Master 1 MEEF 2014-2015 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Divers 1 Th` eme Divers types de raisonnement
L’exercice propos´e au candidat
Les propositions suivantes sont ind´ependantes. Pour chacune d’elles, pr´eciser si elle est juste ou fausse en justifiant votre r´eponse.
1. Pour tout entier naturel n, l’entier 32n− 1 est un multiple de 4.
2. Pour tout entier naturel n, l’entier n(n + 1)(2n + 1) est divisible par 3.
3. Pour tout entier naturel n, l’entier n2+ n + 41 est un nombre premier.
4. Toute suite strictement croissante tend vers +∞.
5. La somme d’une suite convergente et d’une suite divergente est une suite divergente.
6. ll existe deux r´eels a et b tels que e2a+ e2b< 2√
e2a× e2b.
Math´ematiques - S´erie Scientifique BO n◦7 du 31 aoˆut 2000 (...)
Le monde math´ematique de chaque ´el`eve s’´elabore en grande partie `a travers une pra- tique permanente de calculs, d’argumentations, de petits raisonnements et de d´emon- strations. Le niveau de rigueur exigible pour une d´emonstration d´epend de l’exp´erience de l’´el`eve dans le domaine o`u cette d´emonstration se situe : ainsi, pour la g´eom´etrie, pratiqu´ee depuis l’´ecole primaire, on peut pr´etendre exiger d`es la classe de seconde un niveau de d´emonstration acad´emique ; en analyse, par contre, la plupart des ob- jets manipul´es ne sont pas d´efinis formellement `a ce niveau d’´etudes, et les ´el`eves ne peuvent pas aboutir `a des d´emonstrations parfaitement achev´ees : la nature et le ni- veau des r´edactions exigibles ne peuvent pas ˆetre les mˆemes. Il conviendra donc, `a ce niveau d’´etude, en particulier en analyse, d’accepter des argumentations con¸cues et expos´ees `a l’aide de sch´emas (mˆeme si les ´el`eves ne peuvent pas `a ce stade les traduire en un texte lin´eaire). On gardera n´eanmoins l’´etat d’esprit d´ej`a ´evoqu´e dans les pro- grammes de coll`ege et de seconde : rep´erer clairement le statut des divers ´enonc´es en jeu (d´efinition, axiome, th´eor`eme d´emontr´e, th´eor`eme admis,...).
La d´eduction usuelle (par implication ou ´equivalence) et la manipulation du contre- exemple ont ´et´e travaill´ees en seconde ; des probl`emes bien choisis permettront d’abor- der en premi`ere le raisonnement par contraposition, par l’absurde ou par disjonction des cas ; le raisonnement par r´ecurrence rel`eve de la classe de terminale.
La d´emonstration doit garder un caract`ere vivant et personnel et il convient d’´eviter qu’elle n’apparaisse comme une activit´e relevant d’un protocole trop rigide. Chaque ann´ee, les assertions qui doivent ˆetre justifi´ees dans le cadre d’une pratique de la d´emonstration changent : il est difficile pour les ´el`eves de cerner, parmi les ´el´ements qui devaient ˆetre justifi´es les ann´ees pr´ec´edentes, ceux qui deviennent des ´evidences, pour lesquelles une justification ne ferait qu’alourdir la d´emonstration.
El´´ ements de r´eponse d’´el`eve `a la question 3.
Comme les nombres de la suite ne sont ja- mais divisibles par les nombres premiers, la r´eponse est vraie.
Le travail `a exposer devant le jury
1. En prenant appui sur l’extrait du bulletin officiel, montrer de quelle mani`ere l’exercice permet d’illustrer certains objectifs du programme terminal de la s´erie scientifique.
2. Indiquer le type de raisonnement qu’il est possible de mettre en œuvre pour traiter chacune des questions de cet exercice.
3. Analyser la r´eponse propos´ee par l’´el`eve en mettant en ´evidence la perti- nence de sa d´emarche et l’origine de ses ´eventuelles erreurs.
4. Proposer plusieurs exercices mettant en jeu diff´erents types de raisonne- ment, dont un ´enonc´e d´etaill´e permettant `a un ´el`eve de d´emontrer l’irra- tionalit´e de√
2.
