Master 1 MEEF 2015-2016 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 8 Th` eme Suites et fonctions
L’exercice propos´e au candidat Soit f la fonction d´efinie sur l’intervalle [0; 2] par :
f (x) = 2x + 1 x + 1 .
Soit (un)n∈N la suite d´efinie par u0= 2 et un+1= f (un).
1. Etudier les variations de f .
2. `A l’aide d’un logiciel de g´eom´etrie dynamique muni d’un tableur, calculez les valeurs de la suite un pour les 30 premi`eres valeurs de n. Visualiser le graphe de la fonction f , la droite diagonale y = x, la suite de segments verticaux entre les points de coordonn´ees (un, un) et (un, un+1), et la suite de segments horizontaux entre les points de coordonn´ees (un, un) et (un−1, un).
3. (a) Quelle(s) conjecture(s) peut-on ´emettre sur la suite (un)n∈N? (b) Montrer que, pour tout entier positif n on a 1 6 un6 2.
(c) Montrer que la suite (un)n∈N est d´ecroissante.
(d) Conclure.
El´´ements de r´eponse d’´el`eve `a la question 3b.
1 6 un 6 2
Initialisation : On v´erifie que la propri´et´e est vraie pour n = 0.
u0= 2 or 2 6 2 et mˆeme 2 = 2. La propri´et´e s’initialise.
H´er´edit´e : On suppose que la propri´et´e est vraie pour tout entier p > 0.
On veut montrer qu’elle est encore vraie au rang p + 1 donc 1 6 up6 2, 2 6 2up6 4,
3 6 2up+ 1 6 5 et 2 6 up+ 1 6 3.
Comme les nombres sont positifs, on peut diviser donc
1 6 3
2 6 2up+ 1 up+ 1 6 5
3 6 2.
Conclusion : la propri´et´e s’initialise pour n = 0 et elle est h´er´editaire, elle est donc vraie pour tout n > 0.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Analysez la r´eponse propos´ee par l’´el`eve en mettant en ´evidence la perti- nence de sa d´emarche, l’origine de ses ´eventuelles erreurs et des moyens d’y rem´edier.
2. Proposez une correction de la question 3c telle que vous l’exposeriez devant une classe dont vous pr´eciserez le niveau.
3. Proposer deux exercices sur le th`eme des suites et fonctions.
