Master 2 EADM 2012-2013 Capes Externe
UE 12 Epreuve sur dossier
11/02/2013
DOSSIER
An 13
Thème : Suites - Approximation d’un réel à partir d’une suite
L’exercice
Soit Sn = 1 + 1 2 + 1
3 + … + 1
n pour tout entier naturel n non nul.
1. a) Montrer que, pour tout entier k 1, on a : 1 k + 1 1
x 1
k avec x appartenant à l’intervalle [k ; k + 1].
b) En déduire que, pour tout entier k 1 : 1
k + 1 ln (k + 1) – ln k 1 k . 2. a) Montrer que, pour tout entier n 1 : Sn – 1 ln n Sn – 1
n . b) En déduire la limite de la suite (Sn).
3. On pose, pour tout entier naturel n non nul : un = Sn – ln n.
a) Montrer que la suite (un) est décroissante.
b) En déduire que la suite (un) converge vers une limite et que 0 1.
4. On considère, pour tout n 1 : vn = un – 1 n . a) Quelle est la limite de la suite (vn) ? b) Montrer que la suite (vn) est croissante.
c) En déduire que, pour tout naturel n : vn un.
d) A l’aide d’une calculatrice, déterminer un encadrement de à 10-4 près.
La solution proposée par trois élèves à la question 1
Elève 1 a) 1
k + 1 1 x 1
k devient k + 1 x k ce qui est bien vrai.
b) On dérive l’inégalité 1
k + 1 ln (k + 1) – ln k 1 k On trouve : - 1
(k + 1)2 1 k + 1 - 1
k - 1 k2 Et c’est vrai car 1
k + 1 - 1
k = - 1
k (k + 1) et k (k + 1) est plus grand que k2 et il est plus petit que (k + 1)2.
Elève 2 a) La fonction 1
x est décroissante, donc puisqu’on est sur l’intervalle [k ; k + 1], on a bien : 1
k + 1 1 x 1
k .
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11/02/2013
b) Si on trace la fonction 1
x sur [k ; k + 1], on voit que l’aire sous la courbe est comprise entre le rectangle de hauteur 1
k et celui de hauteur 1
k + 1 (c’est la méthode des rectangles).
Et l’aire sous la courbe est [ ] = ln (k + 1) – ln k.
Elève 3 a) 1
x – 1
k = k – x
kx et k – x 0 car x k.
1 x – 1
k + 1 = k + 1 – x
(k + 1) x et k + 1 – x 0 car k + 1 x.
b) ln (k + 1) – ln k = ln
k + 1
k = ln
1 + 1
k et on a vu en cours que ln (1 + x) x.
Donc on a bien que ln (k + 1) – ln k 1 k .
Pour l’autre côté, il faudrait avoir ln (1 + x) 1 1 x + 1
= x
x + 1 : c’est juste sur ma calculatrice, mais je n’arrive pas à le démontrer. En dérivant, j’ai trouvé 1
1 + x 1 (x + 1)2
ce qui est vrai, mais je ne sais pas comment revenir en arrière pour avoir l’inégalité.
Le travail à exposer devant le jury
1. Analysez la production de chaque élève en mettant en évidence ses réussites et en indiquant l’origine possible de ses éventuelles erreurs.
2. Présentez une correction de la question 2 telle que vous l’exposeriez devant une classe de Terminale scientifique.
3. Donnez un algorithme que vous pourriez présenter aux élèves à la question 4.d.
4. Proposez plusieurs exercices se rapportant au thème « Suites - Approximation d’un réel à partir d’une suite ». On s’attachera à relier certains de ces exercices à l’histoire des mathématiques.
