{t0,005s5ms} Partie B

1. a . ^{( )t K}_^{U ( )t U (t )}_, donc ^{( ) 0 0 0} 0

t K sisi t t

 si t 



 

  

 

La représentation graphique de la fonction ^ est :

^{0,01 0,015 0,02}

0,2

0 0,005

0,1

x y

b. La transformée de Laplace de^{( )t} est

^{( )p L ( ( )) t K[L (U ( )t L (U (t)]K}_P^{1 }_P^{1ep}_^K_P



^1ep



^.

2. On applique la transformée de Laplace aux deux membres de l’équation différentielle (2) : ^{1 '( ) ( ) ( ( ))}

200 f t f t  t

 

 

 

 

L L cela nous donne ^₂₀₀^{1 f t'( )}^



^{f t( )}



^{ ( ( )) t}

 

L L L et enfin

₂₀₀¹



^{pF p( ) 0}



^{F p( ) K}_P



^1ep



^{ F p( )}_200^{p  1}_ ^K_P



^1ep



^{. DoncF p( )} _{P p}

_

²⁰⁰_^K₂₀₀

_ 

^1ep



^.

3. a. On peut écrire : ^{P p}



^200200



^{ ap pb200a p(p p(200)200)bp(a b pp p()200)200a}

On a donc : ^{a b 0} et ^200a200 , d’où ^{a1et b   a 1} On conclut : ^{P p}



^200200



^{ 1p p1200.}

b. On sait que ^{F p( )} _{P p}



²⁰⁰_200^K

 

^1ep



, on peut donc écrire ^{F p( )K}¹_p^ _p¹₂₀₀^



^1ep



^{F p( )K}¹_p^ _p¹₂₀₀^{ 1}_p^ep _p¹₂₀₀^ep.Par conséquent l’original de la fonction F est : ^{f t( )K U t}



^{( )e200tU t( )U t(  ) e200(t)U t( )}



^.

i) Si ^t⁰ : ^{f t( )K}

 

^{0 0.}

ii) Si ^{0 t } : ^{f t( )K}



^{1e200t  0 0}

 

^{K 1e200t}



iii) Si ^t : ^{f t( )K}



^{1e200t  1 e200(t)}

 

^{K e200te200 200te }



^Ke200t



^{ 1 e200}



^.

c. i) Si ^t0 : ^{f t( ) 0} .donc ^f est constante sur ^{] ;0[}

ii) ⁰ ^t  : ^{f t( )K}



^1e200t



^{, donc f t'( ) 200 Ke200t 0, car k0 et e200t 0.}

Donc ^f est croissante sur ^{[0; [} .

iii) Si ^t : ^{f t( )Ke200t}



^{ 1 e200}



^{.donc f t'( ) 200Ke200t}



^{ 1 e200}



^{0, car 200K0 et}

e^200 1. Donc^f est décroissante sur ^{[ ; [}. Déterminons les limites aux bornes :

i) _t^{lim ( )}₀ ^{f t} ^K(1^{e0) 0} ii) _t^{lim ( )}_ ^{f t K(1 e 200)}



  

iii) _t^{lim ( )}_ ^{f t Ke 200( 1 e200) K e( 200 1)}

 

       , on remarque que _t^{lim ( )}_ ^{f t} _t^{lim ( )}_ ^{f t K(1 e 200)}



     .

iv) _t^{lim f t( ) 0} car _t^lim_^{e200t 0}. d) On obtient le graphique ci-dessous

0,01 0,015 0,02

0,2

0 0,005

0,1

x y

Exercice 2

1. On applique la transformation de Laplace aux deux membres des deux équations du système (S) , en utilisant la linéarité de cette transformation :

S:



^{( '( ))}( '( )) 12 ( ) 10 ( )x ty t  7 ( ) 6 ( )xx  yy (t ( ))t

 

L L L L

L L L U

.or L ( '( ))x t pX p( )x(0 )^  pX p( ), puisque x(0 ) 0^  . De même ^{L ( '( ))y t  pY p( )pY p( )}.enfin 2

(t ( ))t 1

 p

L U ( résultat formulaire ).

Le système précédent devient : ^{2 2}

1 1

( ) 7 ( ) 6 ( ) ( 7) ( ) 6 ( )

: :

( ) 12 ( ) 10 ( ) 12 ( ) ( 10) ( ) 0

pX p X p Y p p X p Y p

S p S p

pY p X p Y p X p p Y p

 

      

  

 

      

 

.

2.

2 2

2 2 2

( 7)( 10) ( ) 6 ( ) 1 3 70 72 ( ) 1 3 2 ( ) 1

12 12 12

: : :

( 10) ( 10) ( 10)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12 12 12

p p Y p Y p p p Y p p p Y p

p p p

S S S

p p p

X p Y p X p Y p X p Y p

 

             

    

     

     

  

  

2 2

( ) 12

( 3 2)

Y p  p p p

  et 2 2

( 10) 10

( ) ( )

12 ( 3 2)

p p

X p Y p

p p p

 

 

  .

En réduisant au même dénominateur , on obtient :

2 2

3 3 2

2

3 3

2 2

7 5 9 2 ( 1)( 2) 5( 1)( 2) 9 ²( 1) 2 ²( 1)

( ) 1 2 ( 1)( 2)

7 ( ² 3 2) 5( ² 3 2) 9 18 ² 2 2

( ) ( 1)( 2)

7 21 ² 14 5 ² 15 10 7 16 ² 10

( ) ( 1)( 2) ( 1)( 2

p p p p p p p p p

X p p p p p p p p

p p p p p p p p p

X p p p p

p p p p p p p p

X p p p p p p p

         

     

   

         

  

        

 

    )

2 2

9 6 12 3 9 ( 1)( 2) 6( 1)( 2) 12 ²( 2) 3 ²( 1)

( ) 1 2 ( 1)( 2)

p p p p p p p p p

Y p p p p p p p p

        

    

   

3 3 2

2

9 ( ² 3 2) 6( ² 3 2) 12 24 ² 3 3

( ) ( 1)( 2)

p p p p p p p p p

Y p p p p

        

  

^{( ) 9 3 27 ² 18} ₂ ^{6 ² 18 12 9 3 21 ²} ₂ ¹²

( 1)( 2) ( 1)( 2)

p p p p p p p

Y p p p p p p p

      

 

   

3. ^{x t( )}étant l’original de ^{X p( )}, on en déduit en utilisant la linéarité de L ^ :

^{( ) 7 1 5 1}₂ ^{9 1 2 1}

1 2

x t p p p p

       

 

             

L L L L

^{( ) 9 1 6 1}₂ ^{12 1 + 3 1}

1 2

y t p p p p

       

 

            

L L L L

Or ^{1 ( )t} p

 

 

  

L U ; ¹₂ ^{t ( )t} p

 

  

 

 

L U ; ^{1 ( )}

1

et t p

 

 

  

 

L U et ^{1 2 ( )}

2

e t t p

 

 

  

 

L U

( formulaire : ^L



^{U ( )t}



^{ 1}_p ;



^{t ( )t}



¹₂

 p

L U et ^L



^{eatU ( )t}



^ _{p a}¹_ ^{, ici a 1 et a 2).}

Donc x t( ) 7U ( ) 5t  tU ( ) 9t  e^tU ( ) 2t  e^2tU ( )t et y t( ) 9 U ( ) 6t  tU ( ) 12t  e^tU ( ) 3t  e^2tU ( )t . x t( )   7 5t 9e^t2e^2t et y t( ) 9 6  t 12e^t3e^2t pour tout ^t0.

4. x t( )   7 5t 9e^t2e^2t donc x t'( )  5 9e^t 4e^2t : ^{x t'( ) 0}   5 9e^t 4e^2t 0

Posons u e ^x, on obtient  5 9u4u²0,c’est une équation du second degré qui s’annule pour deux Valeurs de ^u : 1et ⁵

4, on en déduit le signe de 4u²9u  5 4(u1)(u5/ 4) ^u  1 ^{5/ 4 }

4u2 9u 5

   

Donc^{x t'( )}se factorise sous la forme : x t'( ) 4(e^t1)(e^t5 / 4)

Ou par vérification simple une question Demandée dans l’énoncé

2

2 2

4( 1)( 5/ 4) 4( (5/ 4) 5/ 4)

4 5 4 5 4 9 5

t t t t t

t t t t t

e e e e e

e e e e e

       

        

b. pour tout ^t0, ^{x t( ) e2t 7}_2t ⁵₂^t_t ⁹_t ²

e e e

 

     

 .

_t^{lim e2t  } et ^{lim 7}_2t ⁰

t^e  .

^lim _2t ^{0 lim} _t ^{0 lim 1}_t ⁰

t t t

t t

avec et

e e e

      . Donc ^{lim 7}_2t ⁵_2t ⁹_t ^{2 2}

t

t

e e e



 

     

 

  et _t^{lim ( )x t  }

^{(ln(5/ 4))} 7 5ln(5/ 4) 9 ^{ln(5/ 4)} 2 ^{2ln(5/ 4)} 7 5ln(5/ 4) ⁴⁵ln 2²⁵ln

4 16

x     e  e     e e

^{(ln(5/ 4))} 7 5ln(5/ 4) ^{45 25 56} 5ln(5/ 4) ^{90 25 9} 5ln ⁵

4 8 8 8 8 8 4

x  

             

 . La fonction ^xadmet un maximum égal à ^{9 5ln 5}

8 4

   

 .

0,2 0,3 0,4

-0,01

-0,02

0 0,1

0,01

x y

t 0 ^{ln(5 / 4) }

'( )

x t 

( ) x t

^{9 5ln5} 8 4

^

Annexe exercice 1

0,01 0,015 0,02

0,2

0 0,005

0,1

x y

Annexe exercice 2

0,2 0,3 0,4

-0,01

-0,02

0 0,1

0,01

x y