Master 1 EADM 2012-2013 Capes Externe
UE 8 Epreuve sur dossier
16/04/2013
DOSSIER Div 1
Thème : Raisonnement
L’exercice
Soit (un) la suite définie par la donnée de son premier terme u0 et de la relation de récurrence :
pour tout entier n 0, un+1= - sin
2 un
1) On suppose que u0 est un entier ; que peut – on dire de la suite (un) ? 2) On suppose que u0 n’est pas entier ; montrer que, pour tout n 1,
un ]-1, 0[ ]0, 1[.
3) On suppose que u0 ]0, 1[. Existe – t- il un rang à partir duquel la suite est monotone ?
Une réponse d’élève à la question 2
On sait que le sinus est toujours compris entre – 1 et 1.
Donc on a -1 sin
2 un 1, et alors -1 un+1 1.
On a vu à la question 1 que, si u0 est un entier, alors un vaut 0, -1 ou 1.
Donc, dans ce cas, il ne peut pas être égal à ces nombres.
C’est pourquoi on a enlevé -1, 0 et 1 des solutions.
Le travail à exposer devant le jury
1. Citer différents types de raisonnement intervenant dans votre résolution de l’exercice.
2. Analyser la production de l’élève à la question 2 en mettant en évidence ses réussites et en indiquant l’origine possible de ses éventuelles erreurs.
3. Proposer un corrigé de la question 2 comme vous le présenteriez devant une classe de lycée.
4. Proposer plusieurs exercices illustrant plusieurs types de raisonnement dans des domaines variés des mathématiques.
