An 16 Transformation Laplace

(1)

Master 2 EADM 2012 - 2013 Capes Externe

UE 17 Epreuve sur dossier

24/05/2013

DOSSIER An 16

Thème : Transformation de Laplace

L’exercice

1) On considère la fonction f définie sur IR par : f (t) = sin



 t

2 . a) Calculer f ’(t), puis vérifier que : f ’(t) = 1

2 cos



 t 2 + 

4 .

b) Etudier le signe de f ’ sur [0 ; 2], puis dresser le tableau de variation de f sur [0 ; 2].

c) Tracer la représentation graphique de f sur [0 ; 2] dans un repère orthogonal d’unité 2 cm en abscisse et 10 cm en ordonnée.

2) On définit la fonction g par : g (t) = f (t)

U

(t) – f (t - )

U

(t - ), où

U

est l’échelon unité.

a) Expliciter g (t) sur [0 ; ], puis sur [ ; +[.

b) On admet que les fonctions t ^^ f (t)

U

(t) et g possèdent des transformées de Laplace F et G. Déterminer les transformées de Laplace suivantes : L 

 sin 

 t

2

U

(t) , puis L

[

^{f (t)}

U

(t) et enfin

]

L

[

^{f (t - )}

U

(t - ) .

]

c) En déduire la transformée de Laplace G de la fonction g.

3) Un système « entrée – sortie » est excité par un signal d’entrée e (t) et fournit un signal de sortie s (t), tous les deux nuls pour t < 0. Soit E et S les transformées de Laplace des fonctions e et s.

Le système est modélisé par la fonction de transfert H du système qui vérifie : S (p) = H (p)  E (p).

Une modélisation physique du système donne la fonction de transfert suivante :

H (p) = p

2 p² + 2p + 1 .

De plus, on excite le système avec un « créneau » : e (t) =

U

^{(t) –}

U

^{(t - ).}

a) Déterminer l’expression de la fonction e et sa transformée de Laplace E.

b) Vérifier que : 2 p² + 2p + 1 = 2 [( ) ].

c) Calculer S et en déduire l’expression de s.

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UE 17 Epreuve sur dossier

24/05/2013

La solution d’un élève à la question 2

a) Sur [0 ; ],

U

(t) = 1 et

U

(t - ) = 0 donc g(t) = f(t) – 0 = f(t).

Sur [ ; +[,

U

(t) = 1 et

U

(t - ) = 1 donc g(t) = f(t) – f(t - ) = f(t) – f(t) +  = .

b) L 

 sin 

 t

2 U (t)

=

( )

=

^.

Si j(t) est la fonction sin



 t

2

U

(t) et J(t) sa transformée de Laplace : L

[

^{f (t)}

U

^{(t) =}

]

L (j(t) ) = J(t + =

( )

=

L

[

^{f (t -}^⁾

^U

^{(t -}^) = F(t)

]

= .

c) Avec le théorème du cours, on trouve la transformée de g :

-

.

Le travail à exposer devant le jury

1. Analyser la production de l’élève en mettant en évidence ses connaissances et savoir - faire et en précisant l’origine de ses éventuelles erreurs.

2. Représenter la fonction g de l’énoncé à l’aide d’un logiciel.

3. Présenter une correction de la question 1 telle que vous l’exposeriez devant une classe de STS.

4. Proposer deux ou trois exercices se rapportant au thème « Transformation de Laplace ».