G´ eom´ etrie analytique et vectorielle plane, g´ eom´ etrie vectorielle (chap. 1 - 3)
Additions de vecteurs et multiplications par un scalaire 1) Effectuer les op´erations suivantes.
a) 2·
1
−3
+ 4·
−2
6
b) −2·
−5
0
+ 7·
3
−1
c) 3·
−1
6
−
7
−3
d)
−5
3
−7·
1
−5
e) −
7
9
+ 5·
6
−4
f) 9·
−5
−7
−4·
−1
6
Equations param´´ etriques d’une droite 2) Soit la droite d:
x = 5 + 3t
y = −2 − 2t . a) Le point A(−7; 6) est-il sur la droite d? b) Le point B(−3; 5) est-il sur la droite d?
c) Le point C(2; 0) est-il sur la droite d?
d) D´eterminer sur la droite d le point D d’abscisse 8.
e) D´eterminer sur la droite d le point E d’ordonn´ee −6.
f) D´eterminer sur la droite d le point F dont l’ordonn´ee est ´egale `a l’oppos´e de l’abscisse.
3) D´eterminer les ´equations param´etriques de la droite a) passant par les points A(1;−3) et B(−5; 6).
b) passant par les points A(−2; 5) et B(−6; 7).
c) passant par les points A(8;−9) et B(0; 4).
d) passant par le point A(7; 3) et par le milieu du segment [BC], avec B(−1; 0) et C(3;−2).
e) passant par le point A(−4; 5) et par le milieu du segment [BC], avec B(−1; 6) et C(4;−9).
f) passant par le point A(7;−3) et par le centre de gravit´e du triangle ABC, avec B(−1; 4) etC(−3;−5).
4) D´eterminer les ´equations param´etriques de la droite
a) passant par A(−2; 4) et parall`ele au segment [BC], avec B(3;−1) et C(4; 8).
b) passant par A(2;−3) et parall`ele `a la droite d’´equations
x = 2 − 3t
y = 4 + 2t . c) passant par A(6;−8) et parall`ele `a droite d’´equation 2x−5y+ 5 = 0.
d) passant par A(1; 7) et parall`ele `a la droite y= 3x 4.
Equations cart´´ esienne et cart´esienne r´esolue d’une droite 5) Soit la droite d: 5x−6y−8 = 0.
a) Le point A(−2;−3) est-il sur la droite d? b) Le point B(−4; 6) est-il sur la droite d?
c) Le point C(10; 7) est-il sur la droite d?
d) D´eterminer sur la droite d le point D d’abscisse 16.
e) D´eterminer sur la droite d le point E d’ordonn´ee −8.
f) D´eterminer sur la droite d le point F dont l’abscisse est ´egale au double de l’or- donn´ee.
6) D´eterminer les ´equations cart´esienne et cart´esienne r´esolue de la droite a) passant par les points A(2; 5) et B(−6; 3).
b) passant par les points A(7; 1) et B(−1;−2).
c) passant par les points A(−1;−1) et B(3; 5).
d) passant par le point A(5;−3) et par le milieu du segment [BC], avec B(0; 3) et C(4;−3).
e) passant par le point A(−1; 6) et par le milieu du segment [BC], avec B(−1; 5) et C(3; 4).
f) passant par le point A(1;−9) et par le centre de gravit´e du triangle ABC, avec B(−6; 1) etC(2;−1).
7) D´eterminer les ´equations cart´esienne et cart´esienne r´esolue de la droite
a) passant par A(2;−6) et parall`ele au segment [BC], avec B(−1; 3) et C(5;−7).
b) passant par A(−1; 7) et parall`ele `a la droite d’´equations
x = −1 + 3t y = 2 − 5t . c) passant par A(−1; 7) et parall`ele `a droite d’´equation 2x−3y+ 7 = 0.
d) passant par A(6;−3) et parall`ele `a la droite y=−3x+ 4.
e) passant par A(−1; 9) et parall`ele `a une droite de pente ´egale `a −6.
f) passant par A(10;−1) et parall`ele `a l’axe des abscisses.
g) passant par A(6;−2) et parall`ele `a l’axe des ordonn´ees.
h) passant par A(−8; 9) et parall`ele `a la m´ediane du triangle BCD issue du sommet B, avec B(−5; 7), C(1; 1) et D(−3;−6).
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Intersection de deux droites
8) D´eterminer le point d’intersection des droites d ete dans les cas suivants.
a) d:
x = −2 + 3k
y = 3 + k e:
x = −8 + 4t y = −5 − 3t b) d:
x = −3 + 3k
y = −2 − k e:
x = −7 − 4t
y = −8 + 5t c) d:
x = −3 + ∗k
y = −5 + 2k e:
x = −3 − 2t
y = −12 + t
d) d:
x = −1 + 4k
y = −2 + k e:
x = −8 + t
y = −12 + 3t
e) d: 5x−4y+ 23 = 0 e:
x = −3 + 2k y = −5 − k f) d: 7x−13y+ 106 = 0 e:
x = −3 + 7k y = 1 + k
g) d:x+ 9y−41 = 0 e:
x = −3 + 4k y = 2 + k h) d:−2x+ 7y−43 = 0 e:
x = −1 + k
y = −1 + 2k i) d: 4x−7y−3 = 0 e:−3x+ 13y−52 = 0 j) d:x+ 4y+ 5 = 0 e: 7x+ 6y−31 = 0 k) d: 3x+ 4y−1 = 0 e: 5x+ 2y−25 = 0 l) d: 5x−2y+ 11 = 0 e: 9x−8y−11 = 0
Solutions exercices g´ eom´ etrie analytique et vectorielle plane
1) a)
−6
18
b)
31
−7
c)
−10
21
d)
−12
38
e)
23
−29
f)
−41
−87
2) a) oui b) non c) oui
d) (8;−4) e) (11;−6) f) (−4; 4)
3) a)
x = 1 + 2k
y = −3 − 3k b)
x = −2 + 2k y = 5 − k c)
x = 8 + 8k
y = −9 − 13k d)
x = 7 + 3k y = 3 + 2k e)
x = −4 + 11k
y = 5 − 13k f)
x = 7 − 18k
y = −3 + 5k
4) a)
x = −2 + k
y = 4 + 9k b)
x = 2 − 3k
y = −3 + 2k c)
x = 6 + 5k
y = −8 + 2k d)
x = 1 + k
y = −7 + 3k e)
x = 6 + k
y = −9 + 5k f)
x = 8 + k
y = −1 g)
x = −3
y = 2 + k h)
x = 1 + 6k y = 6 − 7k
5) a) oui b) non c) oui
d) (16; 12) e) (−8;−8) f) (4; 2)
6) a) x−4y+ 18 = 0 y = 1
4x+9 2
b) 3x−8y−13 = 0 y = 3
8x−13 8
c) 3x−2y+ 1 = 0 y = 3
2x+1 2
d) x+y−2 = 0 y =−x+ 2
e) 3x+ 4y−21 = 0 y =−3
4x+ 21 4
f) 3x+y+ 6 = 0 y =−3x−6
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7) a) 5x+ 3y+ 8 = 0 y =−5 3x− 8
3 b) 5x+ 3y−16 = 0 y =−5
3x+ 16 3
c) 2x−3y+ 23 = 0 y = 2
3x+23 3
d) 3x+y−15 = 0 y =−3x+ 15
e) 6x+y−3 = 0 y =−6x+ 3
f) y+ 1 = 0 y =−1
g) x−6 = 0 pas d´efinie
h) 19x+ 8y+ 80 = 0 y =−19
8 x−10
8) a) (−8;−5) b) (−15; 2) c) (−9;−9) d) (−5;−3) e) (−7;−3) f) (−17;−1) g) (5; 4) h) (3; 7) i) (13; 7) j) (7;−3) k) (7;−5) l) (−5;−7)
