MVA101 Analyse et Calcul Matriciel 2014-2015
CONTR ˆOLE du 15 Avril 2015 Dur´ee : 3h
Calculatrices, t´el´ephones, ordinateurs, tablettes interdits Tous documents autoris´es
Il est demand´e de bien justifier ses r´eponses. Les exercices suivants sont ind´ependants. V´erifiez que vous disposez bien de la totalit´e des pages du sujet (2) en d´ebut d’´epreuve et signalez tout probl`eme de reprographie le cas ´ech´eant.
Exercice 1 : S´eries enti`eres.
D´eterminer le rayon de convergence R des s`eries enti`eres suivantes et ´etudier, le cas ´ech´eant, la s´erie quand x=R etx=−R :
(i)
+∞
X
n=1
(−1)n n2n xn, (ii)
+∞
X
n=1
3n 5n√
nxn,
(iii)
+∞
X
n=1
ln(n) 3n xn,
(iv)
+∞
X
n=0
en
√4n+ 1xn.
Exercice 2 : S´erie de Fourier.
On consid`ere la fonction 2π-p´eriodique d´efinie par :
f(x) =ex, pour x∈[−π, π[.
1. D´eterminer la s´erie de Fourier exponentielle de f;1 2. D´eterminer la s´erie de Fourier trigonom´etriques def;2 3. Calculer la valeur de la s´erie num´erique :
+∞
X
n=1
1 1 +n2.
Exercice 3 : Transform´ee de Fourier.
1. Montrer que si une fonction f ∈L1(R) est paire alors
F(f)(u) = 2 Z +∞
0
f(t) cos(ut)dt.
2. Calculer la transform´ee de Fourier de la fonction
Da(t) =
(a− |t| si|t| ≤a, 0 si|t|> a,
pour a >0.
3. Tracer les graphes deDa(t) et F(Da)(u).
1. trouver les coefficientscnpourn∈Zet ´ecrire la s´erie.
2. trouver les coefficients an etbn et ´ecrire la s´erie. Suggestion : on peut utiliser le r´esultat du point 1. de cet exercice
Exercice 4 : Alg`ebre lin´eaire
Discuter et r´esoudre selon les valeurs du param`etre r´eel m, le syst`eme lin´eaire
x +my +z = 1
mx +y +(m−1)z =m
x +y +z =m+ 1
Exercice 5 : Transform´ee de Laplace.
R´esoudre l’ ´equation diff´erentielle suivante `a l’aide de la transform´ee de Laplace :
(y0(t) + 4y(t) = 2 sin(2t) y(0) = 1.
