Capes Externe Master 1 MEEF 2nd degré 2013 - 2014
UE 2 Epreuve sur dossier
DOSSIER
Geo 7 Outils en géométrie plane : Les nombres complexes
L’exercice
On construit quatre carrés qui
s’appuient extérieurement sur les côtés d’un quadrilatère convexe ABCD, comme sur la figure ci – contre. On note J, K, L et M les centres de ces carrés.
Dans un repère orthonormé direct (O ;u ,v ) du plan, les points A, B, C , D, J, K, L, M ont respectivement pour affixes a, b, c, d, j, k, l et m.
1. Montrer quea – m
d – m = i, puis exprimer m en fonction de a et b.
2. Exprimer j, k et l en fonction de a, b, c et d.
3. Démontrer que les diagonales du quadrilatère JKLM sont
perpendiculaires et de même longueur.
4. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur
ABCD pour que le quadrilatère JKLM soit un carré.
Les réponses d’un élève de Terminale S
La réponse à la question 1 a – m = MA et d – m = MD.
On sait que MA = MD car les diagonales du carré sont égales, donc a- m et d – m ont le même module, et alors a – m
d - m a pour module 1.
L’angle DMA est droit parce que les diagonales sont perpendiculaires, donc a – m
d - m a pour angle 90°, ce qui fait que a – m
d - mest égal à i.
D’où : a – m = id – im et im – m = id – a, ce qui donne : m = id – a i - 1 .
Master 1 EADM 2012 - 2013 Capes Externe
UE 8 Epreuve sur dossier
La réponse à la question 3
J’ai trouvé à la question 2 que l = ia – b
i – 1 et j = ic – d
i – 1 , donc l – j = d – b + i (a – c) i –1 . On a aussi : m – k = c – a + i (d – b)
i – 1 .
Puisque le module de i – 1 est 2, le module de l – j est (d – b)2 + (a – c)2
2 et celui de m – k est (c – a)2 + (d – b)2
2 : ils sont égaux, donc JL = KM.
Je n’ai pas trouvé pourquoi elles sont perpendiculaires.
Le travail à exposer devant le jury
1. Construire la figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique et conjecturer la condition pour que JKLM soit un carré.
2. Analyser la production de chaque élève en mettant en évidence les compétences acquises dans le domaine des nombres complexes et en précisant l’origine de leurs éventuelles erreurs.
3. Proposer une solution de la question 3 telle que le candidat la présenterait à une classe.
4. Présenter deux exercices sur le thème « Outils en géométrie plane : les nombres complexes ».
