Fonctions de classe C ∞ `a support compact

D´efinition 1.3.1. Le support d’une fonctionϕ∈ C⁰(_Ω)est le sous-ensemble ferm´e deR^dnot´esupp ϕ et d´efini par l’une des assertions ´equivalentes suivantes :

1. supp ϕ={x∈ _Ω|ϕ(x)6=0}.

2. (supp ϕ)^cest le plus grand ouvert o `u la fonctionϕest nulle.

3. x₀∈/_supp ϕsi et seulement s’il existe un voisinage V_x0 de x₀tel que :∀x∈V_x0, ϕ(x) =0.

On a alors :

1. (supp ϕ=_∅) ⇔ (ϕ≡0 dansΩ), 2. supp(ϕ·ψ)⊂supp ϕ∩suppψ,

3. si ϕ∈ C^k(_Ω), alors, pour toutα∈_N^dtel que|α| ≤k, supp∂^αϕ⊂supp ϕ.

Soit K ⊂ _Ω un compact fix´e. On noteraC_K^∞(_Ω) l’ensemble des fonctions ϕde classe C^∞ telles que supp ϕ⊂K.

D´efinition 1.3.2. Une suite (ϕ_n)_n∈N d’´el´ements de C_K^∞(_Ω)tend vers ϕdans C_K^∞(_Ω)lorsque, pour toutα∈_N^dla suite(ϕn)_n∈Net toutes les suites(∂^αϕn)_n∈Nconvergent uniform´ement respectivement versϕet∂^αϕsur K.

Th´eorie des Distributions page 5

Chapitre 1. Espaces de Fr´echet

PourKun compact fix´e deΩ, les espacesC^k_K(_Ω)et l’espaceC^∞_K(_Ω)sont des espaces de Fr´echet.

En effet, soit une exhaustion(K_i)_i≥1deΩpar des compacts. On peut alors d´efinir, pouri≥_1, ( p_i(ϕ) =max_|α|≤ksup_x∈K

i|∂^αϕ(x)|, si ϕ∈ C^k(_Ω), k∈_N,

p_i(ϕ) =max_|α|≤isup_x∈K

i|∂^αϕ(x)|, si ϕ∈ C^∞(_Ω).

Chaque p_i est une semi-norme sur C^k(_Ω), k ∈ _N∪ {_∞}. Elles induisent par restriction des semi-normes surC^k_K(_Ω)etC^∞_K(_Ω). On peut alors d´efinir surC^k(_Ω),k ∈ _N∪ {_∞}la distance suivante :

d(ϕ,ψ) =

+_∞ i

∑

1 2ⁱ

p_i(ϕ−ψ) 1+p_i(ϕ−ψ)

qui par restriction induit une distance sur C^k_K(_Ω),k ∈ _N∪ {_∞}. Les espaces(C^k(_Ω),d)sont complets. De plus, siK⊂_Ωest un compact,(C_K^∞(_Ω),d)est complet comme sous-espace ferm´e de(C^∞(_Ω),d).

Finalement,(C^∞_K(_Ω),(p_i)_i≥1)est bien un espace de Fr´echet.

D´efinition 1.3.3. L’espace C₀^∞(_Ω), est l’ensemble des fonctions ϕ de classe C^∞ telles qu’il existe un compact K ⊂_{Ω, K}=suppϕ.

Pour d´efinir la topologie de l’espaceC₀^∞(_Ω)nous allons d´efinir la notion de convergence des suites d’´el´ements de cet espace.

D´efinition 1.3.4. Une suite(ϕn)_n∈Nd’´el´ements de C₀^∞(_Ω)tend vers ϕdans C₀^∞(_Ω)lorsque : 1. il existe un compact fixe K ⊂_Ωtel que :∀n∈_N,supp ϕ_n⊂ K,

2. la suite(ϕ_n)_n∈Net toutes les suites(∂^αϕ_n)_n∈Nconvergent uniform´ement respectivement vers ϕet∂^αϕsur K.

La distancedd´efinie plus haut ne rend pas l’espace(C₀^∞(_Ω),d)complet. La distanced ca-ract´erise la convergence dans (C_K^∞(_Ω),d), mais pas dans(C^∞₀ (_Ω),d). En effet, il peut y avoir des probl`emes aux bords pour les supports. La distance dne “contient” pas le point (i) de la d´efinition de la convergence dansC₀^∞(_Ω).

Comme on peut ´ecrire queC^∞₀ (_Ω) = ^S_i≥1C_K^∞

i(_Ω), la topologie que l’on a d´efinie surC₀^∞(_Ω) n’est autre que la limite inductive stricte des topologies d´efinies par la distance ci-dessus sur chaqueC_K^∞_i(_Ω). Toutefois, C^∞₀ (_Ω)n’est pas m´etrisable, seul chacun desC^∞_Ki(_Ω)l’est (voir [2], Proposition 1.5).

Rappelons que la limite inductive des topologies est la topologie la plus fine surC₀^∞(_Ω)qui rende toutes les injectionsi_K→_Ω : C^∞_K(_Ω) → C₀^∞(_Ω)continues. De mani`ere ´equivalente, pour tout espace topologique(X,T), une application f :C₀^∞(_Ω)→Xest continue si et seulement si pour tout compactK⊂ _Ω, f◦i_Kest continue.

Chapitre 2

La transformation de Fourier dans S ( _R ^d )

La th´eorie de Fourier classique nous enseigne que, lorsqu’une fonction f, d´efinie surR, est de classeC¹et p´eriodique de p´eriodeT, on peut ´ecrire

∀x ∈_R, f(x) =

∑

n∈_Z

cne^inx2πT (2.1)

avec

∀n∈_Z, cn= ¹ T

Z ^T

2

−^T₂ f(t)e^−int2πT dt.

Lorsque f est quelconque, on ne peut pas, en g´en´eral, la repr´esenter comme une s´erie de Fou-rier. Il faut qu’elle soit p´eriodique. On cherche alors une repr´esentation de type int´egral. C’est ce que nous allons faire heuristiquement. Pour cela on remplacecnpar son expression int´egrale dans (2.1) :

∀x ∈_R, f(x) = ¹

T

∑

n∈_Z Z ^T

2

−^T₂ f(t)e^{in(x−t)2πT} dt.

Or, la vitesse de convergence vers 0 `a l’infini des coefficients de Fourier est contr ˆol´ee par la r´egularit´e de f. Ainsi, si f est suffisamment r´eguli`ere, par exemple de classeC^∞,cn= O(|n|^−p) pour tout p ≥ 0. Cela nous am`ene `a n´egliger, pourT assez grand, les termes dans la somme infinie tels que|n|> ^T₂² :

∀x∈_R, f(x)' ¹

T

∑

|n|≤^T₂² Z ^T₂

−^T₂ f(t)e^{in(x−t)2πT} dt.

Cette somme finie est une somme de Riemann et on obtient, lorsqueTtend vers+_∞,

∀x∈_R, f(x) =

Z _∞

−_∞ Z _∞

−_∞ f(t)e^{i2πξ(x−t)}dtdξ ce qui s’´ecrit encore

∀x ∈_R, f(x) =

Z _∞

−_∞

fˆ(ξ)e^i2πξxdξ, avec ∀ξ ∈ _{R, ˆ}f(ξ) =

Z _∞

−_∞ f(t)e^−i2πξtdt.

On retrouve ainsi heuristiquement l’analogue pour des fonctions non p´eriodiques de la for-mule de reconstitution du signal pour les fonctions p´eriodiques, une int´egrale remplac¸ant la somme discr`ete dans (2.1). Cette formule est appel´ee formule d’inversion de Fourier et l’un des principaux objectifs de ce cours sera de d´emontrer une telle formule pour une classe de fonctions adapt´ee, puis de l’´etendre par dualit´e `a une large classe de distributions.

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Chapitre 2. La transformation de Fourier dansS(_R^d)

2.1 L’espace de Schwartz S( _R

)

La transform´ee de Fourier est d´efinie surL¹(_R^d)par la formule

∀ξ ∈_R^d, ˆf(ξ) =F(f)(ξ) =

Z

R^d f(x)e^−ix·ξdx

o `ux·ξ d´esigne le produit scalaire usuel dansR<sup>d</sup>. Toutefois, l’espace des fonctions int´egrables n’est pas invariant par transform´ee de Fourier. De mˆeme,C<sub>0</sub><sup>∞</sup>(<sub>R</sub><sup>d</sup>)n’est pas invariant par trans-form´ee de Fourier, la transtrans-form´ee de Fourier d’une fonction non identiquement nulle `a support compact n’´etant jamais `a support compact.

Nous allons donc chercher un espace interm´ediaire entre C₀^∞(_R^d) (l’espace des fonctions de classeC^∞ `a support compact) etL¹(_R^d)qui soit invariant parF.

Pour obtenir ensuite par dualit´e l’espace le plus grand possible, on va essayer de trouver un espace invariant qui soit le plus petit possible. On commence donc par se restreindre `aC<sup>∞</sup>(<sub>R</sub><sup>d</sup>). Dans L<sup>1</sup>(<sub>R</sub><sup>d</sup>), une condition suffisante pour que ˆf soit d´erivable est que f et x 7→ x f(x) soient toutes deux int´egrables. Plus g´en´eralement, pour avoir ˆf de classeC<sup>∞</sup>, il suffit d’avoir x 7→ x<sup>p</sup>f(x)int´egrable pour toutp ≥ 0. On veut aussi avoir le mˆeme contr ˆole pour toutes les d´eriv´ees de f. Cela conduit `a introduire l’espace de Schwartz.

D´efinition 2.1.1. L’espaceS(_R^d), appel´e espace de Schwartz, est constitu´e des fonctions f ∈C^∞(_R^d) telles que

∀α,β∈_N^d, ∃C_α,β >0, ∀x∈_R^d, |x^α∂^βf(x)| ≤C_α,β. (2.2) Remarque 2.1.2. Dans la d´efinition 2.1.1, nous aurions pu remplacer (2.2) par la condition

∀α,β∈_N^d, lim

|x|→+_∞|x^α∂^βf(x)|=_0.

L’espaceS(_R^d)est naturellement muni d’une structure deC-espace vectoriel (on consid`ere ici des fonctions `a valeurs complexes).

Exemple 2.1.3. 1. Pour tout compact K ⊂_R^d, C_K^∞(_R^d)⊂ S(_R^d). 2. Pour z∈_CavecRez >0, la fonction x7→e^−z|x|2 est dansS(_R^d).

3. Toutes les fonctions de la forme x 7→ P(x)e^−z|x|2 avec z ∈ _C, Re z > 0 et P une fonction polynˆomiale, sont dansS(_R^d).

Avant de d´efinir la transform´ee de Fourier surS(_R^d)nous donnons encore quelques propri´et´es de cet espace. Commenc¸ons par le munir d’une topologie. Pour cela on d´efini les semi-normes

∀α,β∈_N^d, ∀f ∈ S(_R^d), p_α,β(f) = sup

x∈_R^d

|x^α∂^βf(x)|. (2.3) Muni de cette famille de semi-normes,S(_R^d)est un espace de Fr´echet.

On a alors les propri´et´es suivantes.

Proposition 2.1.4. 1. Pour toutα∈_N^d, les applications f 7→ x^αf et f 7→∂^αf sont continues de S(_R^d)dansS(_R^d).

2. Le produit de deux ´el´ements deS(_R^d)est un ´el´ement deS(_R^d). 3. Pour tout1≤ p≤ +_∞,S(_R^d)⊂L^p(_R^d).