Feuille de TD 5 : Distributions temp´ er´ ees - Transform´ ee de Fourier

Ecole Sup Galil´´ ee 2011-2012 Fili`ere MACS2

Math´ematiques, Th´eorie G´en´erale

Feuille de TD 5 : Distributions temp´ er´ ees - Transform´ ee de Fourier

Exercice 1

R´esoudre dansD⁰(R) l’´equation diff´erentielleu⁰+u=δ0. Quelles en sont les solutions temp´er´ees ?

Exercice 2

Calculer la transform´ee de Fourier des distributions temp´er´ees surRassoci´ees aux fonctions suivantes :

1.e^iax (a∈R), 2. cos(x), 3. xsin(x), 4. sin(x) x

5.e^−a|x|(a >0), 6.|x|e^−a|x|(a >0), 7. sin(|x|).

Exercice 3

SoitσRla mesure de surface de la sph`ere de rayonRdans R³. CalculerbσR.

Exercice 4

Soient k >0 etu∈ S⁰(R) tels que d⁴u

dx⁴ +ku∈L²(R).

Montrer que ^d_dx^ju_j ∈L²(R) pour 0≤j≤4.

Exercice 5

Soit P(ξ) un polynˆome dans Rⁿ non identiquement nul. On note P(D) l’op´erateur diff´erentiel `a coefficients constants associ´e. Montrer que siu∈ E⁰(Rⁿ) est telle que P(D)u= 0, alorsu= 0.

Exercice 6

SoitP(D) =P

|α|≤maαD^α un op´erateur diff´erentiel sur Rⁿ `a coefficients constants tel que :

Σ :=







ξ∈Rⁿ ; P(ξ) = X

|α|≤m

aαξ^α= 0







={0}.

Montrer que le noyau deP(D) dansS⁰(Rⁿ) est constitu´e de polynˆomes.

Exercice 7

On notera dans ce qui suitδa la distribution de Dirac au pointa. On d´efinit par r´ecurrence la suite de distributions (T_k)_k≥1par :

T1=1

2(δ1+δ₋₁) et ∀k≥2, Tk =T_k−1? T1. 1. Ecrire´ Tk comme combinaison lin´eaire finie de distri- butions `a supports ponctuels.

2. Calculer la transform´ee de Fourier Tbk de la distribu- tion `a support compactTk.

3. Pour k ≥1, on pose fk(ξ) =Tbk

_ξ

√k

. Montrer que f_k ∈ S⁰(R) et que la suite (f_k)_k≥1 converge dansS⁰(R) vers une distribution que l’on d´eterminera.

4. On noteg_k la distribution dontf_k est la transform´ee de Fourier. Montrer que la suite (g_k)_k≥1 converge dans S⁰(R) vers une distribution que l’on d´eterminera.

Indication : On pourra utiliser le fait que, pour a > 0, F(e^−ax2) =

√π

√ae^−ξ

2 4a.

Exercice 8

Pour ψ d´erivable sur R, on note D_xψ = ¹_i ^dψ_dx. Pour ϕ∈ S(R) ets∈R, on pose e^is∆ϕ=F⁻¹(e^−isξ2ϕ).b 1. D´emontrer que pour toute ψ ∈ S(R) et tout t ∈ R, e^−it∆e^it∆ψ=ψ.

2.Soitψ∈ S(R). Montrer que pour toutt∈R, on a : e^it∆xe^−it∆ψ=xψ−2tDxψ.

3. En d´eduire que si P(x) =Pm

k=0a_kx^k, a_k ∈C, on a, pour touteψ∈ S(R),

∀t∈R, e^it∆P(x)e^−it∆ψ=

m

X

k=0

a_k(x−2tD_x)^kψ.

Exercice 9

Pourϕ∈C₀^∞(Rⁿ) ett >0, on noteϕtla fonction d´efinie par ϕt(x) = ϕ(^x_t). Soit T ∈ S⁰(Rⁿ). On suppose que Tb∈L^∞(Rⁿ). En utilisant le fait queT =F⁻¹FT, mon- trer que,

∀t >0, |< T, ϕt>| ≤ 1

(2π)ⁿ||T||b L^∞ ||ϕ||b _L1.

1