Master 1 MEEF 2016-2017 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 6 Th` eme : Suites
L’exercice propos´e au candidat
Soit fa la fonction r´eelle d´efinie sur [0, 1] par fa(x) = a x (1 − x). On s’int´eresse `a la suite num´erique un+1= fa(un).
1. Calculer fa(12) en fonction de a, en d´eduire que 0 6 fa(x) 6 1 pour 0 6 a 6 4. On se limitera `a ce cas de mani`ere `a pouvoir it´erer la fonction fa.
2. `A l’aide d’un logiciel de g´eom´etrie dynamique muni d’un tableur, calculez les valeurs de la suite unpour les 30 premi`eres valeurs de n et des valeurs de a et u0variables. Visualiser le graphe de la fonction facorrespondante, la droite diagonale y = x, la suite de segments verticaux entre les points de coordonn´ees (un, un) et (un, un+1), et la suite de segments horizontaux entre les points de coordonn´ees (un, un) et (un−1, un).
3. Sur le mˆeme graphique, placez et gardez la trace des points (a4, un) pour n compris entre 25 et 29.
(a) Pour quelles valeurs de a conjecturez-vous que la suite converge ? (b) Pour a > 3, conjecturez-vous que la suite converge ?
4. R´esoudre fa(x) = x. Que se passe-t-il quand u0est une de ces solutions ? Faites des essais num´eriques. Interpr´etez graphiquement.
El´´ ements de r´eponse d’´el`eve `a la question 3a.
La suite converge `a partir de a = 1 vers une valeur unique.
A partir de a = 3, elle converge` vers deux valeurs, puis vers a = 3, 4 les choses se compliquent (se d´edoublent ?).
Le travail `a exposer devant le jury
1. Analyser la r´eponse propos´ee par l’´el`eve en indiquant les comp´etences, les m´ethodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.
2. Corriger la derni`ere question comme devant une classe dont on pr´ecisera le niveau.
3. Proposer diff´erents exercices sur le th`eme des suites num´eriques.
