Distributions temp´er´ees et espaces de Sobolev

Universit´e Paris 13 Ann´ee scolaire 2018-2019 Master Math´ematiques 1

Distributions temp´er´ees et espaces de Sobolev

H. Boumaza

Le 5 novembre 2018

Bibliographie

[1] J.M. Bony,Cours d’analyse, Th´eorie des distributions et analyse de Fourier, Les ´editions de l’Ecole Polytechnique, Ellipses.

[2] G. Carlier, Notes de cours : Analyse fonctionnelle,

https ://www.ceremade.dauphine.fr/∼carlier/poly2010.pdf

[3] F. Golse, Notes de cours : Distributions, analyse de Fourier, ´equations aux d´eriv´ees par- tielles, http ://www.cmls.polytechnique.fr/perso/golse/MAT431-10/POLY431.pdf [4] F. Nier, Rappels et formulaires : Distributions, https ://www.math.univ-

paris13.fr/∼nier/ensP13/enseignement/M2spmic2013/rappeldist.pdf

[5] C. Zuily, El´ements de distributions et d’´equations aux d´eriv´ees partielles, Sciences Sup,´ Dunod.

iii

Table des mati`eres

0.1 Notations multi-indicielles . . . 1

0.2 Formule de Taylor avec reste int´egral . . . 1

1 Espaces de Fr´echet 3 1.1 Definitions . . . 3

1.2 Fonctions localement int´egrables . . . 5

1.3 Fonctions de classeC^∞ `a support compact . . . 5

2 La transformation de Fourier dansS(_R^d) ₇ 2.1 L’espace de SchwartzS(_R^d) . . . 8

2.2 Transformation de Fourier dansS(_R^d). . . 9

2.3 Propri´et´es de la transform´ee de Fourier dansS(_R^d) . . . 13

2.4 Transform´ee de Fourier et convolution . . . 15

2.5 Transform´ee de Fourier des fonctions `a support compact . . . 15

3 L’espaceS⁰(_R^d)des distributions temp´er´ees 19 3.1 D´efinition . . . 19

3.2 Exemples . . . 19

3.2.1 Espaces de fonctions classiques . . . 19

3.2.2 Distributions de Dirac . . . 21

3.2.3 Valeur principale de¹_x . . . 22

3.3 Op´erations dansS⁰(_R^d) . . . 22

3.3.1 Produit par une fonction de classeC^∞temp´er´ee . . . 22

3.3.2 D´erivation dansS⁰(_R^d) . . . 23

3.4 Convergence dansS⁰(_R^d) . . . 25

4 La transform´ee de Fourier dansS⁰(_R^d) 27 4.1 D´efinition et propri´et´es . . . 27

4.2 La transform´ee de Fourier dansL¹(_R^d) . . . 28

4.3 La transform´ee de Fourier dansL²(_R^d) . . . 29

4.4 Transform´ee de Fourier partielle et applications . . . 30

5 Espaces de SobolevH^s(_R^d) 33 5.1 Les espaces de SobolevH^s(_R^d) . . . 33

5.1.1 D´efinitions et premiers exemples . . . 33

5.1.2 Densit´e des fonctions r´eguli`eres . . . 35

5.1.3 Op´erations surH^s(_R^d). . . 35

5.2 Th´eor`eme d’injection de Sobolev . . . 37

5.3 Dualit´e . . . 38

5.4 Th´eor`eme de trace dansH^s(_R^d+1) . . . 39

v

Notations

Dans tout ce cours,Ωd´esigne un ouvert deR^d,kest un entier naturel ou le symbole∞(sauf pr´ecision). On d´esigne parC⁰(_Ω)l’espace des fonctions continues surΩet parC^k(_Ω)l’espace des fonctionskfois d´erivables et dont les d´eriv´eesk-i`emes sont continues surΩ.

0.1 Notations multi-indicielles

Un multi-indice αest und-uplet d’entiers,α = (α₁, . . . ,α_d) ∈ _N^d. On appelle longueur deα l’entier

|α|=α₁+· · ·+α_d.

On d´efinit la factorielle deαparα!=α₁!· · ·α_d!. Six ∈_R^don pose aussix^α = x^α₁¹· · ·x^α_d^d. Siαet βsont deux multi-indices, on dit queα≤ βlorsqueα_i ≤ β_i pour touti∈ {1, . . .d}. On pose aussi

α β

= ^α!

β!(α−β)!. Enfin, on pose :

∂^α = ∂

∂x₁ α1

· · · ∂

∂x_d αd

.

Alors, une fonction ϕ ∈ C^k(_Ω)si pour toutα ∈ _N^d tel que |α| ≤ k, la fonction ∂^αϕest dans C⁰(_Ω).

Une formule importante est celle de Leibniz. Soient k ≥ 1, ϕ,ψ ∈ C^k(_Ω). Alors, pour tout multi-indiceαde longueur inf´erieure ou ´egale `ak,

∂^α(ϕ·ψ) =

∑

β≤α

α β

∂^βϕ·∂^α−βψ.

Pour s’en souvenir, pensez `a la formule du bin ˆome de Newton.

0.2 Formule de Taylor avec reste int´egral

Voici une formule qui nous sera souvent utile dans la suite. Il faut la connaˆıtre au moins `a l’ordre 1 ou 2 et `a tout ordre pourd=_1.

Proposition 0.2.1. SoitΩun ouvert de R^d, n ≥ ₁un entier et ϕune fonction de classe Cⁿ surΩ. Soient x et y deux points deΩtels que le segment[x,y]soit contenu dansΩ. Alors :

ϕ(x) =

∑

|α|≤n−1

1

α!∂^αϕ(y)(x−y)^α+

∑

|α|=n

n

α!(x−y)^α

Z ₁

0

(1−t)ⁿ⁻¹∂^αϕ(tx+ (1−t)y)dt.

1

TABLE DES MATI `ERES

Dans le cas de la dimension 1 on obtient la formule suivante : ϕ(x) =

n−1 k

∑

1

k!(x−y)^kϕ^(k)(y) + (x−y)ⁿ

Z ₁

0

(1−t)ⁿ⁻¹

(n−1)! ϕ⁽ⁿ⁾(tx+ (1−t)y)dt.

En dimensiond≥1 et `a l’ordren=1 on obtient ϕ(x) = ϕ(y) +

∑

(x_i−y_i)

Z ₁

0

∂ϕ

∂x_i(tx+ (₁−t)y)dt.

Ce sont ces deux derni`eres formules que l’on utilisera le plus souvent dans la suite.

Chapitre 1

Espaces de Fr´echet

1.1 Definitions

Commenc¸ons par donner la d´efinition d’une semi-norme. Dans toute la suite,Kd´esigneR ouC.

D´efinition 1.1.1. Soit E unK-espace vectoriel. Une application p : E→_R+est une semi-norme sur E lorsque :

1. p(0_E) =0,

2. ∀x ∈E, ∀λ∈_K, p(λx) =|λ|p(x), 3. ∀x,y∈ E, p(x+y)≤ p(x) +p(y).

Une famille(p_i)_i∈I de semi-normes sur un espace vectorielEest dites´eparantelorsque

∀x∈E, (∀i∈ I, p_i(x) =0) ⇒ (x=0).

La topologie induite sur Epar une famille s´eparante de semi-normes est localement convexe.

On peut en donner une base de voisinages convexes : pourx∈ E,ε>0 eti∈ I, on pose V_i,ε(x) ={y∈ E, |p_i(x−y)<ε}.

Un voisinage dexdans(E,(p_i)_i∈I)sera alors un sous-ensemble deEqui contient unV_i,ε pour un certain couple (i,ε). On d´efinit alors les ouverts de(E,(p_i)_i∈I)comme les sous-ensembles deEqui sont voisinage de chacun de leur points et l’ensemble des ouverts ainsi d´efinis forme bien une topologieT surE.

On peut alors d´efinir la notion d’espace de Fr´echet.

D´efinition 1.1.2. Un espace de Fr´echet est unK-espace vectoriel E muni d’une famille d´enombrable et s´eparante de semi-normes(p_i)_i∈Ntelle qu’avec la distance

∀x,y∈E, d(x,y) =

∑

i∈_N

1 2ⁱ

p_i(x−y) 1+p_i(x−y)^, (E,d)est un espace m´etrique complet.

On remarque que les espaces topologiques(E,T)et(E,d)co¨ıncident.

Quitte `a remplacerp_ipar max_k≤ip_k, on peut toujours supposer la famille d´enombrable de semi- normes croissante. On a alors la proposition suivante.

3

Chapitre 1. Espaces de Fr´echet

Proposition 1.1.3. Soient(E,(p_m)_m∈N)et(F,(q_n)_n∈N)deux espaces de Fr´echet avec des suites crois- santes de semi-normes. Une application lin´eaire L : E→F est continue si et seulement si

∀n∈_N, ∃mn∈_N, ∃Cmn >0, ∀x ∈E, qn(L(x))≤Cmnpmn(x). (1.1) D´emonstration : Pour le sens direct, on raisonne par contrapos´ee. Supposons (1.1) fausse et

montrons queLn’est pas continue en 0. On part de

∃n∈_N, ∀m∈ _N,∀C>_0,∃x∈ E, q_n(L(x))>Cp_m(x)_.

Prenons, pour toutm∈ _N, C= m. Il existe alorsxm ∈ E,qn(L(xm))> mpm(xm). Posons

˜

x_m = _q ^xm

n(L(xm)). Alors,q_n(L(x˜_m)) =1. De plus, pm(x˜m) = ^pm(xm)

q_n(L(x_m)) < ¹

m −−−→

m→_∞ 0.

Soitk ∈ _{N. Alors,} ∀m ≥ k, p_k(x˜m) ≤ pm(x˜m) −−−→

m→_∞ 0. Cela signifie exactement que la suite(x˜m)tend vers 0 dans (E,(pm)_m∈N). Or,qn(L(x˜m)) = 1 ne tend pas vers 0 ce qui contredit la continuit´e deL.

R´eciproquement, soit une application lin´eaire L : E → F qui v´erifie (1.1). Alors, pour toutn∈N, il existemn∈ _NetCmn >0 tels que

qn(L(x))≤Cmnpmn(x).

On peut toujours supposer queC_mn ≥1. Soitε >0 et soitn₀∈_Ntel que

+_∞ n=

∑

1 2ⁿ ≤ε.

Soitx∈ Etel quex∈V_mn

0,_C^ε

mn0

pour la famille(p_m)_m∈N. Alors, en utilisant la croissance de la famille(q_n)_n∈N,

d(L(x),L(0)) =

n₀ n

∑

1 2ⁿ

qn(L(x)) 1+q_n(L(x))+

+_∞ n=

∑

1 2ⁿ

qn(L(x)) 1+q_n(L(x))

≤

n0

n

∑

1

2ⁿq_n(L(x)) +

+_∞ n=

∑

1 2ⁿ

≤q_n0(L(x))

n0

n

∑

1 2ⁿ +

+_∞ n=

∑

1 2ⁿ

≤Cmn0pmn0(x)

+_∞ n

∑

1 2ⁿ+ε

≤ε+ε=2ε.

D’o `u la continuit´e deLen 0 donc en tout point.

2

1.2 Fonctions localement int´egrables

1.2 Fonctions localement int´egrables

Commenc¸ons par montrer que l’ouvertΩpeut s’´ecrire comme une r´eunion croissante d´enombrable de compacts.

Lemme 1.2.1. Il existe une famille(K_i)_i≥1de compacts deΩtelle que 1. pour tout i ≥1, K_i ⊂K^◦_i+1,

2. Ω=^S_i⁺₌^∞₁K_i =^S_i⁺₌^∞₂K^◦_i,

3. pour tout compact K deΩ, il existe i0≥1tel que K⊂K_i0.

D´emonstration : (Heuristique.) En effet, pour|| · ||la norme euclidienne surR^d, on pose : K_i ={x ∈_R^d : ||x|| ≤i} ∩ {x∈_Ω : d(x,Ω^c)≥ ¹

i}. Pour les d´etails, voir [5, Lemme 1.1, p2].

2 Une telle famille est appel´ee une exhaustion deΩpar des compacts.

D´efinition 1.2.2. Une fonction f : Ω→_Kest dite localement int´egrable pour la mesure de Lebesgue lorsqu’elle est int´egrable sur tout compact deΩ.

On note L¹_loc(_Ω)l’espace des fonctions localement int´egrables surΩ.

A l’aide d’une exhaustion(K_i)_i≥1deΩpar des compacts, on peut d´efinir les semi-normes suivantes surL¹_loc(_Ω):

∀f ∈ L¹_loc(_Ω), p_i(f) =

Z

Ki

|f(x)|dx.

Muni de cette famille de semi-normes,(L¹_loc(_Ω)_,(p_i)_i≥1)est un espace de Fr´echet.

1.3 Fonctions de classe C

`a support compact

D´efinition 1.3.1. Le support d’une fonctionϕ∈ C⁰(_Ω)est le sous-ensemble ferm´e deR^dnot´esupp ϕ et d´efini par l’une des assertions ´equivalentes suivantes :

1. supp ϕ={x∈ _Ω|ϕ(x)6=0}.

2. (supp ϕ)^cest le plus grand ouvert o `u la fonctionϕest nulle.

3. x₀∈/_supp ϕsi et seulement s’il existe un voisinage V_x0 de x₀tel que :∀x∈V_x0, ϕ(x) =0.

On a alors :

1. (supp ϕ=_∅) ⇔ (ϕ≡0 dansΩ), 2. supp(ϕ·ψ)⊂supp ϕ∩suppψ,

3. si ϕ∈ C^k(_Ω), alors, pour toutα∈_N^dtel que|α| ≤k, supp∂^αϕ⊂supp ϕ.

Soit K ⊂ _Ω un compact fix´e. On noteraC_K^∞(_Ω) l’ensemble des fonctions ϕde classe C^∞ telles que supp ϕ⊂K.

D´efinition 1.3.2. Une suite (ϕ_n)_n∈N d’´el´ements de C_K^∞(_Ω)tend vers ϕdans C_K^∞(_Ω)lorsque, pour toutα∈_N^dla suite(ϕn)_n∈Net toutes les suites(∂^αϕn)_n∈Nconvergent uniform´ement respectivement versϕet∂^αϕsur K.

Th´eorie des Distributions page 5

Chapitre 1. Espaces de Fr´echet

PourKun compact fix´e deΩ, les espacesC^k_K(_Ω)et l’espaceC^∞_K(_Ω)sont des espaces de Fr´echet.

En effet, soit une exhaustion(K_i)_i≥1deΩpar des compacts. On peut alors d´efinir, pouri≥_1, ( p_i(ϕ) =max_|α|≤ksup_x∈K

i|∂^αϕ(x)|, si ϕ∈ C^k(_Ω), k∈_N,

p_i(ϕ) =max_|α|≤isup_x∈K

i|∂^αϕ(x)|, si ϕ∈ C^∞(_Ω).

Chaque p_i est une semi-norme sur C^k(_Ω), k ∈ _N∪ {_∞}. Elles induisent par restriction des semi-normes surC^k_K(_Ω)etC^∞_K(_Ω). On peut alors d´efinir surC^k(_Ω),k ∈ _N∪ {_∞}la distance suivante :

d(ϕ,ψ) =

+_∞ i

∑

1 2ⁱ

p_i(ϕ−ψ) 1+p_i(ϕ−ψ)

qui par restriction induit une distance sur C^k_K(_Ω),k ∈ _N∪ {_∞}. Les espaces(C^k(_Ω),d)sont complets. De plus, siK⊂_Ωest un compact,(C_K^∞(_Ω),d)est complet comme sous-espace ferm´e de(C^∞(_Ω),d).

Finalement,(C^∞_K(_Ω),(p_i)_i≥1)est bien un espace de Fr´echet.

D´efinition 1.3.3. L’espace C₀^∞(_Ω), est l’ensemble des fonctions ϕ de classe C^∞ telles qu’il existe un compact K ⊂_{Ω, K}=suppϕ.

Pour d´efinir la topologie de l’espaceC₀^∞(_Ω)nous allons d´efinir la notion de convergence des suites d’´el´ements de cet espace.

D´efinition 1.3.4. Une suite(ϕn)_n∈Nd’´el´ements de C₀^∞(_Ω)tend vers ϕdans C₀^∞(_Ω)lorsque : 1. il existe un compact fixe K ⊂_Ωtel que :∀n∈_N,supp ϕ_n⊂ K,

2. la suite(ϕ_n)_n∈Net toutes les suites(∂^αϕ_n)_n∈Nconvergent uniform´ement respectivement vers ϕet∂^αϕsur K.

La distancedd´efinie plus haut ne rend pas l’espace(C₀^∞(_Ω),d)complet. La distancedca- ract´erise la convergence dans (C_K^∞(_Ω),d), mais pas dans(C^∞₀ (_Ω),d). En effet, il peut y avoir des probl`emes aux bords pour les supports. La distance dne “contient” pas le point (i) de la d´efinition de la convergence dansC₀^∞(_Ω).

Comme on peut ´ecrire queC^∞₀ (_Ω) = ^S_i≥1C_K^∞

i(_Ω), la topologie que l’on a d´efinie surC₀^∞(_Ω) n’est autre que la limite inductive stricte des topologies d´efinies par la distance ci-dessus sur chaqueC_K^∞_i(_Ω). Toutefois, C^∞₀ (_Ω)n’est pas m´etrisable, seul chacun desC^∞_Ki(_Ω)l’est (voir [2], Proposition 1.5).

Rappelons que la limite inductive des topologies est la topologie la plus fine surC₀^∞(_Ω)qui rende toutes les injectionsi_K→_Ω : C^∞_K(_Ω) → C₀^∞(_Ω)continues. De mani`ere ´equivalente, pour tout espace topologique(X,T), une application f :C₀^∞(_Ω)→Xest continue si et seulement si pour tout compactK⊂ _Ω, f◦i_Kest continue.

Chapitre 2

La transformation de Fourier dans S ( _R ^d )

La th´eorie de Fourier classique nous enseigne que, lorsqu’une fonction f, d´efinie surR, est de classeC¹et p´eriodique de p´eriodeT, on peut ´ecrire

∀x ∈_R, f(x) =

∑

n∈_Z

cne^inx2πT (2.1)

avec

∀n∈_Z, cn= ¹ T

Z ^T

2

−^T₂ f(t)e^−int2πT dt.

Lorsque f est quelconque, on ne peut pas, en g´en´eral, la repr´esenter comme une s´erie de Fou- rier. Il faut qu’elle soit p´eriodique. On cherche alors une repr´esentation de type int´egral. C’est ce que nous allons faire heuristiquement. Pour cela on remplacecnpar son expression int´egrale dans (2.1) :

∀x ∈_R, f(x) = ¹

T

∑

n∈_Z Z ^T

2

−^T₂ f(t)e^{in(x−t)2πT} dt.

Or, la vitesse de convergence vers 0 `a l’infini des coefficients de Fourier est contr ˆol´ee par la r´egularit´e de f. Ainsi, si f est suffisamment r´eguli`ere, par exemple de classeC^∞,cn= O(|n|^−p) pour tout p ≥ 0. Cela nous am`ene `a n´egliger, pourT assez grand, les termes dans la somme infinie tels que|n|> ^T₂² :

∀x∈_R, f(x)' ¹

T

∑

|n|≤^T₂² Z ^T₂

−^T₂ f(t)e^{in(x−t)2πT} dt.

Cette somme finie est une somme de Riemann et on obtient, lorsqueTtend vers+_∞,

∀x∈_R, f(x) =

Z _∞

−_∞ Z _∞

−_∞ f(t)e^{i2πξ(x−t)}dtdξ ce qui s’´ecrit encore

∀x ∈_R, f(x) =

Z _∞

−_∞

fˆ(ξ)e^i2πξxdξ, avec ∀ξ ∈ _{R, ˆ}f(ξ) =

Z _∞

−_∞ f(t)e^−i2πξtdt.

On retrouve ainsi heuristiquement l’analogue pour des fonctions non p´eriodiques de la for- mule de reconstitution du signal pour les fonctions p´eriodiques, une int´egrale remplac¸ant la somme discr`ete dans (2.1). Cette formule est appel´ee formule d’inversion de Fourier et l’un des principaux objectifs de ce cours sera de d´emontrer une telle formule pour une classe de fonctions adapt´ee, puis de l’´etendre par dualit´e `a une large classe de distributions.

7

Chapitre 2. La transformation de Fourier dansS(_R^d)

2.1 L’espace de Schwartz S( _R

)

La transform´ee de Fourier est d´efinie surL¹(_R^d)par la formule

∀ξ ∈_R^d, ˆf(ξ) =F(f)(ξ) =

Z

R^d f(x)e^−ix·ξdx

o `ux·ξ d´esigne le produit scalaire usuel dansR<sup>d</sup>. Toutefois, l’espace des fonctions int´egrables n’est pas invariant par transform´ee de Fourier. De mˆeme,C<sub>0</sub><sup>∞</sup>(<sub>R</sub><sup>d</sup>)n’est pas invariant par trans- form´ee de Fourier, la transform´ee de Fourier d’une fonction non identiquement nulle `a support compact n’´etant jamais `a support compact.

Nous allons donc chercher un espace interm´ediaire entre C₀^∞(_R^d) (l’espace des fonctions de classeC^∞ `a support compact) etL¹(_R^d)qui soit invariant parF.

Pour obtenir ensuite par dualit´e l’espace le plus grand possible, on va essayer de trouver un espace invariant qui soit le plus petit possible. On commence donc par se restreindre `aC<sup>∞</sup>(<sub>R</sub><sup>d</sup>). Dans L<sup>1</sup>(<sub>R</sub><sup>d</sup>), une condition suffisante pour que ˆf soit d´erivable est que f et x 7→ x f(x) soient toutes deux int´egrables. Plus g´en´eralement, pour avoir ˆf de classeC<sup>∞</sup>, il suffit d’avoir x 7→ x<sup>p</sup>f(x)int´egrable pour toutp ≥ 0. On veut aussi avoir le mˆeme contr ˆole pour toutes les d´eriv´ees de f. Cela conduit `a introduire l’espace de Schwartz.

D´efinition 2.1.1. L’espaceS(_R^d), appel´e espace de Schwartz, est constitu´e des fonctions f ∈C^∞(_R^d) telles que

∀α,β∈_N^d, ∃C_α,β >0, ∀x∈_R^d, |x^α∂^βf(x)| ≤C_α,β. (2.2) Remarque 2.1.2. Dans la d´efinition 2.1.1, nous aurions pu remplacer (2.2) par la condition

∀α,β∈_N^d, lim

|x|→+_∞|x^α∂^βf(x)|=_0.

L’espaceS(_R^d)est naturellement muni d’une structure deC-espace vectoriel (on consid`ere ici des fonctions `a valeurs complexes).

Exemple 2.1.3. 1. Pour tout compact K ⊂_R^d, C_K^∞(_R^d)⊂ S(_R^d). 2. Pour z∈_CavecRez >0, la fonction x7→e^−z|x|2 est dansS(_R^d).

3. Toutes les fonctions de la forme x 7→ P(x)e^−z|x|2 avec z ∈ _C, Re z > 0 et P une fonction polynˆomiale, sont dansS(_R^d).

Avant de d´efinir la transform´ee de Fourier surS(_R^d)nous donnons encore quelques propri´et´es de cet espace. Commenc¸ons par le munir d’une topologie. Pour cela on d´efini les semi-normes

∀α,β∈_N^d, ∀f ∈ S(_R^d), p_α,β(f) = sup

x∈_R^d

|x^α∂^βf(x)|. (2.3) Muni de cette famille de semi-normes,S(_R^d)est un espace de Fr´echet.

On a alors les propri´et´es suivantes.

Proposition 2.1.4. 1. Pour toutα∈_N^d, les applications f 7→ x^αf et f 7→∂^αf sont continues de S(_R^d)dansS(_R^d).

2. Le produit de deux ´el´ements deS(_R^d)est un ´el´ement deS(_R^d). 3. Pour tout1≤ p≤ +_∞,S(_R^d)⊂L^p(_R^d).

2.2 Transformation de Fourier dansS(_R^d)

D´emonstration : Pour le premier point, les deux applications sont lin´eaires en fet laissent stables f. La continuit´e est imm´ediate puisque ces deux op´erations ne font qu’op´erer un d´ecalage deαdans respectivement les premier et second indices de la famille de semi-norme que l’on s’est donn´ee.

Le second point est une cons´equence de la formule de Leibniz.

Le dernier point est clair puisque l’on peut choisirα quelconque etβnul donc on peut majorer par une fonction de la forme x^−α/p pour x suffisamment loin de 0 et obtenir l’int´egrabilit´e de ce majorant par le crit`ere de Riemann.

2

2.2 Transformation de Fourier dans S ( _R

)

On remarque que, pour f ∈ S(_R^d), la fonctionx 7→ e^−ix·ξf(x)est dansL¹(_R^d)pour tout ξ ∈_R^d. La d´efinition qui suit a donc bien un sens.

D´efinition 2.2.1. Pour f ∈ S(_R^d), la transform´ee de Fourier de f , que l’on note f ouˆ F(f)est la fonction d´efinie par

∀ξ ∈_R^d, ˆf(ξ) =F(f)(ξ) =

Z

R^d f(x)e^−ix·ξdx o `u pour x= (x₁, . . . ,x_d)etξ = (ξ₁, . . . ,ξ_d), x·ξ =x₁ξ₁+· · ·x_dξ_d.

Commenc¸ons par calculer la transform´ee de Fourier de la Gaussienne. Cet exemple est essentiel non seulement dans un cadre th´eorique pour obtenir la formule d’inversion de Fourier, mais aussi dans diverses applications, comme dans le calcul des probabilit´es (voir th´eor`eme de L´evy ou le Th´eor`eme Central Limite).

Exemple 2.2.2. Soit z∈_Ctel queRez>0. Soit f : x7→e^−z|x|2. Alors f ∈ S(_R^d)et

∀ξ ∈_R^d, ˆf(ξ) =^π z

^d₂ e^−|ξ|

2

4z . (2.4)

Etape 1.On commence par effectuer le calcul dans le cas o `u d = 1et z = λ >0est r´eel. Le th´eor`eme de d´erivation sous le signe int´egral montre que f est de classe Cˆ ¹surRet

d ˆf dξ(ξ) =

Z

R−ixe^−ixξe^−λx2dx.

L’usage du th´eor`eme est justifi´e par domination `a l’aide de la fonction x 7→e^−λx2 qui d´ecroˆıt plus vite `a l’infini que n’importe quel polynˆome et en particulier xe^−λx2 ∈ L¹(_R).

Comme xe^−λx2 =−_2λ¹ _dx^de^−λx2, on a d ˆf

dξ(ξ) = ⁱ 2λ

Z

Re^−ixξ d

dxe^−λx2dx et une int´egration par parties montre que

d ˆf

dξ(ξ) =− ^ξ 2λ

Z

Re^−ixξe^−λx2dx.

Th´eorie des Distributions page 9

Chapitre 2. La transformation de Fourier dansS(_R^d)

Ainsi f est solution de l’´equation diff´erentielleˆ ^{d ˆ}_dξ^f = −_2λ^ξ f avec comme condition initiale^ˆ fˆ(0) = R

Re^−λx2dx=

√

√π

λ. L’unique solution de ce probl`eme de Cauchy est bien fˆ(ξ) =

√

√π λ

e^−ξ

2 4λ.

Etape 2.On passe au cas o `u d≥ 1et z= λ >0est r´eel. Le r´esultat est alors une cons´equence directe du th´eor`eme de Fubini :

Z

R^de^−ix·ξe^−λ|x|2dx= _Z

Re^−ix1ξ1e^−λx21dx₁

· · · _Z

Re^−ixdξde^−λx2ddx_d

, ce qui donne, par propri´et´e de morphisme de l’exponentielle, la formule voulue.

Etape 3.La formule s’´etend `a l’ouvertΩ={z ∈_{C, Re}z>₀}par prolongement analytique. En effet, pourξ ∈_R^dfix´e, on noteΦ : Ω→_Cla fonction d´efinie par

Φ(z) =

Z

R^de^−ix·ξe^−z|x|2dx.

Alors, pour tout x∈_R^d, z7→_e^−ix·ξ_e^−z|x|2 est holomorphe surΩet si K ⊂ _Ωest un compact, il existe ε>0tel que pour tout z∈K,Rez >εet

|e^−ix·ξe^−z|x|2| ≤e^−ε|x|2 ∈ L¹(_R^d).

Ainsi, le th´eor`eme d’holomorphie sous le signe int´egral s’appliqueΦest holomorphe surΩ. Or, on sait que pour z∈]0,+_∞[,

Φ(z) =^π z

^d₂ e^−|ξ|

2 4z .

Comme le membre de droite de cette ´egalit´e est ´egalement holomorphe surΩ, cette ´egalit´e reste vraie pour tout z∈_Ω.

La formule donn´ee dans cet exemple se g´en´eralise ainsi : soit une matrice r´eelle sym´etrique A∈_Sd(_R)d´efinie positive. Si on consid`ere la densit´e Gaussienne centr´ee

∀x∈_R^d, G_A(x) = _p ¹

(2π)^ddet(A)^e

−¹₂(A⁻¹x|x), alorsG_A∈ S(_R^d)et

∀ξ ∈_R^d, F(G_A)(ξ) =e^{−12(Aξ|ξ)}.

Cela s’obtient `a partir de la formule que l’on a d´emontr´e en diagonalisant A en base ortho- norm´ee.

A l’aide de la transform´ee de Fourier de la Gaussienne, nous pouvons `a pr´esent d´emontrer le` th´eor`eme d’inversion de Fourier dans le cadre de la classe de Schwartz.

Th´eor`eme 2.2.3. La transformation de Fourier F _: S(_R^d) → S(_R^d) est une application lin´eaire bijective, continue et d’inverse continu. Son inverseF est donn´ee par

∀g ∈ S(_R^d)_, ∀x ∈_R^d_, F(g)(x) = ¹ (2π)^d

Z

R^de^ix·ξg(ξ)_{dξ. (2.5)}

2.2 Transformation de Fourier dansS(_R^d)

Remarque 2.2.4. La formule (2.5) peut s’´ecrire :

∀g∈ S(_R^d), ∀x ∈_R^d, F(g)(x) = ¹

(2π)^dF(g)(−x).

Remarque 2.2.5. Ce th´eor`eme montre en particulier queS(_R^d)est bien invariant par transform´ee de Fourier, comme nous l’avons souhait´e lors de sa construction.

D´emonstration : Montrons tout d’abord queF etF envoientS(_R^d)dansS(_R^d). Comme pour toutg∈ S(_R^d)et toutx∈_R^d,F(g)(x) = ₍ ¹

2π)^dF(g)(−x), il suffit de le montrer pourF. Tout d’abord,F(g)∈ C^∞ sig ∈ S(_R^d). En effet, pourx fix´e, la fonctionξ 7→ e^−ix·ξg(x) est de classeC^∞et pour toutβ∈_N^d,

|∂_ξ^β(e^−ix·ξg(x))|= |(−ix)^βe^−ix·ξg(x)|= |x^βg(x)| ∈L¹(_R^d).

On peut donc appliquer le th´eor`eme de d´erivation sous le signe int´egral de mani`ere r´ecurrente. De plus :

∀β∈_N^d, ∀g∈ S(_R^d), ∀ξ ∈_R^d, ∂_ξ^βF(g)(ξ) =

Z

R^de^−ix·ξ(−ix)^βg(x)dx.

On montre ensuite, par int´egrations par parties successives, que pourα,β∈_N^d, ξ^α∂^β_ξF(g)(ξ) =

Z

R^d((−Dx)^αe^−ix·ξ)((−ix)^βg(x))dx=

Z

R^de^−ix·ξD^α_x((−ix)^βg(x))dx o `u l’on a utilis´e la notationD_j = ¹_i∂_xj etD^α_x =D₁^α1· · ·D^α_d^d. On en d´eduit que :

∀ξ ∈ _R^d, |ξ^α∂_ξ^βF(g)(ξ)| ≤

Z

R^d|D^α_x(x^βg(x))|dx<+_∞.

Ceci prouve queF(g) ∈ S(_R^d) et que l’application g 7→ F(g)est continue de S(_R^d) dansS(_R^d)par la formule de Leibniz.

Il nous reste `a prouver queF Fg = gpour toutg∈ S(_R^d). Pour cela il faudrait pouvoir consid´erer l’int´egraleR

R^de^ix·ξ R

R^de^−iy·ξg(y)dy

dξ. Mais, la fonction(y,ξ)7→e^ix·ξe^−iy·ξg(y) n’appartient pas `aL¹(_R^d_y×_R^d_ξ)et on ne peut donc pas intervertir les int´egrales par Fubini.

On va proc´eder par approximation. On remarque que, d’apr`es le th´eor`eme de conver- gence domin´ee,

lim

ε→0,ε>0

Z

R^de^ix·ξe^−ε|ξ|2gˆ(ξ)_dξ =_lim

ε→0I_ε =

Z

R^de^ix·ξgˆ(ξ)_dξ.

Or, la fonction(_y,ξ)7→ e^ix·ξe^−ε|ξ|2e^−iy·ξg(_y)appartient `aL<sup>1</sup>(<sub>R</sub><sup>d</sup><sub>y</sub>×<sub>R</sub><sup>d</sup><sub>ξ</sub>)<sub>pour tout</sub>ε><sub>0. On</sub> peut donc lui appliquer le th´eor`eme de Fubini et obtenir :

I_ε =

Z

R^d

_Z

R^de^i(x−y)·ξe^−ε|ξ|2dξ

g(y)dy.

D’apr`es la formule (2.4), on a Iε =

√

√π ε

dZ

R^de^−|x−y|

2

4ε g(y)dy= π

d22^d Z

R^de^−|z|2g(x−2√ εz)dz.

D’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee, lim

ε→0Iε =π

d 22^dg(x)

Z

R^de^−|z|2dz= (2π)^dg(x). D’o `u, R

R^de^ix·ξgˆ(ξ)dξ = (2π)^dg(x)et F F = Id_S(Rd). On montre de mˆeme queF F = Id_S(Rd).

Th´eorie des Distributions page 11

Chapitre 2. La transformation de Fourier dansS(_R^d)

2 Il est courant de noter ˇgla fonctionx 7→ g(−x). Avec cette notation, la relation d’inversion de Fourier s’´ecrit :

F Fg= (2π)^dg.ˇ

Nous terminons cette section par un r´esultat important de densit´e.

Th´eor`eme 2.2.6. L’espace de SchwartzS(_R^d)est dense dans L²(_R^d)pour la norme L².

D´emonstration : On consid`ere la famille des fonctions polyn ˆomiales de Hermite(H_n)_n∈Nd´efinie par

∀n∈_N, ∀x∈_R, Hn(x) = (−1)ⁿe^x

2 2 (e^−x

2 2 )⁽ⁿ⁾.

Cette famille forme une base deR[X]car c’est une famille ´echelonn´ee en degr´e. De plus, elle est orthogonale dansL²(µ)o `uµest la mesure absolument continue par rapport `a la mesure de Lebesgue de d´eriv´ee de Radon-Nikodymx 7→ ^e−

x2

√ 2

2π, et pour le produit scalaire (f,g)7→ (f|g)_L2(µ) :=

Z

Rf(x)g(x)^e

−^x₂²

√2πdx=

Z

Rf(x)g(x)dµ.

On note alors V le R-sous-espace vectoriel de L²(µ) engendr´e par la famille (H_n)_n∈N. Montrons queVest dense dans L²(µ)pour la norme hilbertienne induite par le produit scalaire ci-dessus. Pour cela, on montre que l’orthogonalV^⊥est r´eduit au singleton{0}. Soit donc f ∈ V^⊥. Alors f ∈ L²(µ) et pour toute h ∈ V, (f|h)_L2(µ) = 0. Par ailleurs, consid´erons la transform´ee de Fourier deg : x7→ f(x)e^−x22 :

ˆ

g: R → _C

ξ 7→ R

Rf(_x)_e^−x22_e^−ixξ_dx ^.

On montre par le th´eor`eme d’holomorphie sous le signe int´egral que ˆg s’´etend en une fonction holomorphe surC. De plus :

∀n∈_N, ∀ξ ∈ _{C, ˆ}g⁽ⁿ⁾(ξ) =

Z

R f(x)(−i)ⁿxⁿe^−x22e^−ixξdx et enξ =0,

ˆ

g⁽ⁿ⁾(0) = (−i)ⁿ

Z

R f(x)xⁿe^−x22dx=0

carx7→ xⁿ∈V, puisque(H_n)_n∈Nest une base deR[X]_{. Donc ˆ}gest holomorphe au voisi- nage de 0 de s´erie enti`ere nulle (puisque toutes ses d´eriv´ees successives sont nulles en 0), donc elle est nulle au voisinage de 0. Par prolongement analytique, ˆgest identiquement nulle surC. En particulier elle est aussi nulle surR. On en d´eduit par inversion de Fourier queg est identiquement nulle, donc f aussi. Ainsi,Vest dense dans L²(µ). Puis e^−x22V est dense dansL²(_{R, dx}). Or, e^−x22V⊂ S(_R)⊂ L²(_R), doncS(_R)est dense dansL²(_R). On obtient alors le r´esultat en dimensiond≥1 quelconque par produit tensoriel.

2

2.3 Propri´et´es de la transform´ee de Fourier dansS(_R^d)

2.3 Propri´et´es de la transform´ee de Fourier dans S ( _R

)

Nous commenc¸ons par pr´esenter la propri´et´e fondamentale de la transform´ee de Fourier : elle ´echange la d´erivation et la multiplication alg´ebrique. C’est cette propri´et´e qui justifie le r ˆole central de la transform´ee de Fourier dans l’´etude des EDPs `a coefficients constants.

Th´eor`eme 2.3.1. Soit f ∈ S(_R^d). Alors,

1. la fonctionF(f)est de classe C¹surR^det, pour tout j∈ {1, . . . ,d},

∀ξ ∈_R^d, ∂_ξjF(f)(ξ) =F(−ix_jf)(ξ). (2.6) 2. Pour tout j∈ {1, . . . ,d},

∀ξ ∈_R^d, F(∂_xif)(ξ) =iξ_jF(f)(ξ). (2.7) D´emonstration : La fonction (x,ξ) 7→ e^−ix·ξf(x)est de classeC¹sur R^d×_R^d et pour tout j ∈

{1, . . . ,d},

|∂_ξj(e^−ix·ξf(x))|=| −ix_je^−ix·ξf(x)|=|x_jf(x)|

et x 7→ x_jf(x)est dansL¹(_R^d)car f ∈ S(_R^d). On peut donc appliquer le th´eor`eme de d´erivation sous le signe int´egral pour obtenir

∂_ξjF(f)(ξ) =

Z

R^d∂_ξj(e^−ix·ξf(x))dx=

Z

R^d−ix_je^−ix·ξf(x)dx ce qui ´etablit le premier point.

Pour montrer le second point, int´egrons pas parties par rapport `ax_j: Z

Re^−ix·ξ∂_xjf(x)dx_j =^he^−ix·ξf(x)^ixj=+∞

xj=−_∞−

Z

R(∂_xje^−ix·ξ)f(x)dx_j =iξ_j Z

Re^−ix·ξf(x)dx_j car x_j 7→ f(x₁, . . . ,x_j, . . . ,x_d)tend vers 0 lorsque |x_j| → +_∞puisque f ∈ S(_R^d)_{. Puis,} comme|e^−ix·ξ∂x_jf(x)| = |∂x_jf(x)|et que cette fonction est int´egrable sur R^d, de mˆeme quex 7→ e^−ix·ξf(x), on peut int´egrer l’´egalit´e issue de l’int´egration par parties selon les variables autres quex_j pour obtenir, via Fubini,

Z

R^de^−ix·ξ∂_xjf(x)dx=_iξj

Z

R^de^−ix·ξf(x)dx, ce qui prouve le second point.

2 La transform´ee de FourierF ´echange donc d´erivation et multiplication parx. Par cons´equent, F ´echange r´egularit´e et d´ecroissance `a l’infini : plus une fonction est d´erivable, plus vite sa transform´ee de Fourier d´ecroˆıt `a l’infini. On retrouve en particulier l’invariance de la classe de Schwartz parF_.

Bien entendu, nous avons toujoursC₀^∞(_R) ⊂ S(_R). Nous pouvons donc voir ce que l’on ob- tient lorsque l’on applique la transform´ee de Fourier `a une fonction `a support compact. La d´ecroissance `a l’infini ´etant maximale pour une telle distribution, on s’attend `a obtenir une r´egularit´e maximale. Plus g´en´eralement, soit f ∈ L¹(_R)_ouL²(_R)et `a support compact. Alors sa transform´ee de Fourier d´efinit, par le th´eor`eme d’holomorphie sous le signe int´egral, une fonction analytique sur l’ouvert{z ∈_{C, Re}z>0}qui s’´etend en une fonction holomorphe sur

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