Master MEEF Maths
UE2 Capes Externe
2016 -2017
Dossier An 7 Thème : Problèmes conduisant à l’étude de suites
L’exercice
ABC est un triangle rectangle en A tel que 𝐴𝐵 = 4 et 𝐵𝐶 = 8.
La suite de points (𝐻𝑛) est définie par 𝐻0 = 𝐵 et , pour tout entier naturel 𝑛, 𝐻𝑛+1 est le projeté orthogonal de 𝐻𝑛
sur (AC) si n est pair et sur (BC) si n est impair.
On note alors 𝑙𝑛 = 𝐻𝑛𝐻𝑛+1 1. Montrer que pour tout entier 𝑛 𝑙𝑛+1= √3
2 𝑙𝑛 .
2. Pour tout entier naturel 𝑛 , on note 𝐿𝑛 la longueur de la ligne brisée 𝐻0𝐻1𝐻2… . 𝐻𝑛. a. Existe-t-il un entier 𝑛0 à partir duquel 𝐿𝑛≥ 25 ?
b. Calculer la longueur de la « ligne brisée infinie » 𝐻0𝐻1𝐻2….
Les réponses de deux élèves de terminale S à la question 2.
Elève 1.
2a. A l’aide du tableur, je vois que 𝐿𝑛≥ 25 à partir de 𝑛 = 12.
2b. Je constate également que la longueur de la ligne brisée se rapproche d’environ 28,6 .
Elève 2.
2
.a Je résous l’équation 𝑙0+ 𝑙1+ ⋯ + 𝑙𝑛 = 4 × 1 – (√3 2)
𝑛
1 – √3
2
= 25
⟺ 1 − (√32)
𝑛
= (1 − √32) ×25 4 ⟺ (√3
2)
𝑛
= 1 − (1 − √3
2) ×25
4 = −21
4 +25√3
8 ⟺ 𝑛 = ln (−214 +25√3
8 ) : ln (√3
2) ≈ 12,62 J’en déduis que 𝐿𝑛≥ 25 à partir de 𝑛 = 13.
2.b Comme (√32)
𝑛
tend vers 0 , la longueur de la ligne brisée se rapproche de 4
1 – √3
2
c’est-à-dire de 16 + 8√3
Le travail à exposer devant le jury
1. Analysez les productions de ces élèves en mettant en évidence leurs réussites, les compétences développées par chacun et leurs éventuelles erreurs.
2. Présentez la correction de la question 1 de cet exercice telle que vous l’exposeriez devant une classe de terminale S.
3. Proposez deux ou trois exercices sur le thème Problèmes conduisant à l’étude de suites à des niveaux de classe différents. Vous prendrez soin de motiver vos choix.
