Master 1 MEEF 2015-2016 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Alg` ebre 4 Th` eme Nombres complexes
L’exercice propos´e au candidat Soit s et p deux r´eels et f la fonction d´efinie sur R par :
f (x) = x2− s x + p.
1. `A l’aide d’un logiciel de g´eom´etrie dynamique placer le point A de coor- donn´ees (s; p) et I(0; 1) dans un rep`ere orthonormal. Tracer le milieu M de [IA], le cercle C de diam`etre [IA] et le graphe de la fonction f . 2. Quelle conjecture peut-on faire quant `a l’intersection de C avec l’axe des
abscisses ?
3. Construire la droite (D) d’´equation x = s2, les tangentes (OT ) et (OT0) `a C passant par l’origine O et le cercle C0de centre l’origineO et passant par ces points tangents T et T0 (on pourra consid´erer le cercle de diam`etre [OM ]). Quand ce cercle C0 intersecte-t-il la droite (D) ? Soit M1 et M2
ces points quand ils existent.
4. Prouvez que les nombres complexes z1et z2 d’affixes M1 et M2annulent le trinˆome du second degr´e z2− s z + p.
El´´ements de r´eponse d’´el`eve `a la question 4.
Le rayon de C0, tangent `a C est donc orthogonal au rayon de C donc OM2 =
s2+(p+1)2
4 = s2+(p−1)4 2 + OT2. Donc OT2= OM12= OM22= p.
On voit que la parabole ne passe pas par les points M1 et M2 donc les nombres complexes z1 = s+i
√
s2−4p
2 et z2 = s−i
√
s2−4p
2 n’annulent pas la parabole. De plus, ces points sont sym´etriques par rapport `a l’horizontale et non pas par rapport `a (D) qui est l’axe de sym´etrie de la parabole.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Analysez la r´eponse propos´ee par l’´el`eve en mettant en ´evidence la perti- nence de sa d´emarche, l’origine de ses ´eventuelles erreurs et des moyens d’y rem´edier.
2. Proposez une correction de la question 4 telle que vous l’exposeriez devant une classe dont vous pr´eciserez le niveau.
3. Proposer deux exercices sur le th`eme des nombres complexes.
