Transform´ee de Fourier partielle et applications

DansR^p×_R^d, nous noterons(t,x)_{o `u}t ∈ _R^p_etx ∈_R^d la variable. Pourϕ∈ S(_R^p×_R^d)_, on d´efinit la transformation de Fourier partielle enxpar la formule

F˜(ϕ)(t,ξ) =

Z

R^de^−ix.ξϕ(t,x)dx. (4.3) Alors ˜F d´efinit une bijection deS(_R^p×_R^d)dans lui-mˆeme d’inverse

∀ψ∈ S(_R^p×_R^d), ˜F⁻¹ψ(t,x) = ¹ (2π)^d

Z

R^de^ix.ξψ(t,ξ)dξ.

Par dualit´e, on peut alors d´efinir ˜F surS⁰(_R^p×_R^d)par

∀T∈ S⁰(_R^p×_R^d), ∀ϕ∈ S(_R^p×_R^d), hF^˜T,ϕi=hT, ˜F(ϕ)i.

Alors ˜F est un isomorphisme bicontinu (pour la convergence des suites) deS⁰(_R^p×_R^d)dans lui-mˆeme. De plus, on a les formules

F˜(D^α_xT) =ξ^αF˜T, (4.4)

avecD^α_x = D^α_x1¹· · ·D_x^αd_d et pour toutj,D_xj = ¹_i∂_xj,

F˜(x^αT) = (−D_ξ)^αF^˜T, (4.5) et

F˜(D_t^βu) =D_t^βF˜u. (4.6)

4.4 Transform´ee de Fourier partielle et applications

Exemple 4.4.1. CalculonsF˜δ_(0,0). On a pour toute ϕ∈ S(_R^p×_R^d), hF^˜δ_(0,0),ϕi= hδ_(0,0), ˜F(ϕ)i=F^˜(ϕ)(0, 0) =

Z

R^d ϕ(0,ξ)dξ.

D’o `u

F˜δ(_0,0) =δt=0⊗1_ξ.

Nous allons voir comment appliquer cela `a la recherche de solutions ´el´ementaires d’op´erateurs classiques de la physique.

Op´erateur de la chaleur. Soit P = ∂t−_∆x agissant sur S⁰(_R×_R^d). On cherche `a r´esoudre dansS<sup>0</sup>(<sub>R</sub>×<sub>R</sub><sup>d</sup>)l’´equation PE = δ<sub>0</sub> d’inconnue E, avec E `a support dans {(t,x) : t ≥ 0}. Par transform´ee partielle de Fourier, cela revient `a r´esoudre dansS<sup>0</sup>(<sub>R</sub>×<sub>R</sub><sup>d</sup>) (∂<sub>t</sub>+|ξ|<sup>2</sup>)E<sup>˜</sup> = δ<sub>t</sub>=0⊗1<sub>ξ</sub> o `u l’on a pos´e ˜E=F^˜E.

Hors det=0, ˜Eest solution de l’´equation diff´erentielle(∂_t+|ξ|²)E^˜ =0. Cette ´equation admet des solutions de la formeξ 7→ a(ξ)e^−t|ξ|2. On cherche alors une fonction atelle que ˜E(t,ξ) = H(t)a(ξ)e^−t|ξ|2 soit solution de notre ´equation initiale, o `u Hd´esigne la fonction de Heaviside, indicatrice de[_0,+_∞[. Or, on a :

∂_tE˜(t,ξ) =−|ξ|²H(t)a(ξ)e^−t|ξ|2 +a(ξ)e^−t|ξ|2δ_t=0⊗1_ξ =−|ξ|²H(t)a(ξ)e^−t|ξ|2 +δ_t=0⊗a(ξ). Il suffit donc de prendre a(ξ) = 1, i.e. E˜(t,ξ) = H(t)e^−t|ξ|2. Cette formule d´efinie bien un

´el´ement de S⁰(_R×_R^d) qui appartient `a S(_R^d) pour tout t > 0. Par inversion de Fourier ( ˜FF^˜T= (2π)^dT), on obtient^ˇ (2π)^dE^ˇ = H(t)F^˜e^−t|ξ|2. Par la transform´ee de Fourier de la Gaus-sienne dansS(_R^d)(voir Exemple 2.4), on a

(_2π)^dE^ˇ = H(t)^π t

^d₂ e^−|x|

2 4t . Alors, ˇE= Eet on a finalement,

E= ^H(t) (4πt)^d2e

−^|x_4t^|2.

Op´erateur des ondes.On cherche E ∈ S⁰(_R×_R^d) `a support dans{(t,x) : t ≥ 0}telle que 2E = δ<sub>0</sub> o `u2 = ∂²_t −_∆x est le d’Alembertien dans Rt×_R^d_x. Il est ´equivalent de r´esoudre F˜₂E=F^˜δ₀, soit encore

(∂²_t +|ξ|²)E^˜ = δt=0⊗1_ξ.

Hors det =0, la distribution ˜Eest solution de l’´equation(∂²_t +|ξ|²)E^˜ = 0. C’est une ´equation diff´erentielle ent qui admet des solutions de la formet 7→ a(ξ)cos(t|ξ|) +b(ξ)sin(t|ξ|). Pour satisfaire la condition de support, on cherche ˜Esous la forme

E˜(t,x) =H(t)(a(ξ)cos(t|ξ|) +b(ξ)sin(t|ξ|)). On a alors

∂tE˜ =δt=₀(a(ξ)cos(t|ξ|) +b(ξ)sin(t|ξ|)) +H(t)(−a(ξ)|ξ|sin(t|ξ|) +b(ξ)|ξ|cos(t|ξ|))

=H(t)(−a(ξ)|ξ|sin(t|ξ|) +b(ξ)|ξ|cos(t|ξ|)) +δ_t=0⊗a(ξ). De mˆeme,

∂_tE˜ = H(t)(−a(ξ)|ξ|²cos(t|ξ|)−b(ξ)|ξ|²sin(t|ξ|)) +δ_t=0⊗ |ξ|b(ξ) +δ

0

t=0⊗a(ξ).

Th´eorie des Distributions page 31

Chapitre 4. La transform´ee de Fourier dansS⁰(_R^d)

Pour que ˜Esoit solution de notre ´equation, il suffit donc de prendrea(ξ) =0 etb(ξ) = _|¹

ξ|. On obtient alors

E˜(t,x) = H(t)^sin(t|ξ|)

|ξ| ^.

C’est une fonction de classe C^∞ en ξ et telle que |E^˜(t,ξ)| ≤ max(t, 0), c’est donc un ´el´ement deS⁰(_R×_R^d). Par transform´ee de Fourier inverse on obtient une solution ´el´ementaireEde2 d´efinie par

E= F^˜−1

H(t)^sin(t|ξ|)

|ξ|

.

Chapitre 5

Espaces de Sobolev H ^s ( _R ^d )

5.1 Les espaces de Sobolev H

^s

( _R

^d

)

5.1.1 D´efinitions et premiers exemples

Nous allons commencer par d´efinir les espaces de Sobolev d’indicem∈_Navant de g´en´eraliser

`a des indices quelconques dansR.

D´efinition 5.1.1. L’espace de Sobolev H^m(_R^d)est le sous espace de L²(_R^d)des distributions temp´er´ees u telles que, pour toutα∈_N^d,|α| ≤m,∂^αu∈ L²(_R^d).

On peut alors munir cet espace d’un produit scalaire d´efinit ainsi :

∀u,v ∈H^m(_R^d), (u|v)_H^m =

∑

|α|≤m

(∂^αu|∂^αv)_L2. Ce produit scalaire induit la norme suivante surH^m(_R^d):

∀u∈ H^m(_R^d), ||u||_H^m =

∑

|α|≤m

||∂^αu||²_L2

!¹₂ . Proposition 5.1.2. L’espace(H^m(_R^d),(·|·)_H^m)est un espace de Hilbert.

D´emonstration : C’est un cons´equence directe de la compl´etude deL²(_R^d).

2 On peut alors caract´eriser les espaces de Sobolev `a l’aide de la transform´ee de Fourier dans S⁰(_R^d).

Proposition 5.1.3. Soit u∈ L²(_R^d). Alors, u∈ H^m(_R^d)si et seulement si Z

R^d|uˆ(ξ)|²(1+|ξ|²)^mdξ <+_∞.

D´emonstration : On se donneu∈ L²(_R^d). On suppose qu’elle v´erifie Z

R^d|uˆ(ξ)|²(1+|ξ|²)^mdξ < +_∞.

Or, siu∈ L²(_R^d), alors ˆu∈ L²(_R^d). Ainsi on a, pour toutα,|α| ≤m Z

R^d|uˆ(ξ)ξ^α|²<+_∞ 33

Chapitre 5. Espaces de SobolevH^s(_R^d)

car par la formule du bin ˆome, il existeC_m >0 telle que, pour tout|α| ≤m,

∏

d j=1

|ξ_j|^2αj ≤ (1+|ξ|²)^m ≤C_m

∑

|α|≤m

∏

d j=1

|ξ_j|^2αj.

On en d´eduit que F(∂^αu) ∈ L²(_R^d), soit ∂^αu ∈ L²(_R^d), soit encore u ∈ H^m(_R^d). La r´eciproque est alors imm´ediate avec les mˆemes arguments.

2 On peut alors ´etendre les espaces de Sobolev `a des indices non entiers pour pouvoir consid´erer une ´echelle continue d’espaces.

D´efinition 5.1.4. Soit s∈R. L’espace de Sobolev H^s(_R^d)est le sous-espace deS⁰(_R^d)d´efini par H^s(_R^d) =

u∈ S⁰(_R^d), Z

R^d|uˆ(ξ)|²(1+|ξ|²)^sdξ <+_∞

.

Notons ainsi que pour s ≥ 0, H^s(_R^d) ⊂ L²(_R^d). Ceci n’est plus vrai pour s < 0. L’espace H^s(_R^d)est muni du produit scalaire

∀u,v∈ H^s(_R^d), (u|v)_Hs(_R^d)=

Z

R^d(1+|ξ|²)^suˆ(ξ)vˆ(ξ)dξ.

Cela a bien un sens car on int`egre le produit dans L²(_R^d) de deux distributions de L²(_R^d)

´egales respectivement `a(1+|ξ|²)^s2uˆ(ξ)et(1+|ξ|²)^s2vˆ(ξ). On peut alors d´efinir surH^s(_R^d)la norme

∀u∈ H^s(_R^d), ||u||²_s =

Z

R^d(1+|ξ|²)^s|uˆ(ξ)|²dξ.

Nous avons les premi`eres propri´et´es suivantes.

Proposition 5.1.5. 1. Si s₁ ≥s2, alors H^s1(_R^d)⊂ H^s2(_R^d)et l’injection est continue.

2. (H^s(_R^d),(·|·)_Hs(_R^d))est un espace de Hilbert.

3. Si s =m∈ _{N, H}^m(_R^d)comme d´efini `a la d´efinition 5.1.1 et H^s(_R^d)co¨ıncident alg´ebriquement et topologiquement.

D´emonstration : Le premier point r´esulte de l’in´egalit´e(1+|ξ|²)^s2 ≤(1+|ξ|²)^s1. Pour le second point, soit(u_j)_j≥1une suite de Cauchy dansH^s(_R^d). Alors((1+|ξ|²)^2suˆ_j)_j≥1est une suite de Cauchy dans L²(_R^d). Elle converge donc vers g ∈ L²(_R^d). Posons u = F⁻¹((1+

|ξ|²)^−2sg)∈ S⁰(_R^d). Alors, par le th´eor`eme de Plancherel,u∈ H^set

||u_j−u||_Hs(_R^d)=||(1+|ξ|²)^s2uˆ_j−g||_L2(_R^d)−−−→

j→+_∞ 0.

Le dernier point a ´et´e d´ej`a ´et´e vu `a la proposition 5.1.3.

2 Exemple 5.1.6. On a L¹(_R^d)⊂ H^s(_R^d)pour s<−^d₂. En effet, si u∈ L¹(_R^d), alorsuˆ ∈ L^∞(_R^d)et (₁+|ξ|²)^s2uˆ ∈ L²(_R^d)si et seulement si s< ^d_2.

Exemple 5.1.7. Puisque l’espace de Schwartz est invariant par transform´ee de Fourier, il est clair que S(_R^d)⊂ H^s(_R^d)pour tout s∈_R.

5.1 Les espaces de SobolevH^s(_R^d)

Exemple 5.1.8. Pour tout a ∈ _R^d, la distribution δ_a est dans H^s(_R^d) pour s < −^d₂. En effet, on remarque queδˆ_a(ξ) =e^−iaξ, ainsi

Z

R^d|e^−iaξ|²(1+|ξ|²)^sdξ =

Z

R^d(1+|ξ|²)^sdξ.

Cette int´egrale est convergente pour s<−^d₂, divergente si s≥ −^d₂. De mˆeme, pour touteϕ∈ S(_R^d), hF(∂x_jδa),φi=h∂x_jδa, ˆφi=−hδa,∂x_jφˆi=iξ_je^−iaξ.

Ainsi on trouve∂_xjδ_a ∈ H^s(_R^d)pour tout s<−^d₂ −1.

5.1.2 Densit´e des fonctions r´eguli`eres

Th´eor`eme 5.1.9. Pour tout s∈_R,S(_R^d)est dense dans H^s(_R^d).

D´emonstration : Soitu ∈ H^s(_R^d). Alors(1+|ξ|²)^s2uˆ ∈ L²(_R^d). PuisqueS(_R^d)est dense dans L²(_R^d), il existe une suite (v_j)_j≥1 d’´el´ements de S(_R^d) qui converge dans L²(_R^d) vers (1+|ξ|²)^2su. Posons pour toutˆ j, u_j = F⁻¹((1+|ξ|²)^−2sv_j). Alors u_j ∈ S(_R^d) et par Plancherel,

||u_j−u||_s =||v_j−(1+|ξ|²)^s2uˆ||_L2(_R^d)−−−→

j→+_∞ 0.

D’o `u le r´esultat voulu.

2 Corollaire 5.1.10. Pour tout s∈_{R, C0}^∞(_R^d)est dense dans H^s(_R^d).

D´emonstration : Il suffit de raisonner par troncature et de montrer que C₀^∞(_R^d)est dense dans S(_R^d)pour la norme|| · ||_s. Soitθ ∈ C^∞₀ (_R^d)une fonction plateau valant 1 si|x| ≤ 1 et 0 pour |x| ≥ 2. Posons θ_k(_x) = θ(^x_k)_{pour toutk} ≥ 1. Soit u ∈ S(_R^d)_{. Soits0 un entier} naturel tel ques≤s₀. Posons pour toutk≥_1,u_k = θ_ku. Alors,u_k ∈C₀^∞(_R^d)_et

||u_k−u||²_s ≤ ||u_k−u||²_s

0 ≤C

∑

|α|≤s0

||∂^α((θ_k−1)u)||_L2(_R^d)

d’apr`es la proposition 5.1.3. Il suffit alors d’appliquer la formule de Leibniz et le th´eor`eme de convergence domin´ee pour montrer que ce majorant tend vers 0 lorsquek tend vers l’infini.

2

5.1.3 Op´erations surH^s(_R^d)

A partir de l’exemple des d´eriv´ees du Dirac, on g´en´eralise au r´esultat suivant.

Proposition 5.1.11. Pour tout s ∈_{R, si u}∈ H^s(_R^d), alors, pour toutα∈_N^d, la distribution∂^αu est dans H^s−|α|(_R^d)et on a

||∂^αu||_s−|α| ≤ ||u||_s.

D´emonstration : Comme on a d´emontr´e queF(∂^αu) = i^|α|ξ^αuˆdansS⁰(_R^d), on en d´eduit, utili-sant|ξ^α| ≤(₁+|ξ|²)^|α2|_{, que}

Z

R^d(₁+|ξ|²)^s−|α||ξ^αuˆ|²_dξ < +_∞.

Th´eorie des Distributions page 35

Chapitre 5. Espaces de SobolevH^s(_R^d)

2 Le r´esultat suivant sur le produit par une fonction dansS(_R^d)permet de d´efinir les espaces de Sobolev locauxH_loc^s (_Ω)pour tout ouvertΩ⊂_R^d.

D´emonstration : Par densit´e, on va commencer par d´emontrer l’in´egalit´e (5.1) pour ϕ∈ S(_R^d) etu∈ S(_R^d). Nous avons d´efini le produit de convolution dansS(_R^d)et montr´e son lien avec la transform´ee de Fourier. On a alorsϕu∈ S(_R^d)et

∀ξ ∈ _R^d, ϕuc(ξ) = (2π)^−d(ϕˆ?uˆ)(ξ) = (2π)^−d

Z

R^d ϕˆ(ξ−η)uˆ(η)dη. (5.2) Par ailleurs, montrons que l’on a l’in´egalit´e :

∀ξ, η∈_R^d, ∀s∈_R, (1+|ξ|²)^s ≤2^|s|(1+|ξ−η|²)^|s|(1+|η|²)^s. (5.3)

En utilisant (5.2) et (5.3), on obtient

||ϕu||²_s ≤(2π)^−2d2^|s| R

On applique l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz `a l’int´egrale enηpour obtenir

||ϕu||²_s ≤(2π)^−2d2^|s| R

Par changement de variable dans la premi`ere int´egrale, il vient

||ϕu||²_s ≤(2π)^−2d2^|s| En utilisant le th´eor`eme de Fubini dans l’int´egrale double on obtient

||ϕu||²_s ≤(2π)^−2d2^|s| _Z

R^d(1+|η|²)^|2s||ϕˆ(η)|dη 2

||u||²_s

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