Master 1 MEEF 2013 - 2014 Capes Externe
UE 2 Epreuve sur dossier
DOSSIER Alg 4
Thème : Nombres complexes
L’exercice proposé au candidat
On considère la fonction f qui, à tout nombre complexe z, associe le nombre complexe f (z) défini par : f (z) = ey
(
cos( x) + i sin( x) , où x et y désignent respectivement la partie réelle et)
la partie imaginaire de z.
1) Placer dans le plan muni d’un repère orthonormé les points d’affixes f (i), f (1 + i) et f (1 − i).
2) Démontrer que pour tout couple (z, z′) ∈ IC2 et pour tout entier n ∈ Z, on a : f (z + z′) = f (z) f (z′) et f (n z) =
(
f (z))
n.3) Démontrer que, pour tout nombre complexe z, le nombre complexe f (z) est non nul, puis déterminer le module et un argument de f (z).
4) Résoudre l’équation f (z) = i, puis l’équation f (z) = Z, où Z est un complexe donné.
5) a) Déterminer et construire l’ensemble E des points M du plan dont l’affixe z = x + i y vérifie les conditions |x| ≤ 1
2 et |y| 1.
b) Déterminer et construire l’ensemble des points d’affixe f (z) quand le point M d’affixe z parcourt l’ensemble E.
La réponse d’un élève à la question 4
f (z) = i ey cos (x) + i ey sin (x) = i, donc ey cos (x) = 0 et ey sin ( x) = 1, en égalant les parties réelles et imaginaires.
La première équation donne y = 0 et x =
2 , donc x = 1
2 et y = 0.
Quand on remplace dans l’autre équation, on trouve : 1 sin
2 = 1 : c’est vrai, donc la solution est z = 1
2 + i 0 = 1 2 .
f(z) = Z ey cos (x) + ey sin (x) = a + i b, si Z = a + i b.
Donc ey cos (x) = a et ey sin ( x) = b
ey cos (x) = a ey = a et x = 0, donc y = ln a et x = 0.
En reportant, on a : elna sin 0 = b, ce qui donne 0 = b.
Donc b est nul et la solution de l’équation est z = (ln a) i.
Le travail à exposer devant le jury
1. Analyser la production de l’élève en mettant en évidence les compétences dont il fait preuve et en interprétant l’origine de ses éventuelles erreurs.
2. Présenter une correction de la question 5, comme vous le feriez devant une classe de Terminale S.
3. Proposer plusieurs exercices sur le thème « Nombres complexes ».
