Master 1 MEEF 2016-2017 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
G´ eom´ etrie 6 Th` eme : Calcul vectoriel
L’exercice propos´e au candidat
On consid`ere un cercle X de centre O et de rayon r, et un point P du plan.
On pose d = OP .
1. Une droite ∆ passant par P coupe le cercle X en A et B. On note E le point du cercle diam´etralement oppos´e `a A. D´emontrer que−→
P A ·−−→ P B =
−→P A ·−−→
P E. En d´eduire que−→
P A ·−−→
P B = d2− r2.
2. Application `a l’´etude d’une configuration : Dans la figure ci-dessous, les droites ∆ et ∆0 sont orthogonales et le point I est le milieu de [AB0].
D´emontrer que (P I) et (A0B) sont orthogonales.
La r´eponse de deux ´el`eves `a la premi`ere question.
El`´eve 1
−→P A·−−→ P B =−→
P A·−−→
P E parce que E a pour projection B quand on fait la projection sur la droite AB.
−→P A ·−−→ P E =−→
P A · (−−→ P O +−−→
OE) =−→
P A ·−−→ P O +−→
P A ·−−→ OE =−−→
P O ·−−→ P O +−→
OA ·−−→ OE.
On a −→
P A ·−−→ P O =−−→
P O ·−−→
P O par projection.
−−→ P O ·−−→
P O = P O2= d2 et−→
OA ·−−→
OE = −−→
OA ·−→
OA = −OA2= −r2. On a donc bien d2− r2.
El`´eve 2
−→P A ·−−→ P B = −→
P A · (−−→ P E +−−→
EB) = −→
P A ·−−→ P E +−→
P A ·−−→ EB et −→
P A ·−−→
EB = ~0 car le triangle AEB est rectangle. Ce qui donne−→
P A ·−−→
−→ P E.
P A ·−−→
P E = 12(||−→
P A +−−→
P E||2− ||−→
P A||2− ||−−→ P E||2) Mais−→
P A+−−→
P E = 2−−→
P O (parall´elogramme) et P A2+P E2= EA2dans le triangle P AE.
Si bien que−→
P A ·−−→
P E = 12(2P O2− EA2) = P O2− r2= d2− r2.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Analyser les r´eponses propos´ees par les ´el`eves en mettant en ´evidence la pertinence de la d´emarche, l’origine des ´eventuelles erreurs et des moyens pour y rem´edier.
2. Corriger la question comme devant une classe dont on pr´ecisera le niveau.
3. Proposer diff´erents exercices sur le th`eme du calcul vectoriel.
