Equations différentielles ordinaires Equations aux dérivées partielles

Equations différentielles ordinaires Equations aux dérivées partielles

Partie 1 : Equations différentielles ordinaires

Franck Boyer

franck.boyer@math.univ-toulouse.fr

Bureau 204 - Bât. 1R3

Master 1 Mathématiques - Enseignement Supérieur et Recherche 2019/2020

Institut de Mathématiques de Toulouse

Menu de l’UE

Plan général

• Partie 1 : Equations différentielles ordinaires

• Partie 2 : Equations de transport

• Partie 3 : Problèmes aux limites elliptiques Evaluation

• Un devoir à la maison

• Un partiel

• Un examen terminal

• Note de CC “ 1{3DM ` 2{3P

• Note finale “ 0.4CC ` 0.6CT Remarque

• Contenu de base

• Contenu plus avancé

2

Plan de la partie 1

1. Introduction

2. Quelques préliminaires 2.1 Fonctions lipschitziennes 2.2 Champs de vecteurs 2.3 Lemme de Gronwall

3. Théorème de Cauchy-Lipschitz global et applications 3.1 Définitions

3.2 Enoncé et preuve du théorème 3.3 Equations différentielles linéaires 3.4 Flot d’un champ de vecteurs

3

Plan de la partie 1

4. Théorème de Cauchy-Lipschitz local 4.1 Enoncé(s)

4.2 Preuves

4.3 Critères de globalité

5. Equilibres. Stabilité 5.1 Définitions 5.2 Cas linéaire 5.3 Cas non linéaire

6. Etude détailée d’un modèle de propagation d’épidémie

3

Plan de la partie 1

Références

• Florent Berthelin, Equations différentielles, Cassini, 2017

• Sylvie Benzoni-Gavage, Calcul différentiel et équations différentielles, Dunod, 2010

• Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, Presses Universitaires de Grenoble, 1991.

• + Les notes de cours disponibles en ligne (Attention, il y a du contenu avancé !)

Conseils de travail

• Travailler le cours d’une séance sur l’autre.

• Ne pas hésiter à poser des questions, à demander des précisions.

•

En séance (cours et/ou TD)

•

En dehors des séances

3

Partie 1 : Equations différentielles ordinaires

1. Introduction

Introduction

EDO = Equations Différentielles Ordinaires

Equations qui relient une fonction inconnue et sa dérivée

x

ptq “ fpt, xptqq, t P I. (E) f est donnée, on cherche x.

Vocabulaire

• t : variable de temps (convention !)

• xptq : état du système à l’instant t

• t ÞÑ xptq : une trajectoire, une courbe intégrale, ...

• f : I ˆ Ω Ă R

Ñ R

: champ de vecteurs.

C’est la fonction qui définit l’équation.

• Si d “ 1 : on parle d’une équation scalaire.

• Si le champ de vecteurs f ne dépend pas du temps : équation autonome

4

Introduction

EDO = Equations Différentielles Ordinaires

Equations qui relient une fonction inconnue et sa dérivée

x

ptq “ fpt, xptqq, t P I. (E) f est donnée, on cherche x.

Questions

• Existence et unicité de solutions de (E) associées à une donnée initiale xpt

q “ x

?

• Calcul explicite des solutions ?

• Comportement qualitatif ?

• Solutions périodiques ?

• Si deux données initiales sont proches, est-ce que les solutions sont proches ?

4

Introduction

EDO = Equations Différentielles Ordinaires

Equations qui relient une fonction inconnue et sa dérivée

x

ptq “ fpt, xptqq, t P I. (E) f est donnée, on cherche x.

Attention !

• L’équation (E) est souvent écrite sous la forme x

“ f pt, xq.

Dans cette écriture la lettre x désigne une fonction inconnue.

• En revanche, quand on définit le champ de vecteurs f la lettre x est juste un élément de l’espace d’états R

.

Exemple : fpt, xq “ sinptq ` x ˚ cospt ` xq, ici x est un nombre !.

4

Introduction

EDO = Equations Différentielles Ordinaires

Equations qui relient une fonction inconnue et sa dérivée

x

ptq “ fpt, xptqq, t P I. (E) f est donnée, on cherche x.

• Equations non définies :

xptq

` x

ptq

“ 1.

Recette : On se ramène à une équation définie (TFI ...)

• Equations du second ordre (ou d’ordre n ě 2) : x

ptq “ gpt, xptq, x

ptqq,

Recette : On se ramène à une équation d’ordre 1 dans R

˜ x x

¸

ptq “

˜ x

ptq gpt, xptq, x

ptqq

¸ ðñ

˜ y

y

¸

ptq “

˜ y

ptq gpt, y

ptq, y

ptqq

¸

4

Représentations graphiques

• Equations scalaires :

x

“ xp1 ´ xq

5

Représentations graphiques

• Equations non scalaires :

˜ x

x

¸

“

˜ x

p0.4 ´ x

q

´x

p1 ´ 3x

q

¸

5

Représentations graphiques

• Equations non scalaires :

˜ x

x

¸

“

˜ x

p0.4 ´ x

q

´x

p1 ´ 3x

q

¸

5

Représentations graphiques

• Equations non scalaires :

˜ x

x

¸

“

˜ x

p0.4 ´ x

q

´x

p1 ´ 3x

q

¸

5

Représentations graphiques

• Equations non scalaires :

˜ x

x

¸

“

˜ x

p0.4 ´ x

q

´x

p1 ´ 3x

q

¸

5

Représentations graphiques

• Equations non scalaires :

˜ x

x

¸

“

˜ x

p0.4 ´ x

q

´x

p1 ´ 3x

q

¸

5

Représentations graphiques

• Champ de vecteurs (autonomes) f :

˜ x

x

¸

P R

ÞÑ

˜ x

p0.4 ´ x

q

´x

p1 ´ 3x

q

¸ P R

A retenir : Une solution t ÞÑ xptq de pEq est une courbe dont la

tangente en tout point est parallèle aux flèches !

Représentations graphiques

• Champ de vecteurs (autonomes) f :

˜ x

x

¸

P R

ÞÑ

˜ x

p0.4 ´ x

q

´x

p1 ´ 3x

q

¸ P R

A retenir : Une solution t ÞÑ xptq de pEq est une courbe dont la

tangente en tout point est parallèle aux flèches !

Représentations graphiques

• Exemple de trajectoire en dimension 3 (Attracteur de Lorenz)

¨

˚

˝ x

x

x

˛

‹

‚

1

“

¨

˚

˝

10px

´ x

q x

p28 ´ x

q ´ x

x

x

´ 8{3x

˛

‹

‚

5

Quelques exemples

Mécanique

Pendule : θ

` g

l sin θ “ 0,

Pendule linéarisé : θ

` g l θ “ 0. Ressort “linéaire” : l

` k

pl ´ l

q “ 0. Pendule-Ressort :

$

’ &

’ %

θ

` 2 l

l θ

` g

l sinpθq “ 0 l

“ lpθ

q

` g cospθq ´ k

M pl ´ l

q

Dynamique collective :

$

’ &

’ % x

“ v

v

“ α ÿ

j‰i

v

´ v

}x

´ x

}

Astronomie ...

Ballistique ... Chimie ...

6

Quelques exemples

Mécanique

Pendule : θ

` g

l sin θ “ 0, Pendule linéarisé : θ

` g

l θ “ 0.

Ressort “linéaire” : l

` k

pl ´ l

q “ 0.

Pendule-Ressort :

$

’ &

’ %

θ

` 2 l

l θ

` g

l sinpθq “ 0 l

“ lpθ

q

` g cospθq ´ k

M pl ´ l

q

Dynamique collective :

$

’ &

’ % x

“ v

v

“ α ÿ

j‰i

v

´ v

}x

´ x

}

Astronomie ...

Ballistique ... Chimie ...

6

Quelques exemples

Mécanique

Pendule : θ

` g

l sin θ “ 0, Pendule linéarisé : θ

` g

l θ “ 0.

Ressort “linéaire” : l

` k

pl ´ l

q “ 0.

Pendule-Ressort :

$

’ &

’ %

θ

` 2 l

l θ

` g

l sinpθq “ 0 l

“ lpθ

q

` g cospθq ´ k

M pl ´ l

q

Dynamique collective :

$

’ &

’ % x

“ v

v

“ α ÿ

j‰i

v

´ v

}x

´ x

}

Astronomie ...

Ballistique ...

Chimie ...

6

Quelques exemples

Dynamique des populations

Modèle de Malthus : N

“ pb ´ dqN, Modèle logistique : N

“ pb ´ dqN

ˆ 1 ´ N

N

˙ ,

Modèle proie-prédateurs (L-V) :

˜ x y

¸

“

˜ ax ´ bxy

´cy ` dxy

¸ ,

Espèces en compétition :

˜ x y

¸

“

˜ ax ´ bxy cy ´ dxy

¸ ,

Modélisation du cancer ...

7

Quelques exemples

Liens avec des Equations aux dérivées partielles

Equations de transport : Bu

Bt ` cpt, xq Bu Bx “ 0 Lien avec les solutions de l’EDO

x

“ cpt, xq.

Equation de la chaleur : Bu

Bt ´ B

u Bx

“ 0

Modèle de réaction-diffusion (= chaleur + logistique) : Bu

Bt ´ B

u

Bx

“ up1 ´ uq

8

Quelques exemples

Liens avec des Equations aux dérivées partielles

Equations de transport : Bu

Bt ` cpt, xq Bu Bx “ 0 Equation de la chaleur :

Bu Bt ´ B

u

Bx

“ 0

Solutions à variables séparées upt, xq “ f ptqgpxq

# f

ptq ` λf ptq “ 0 g

pxq ` λgpxq “ 0

Modèle de réaction-diffusion (= chaleur + logistique) : Bu

Bt ´ B

u

Bx

“ up1 ´ uq

8

Quelques exemples

Liens avec des Equations aux dérivées partielles

Equations de transport : Bu

Bt ` cpt, xq Bu Bx “ 0 Equation de la chaleur :

Bu Bt ´ B

u

Bx

“ 0

Modèle de réaction-diffusion (= chaleur + logistique) : Bu

Bt ´ B

u

Bx

“ up1 ´ uq Solutions en onde progressive upt, xq “ Upx ´ ctq

cU

` U

“ Up1 ´ Uq.

8

Partie 1 : Equations différentielles ordinaires

2. Quelques préliminaires

Partie 1 : Equations différentielles ordinaires

2. Quelques préliminaires

2.1. Fonctions lipschitziennes

Fonctions globalement lipschitziennes

Définition

Soit A Ă R

et f : A ÞÑ R

. On dit que f est (globalement) lipschitzienne s’il existe un nombre L ą 0 tel que

@x, y P A, }f pxq ´ f pyq} ď L}x ´ y}.

Meilleure constante = Constante de Lipschitz de f = Lip pfq Propriétés de base

• Lipschitzien ñ continu

• C

à dérivée bornée dans un ouvert convexe ñ Lipschitzien (Acc. finis)

• Pour culture : Théorème de Rademacher :

Si f est Lipschitzienne, alors elle est différentiable presque partout et sa différentielle est bornée par Lippfq.

Exemples (non nécessairement différentiables)

• x P R ÞÑ |x| ou x P R

ÞÑ }x} P R .

• L’application distance à un ensemble B : x ÞÑ dpx, Bq “ inf

yPB

}x ´ y}.

• La projection (orthogonale) sur un convexe fermé K Ă R

, x P R

ÞÑ P

x P R

.

9

Fonctions globalement lipschitziennes

Définition

Soit A Ă R

et f : A ÞÑ R

. On dit que f est (globalement) lipschitzienne s’il existe un nombre L ą 0 tel que

@x, y P A, }f pxq ´ f pyq} ď L}x ´ y}.

Meilleure constante = Constante de Lipschitz de f = Lip pfq Exemples (non nécessairement différentiables)

• x P R ÞÑ |x| ou x P R

ÞÑ }x} P R .

• L’application distance à un ensemble B : x ÞÑ dpx, Bq “ inf

yPB

}x ´ y}.

• La projection (orthogonale) sur un convexe fermé K Ă R

, x P R

ÞÑ P

x P R

.

9

Prolongement lipschitzien

Théorème

Soit A Ă R

et f : A Ñ R

une fonction globalement lipschitzienne sur A, alors il existe une fonction F : R

Ñ R

qui vérifie :

• F

“ f.

• F est globalement lipschitzienne sur R

.

Si de plus f est bornée sur A, on peut choisir F bornée sur R

. Preuve :

• Cas scalaire : Si d “ 1, on pose Fpxq :“ inf

yPA

ˆ

fpyq ` L}x ´ y}

˙ , où L “ Lippfq.

• Cas général : On fait la construction précédente pour chaque

composante.

Fonctions localement lipschitziennes

Définition

Soit A Ă R

et f : A Ñ R

une fonction. On dit que f est localement lipschitzienne sur A si :

Pour tout point x

P A, il existe un ouvert U de A contenant x

tel que f est lipschitzienne sur U.

Remarques

• La constante de Lipschitz de f sur U dépend de U (et de x

!).

• Une version avec des et des δ

@x

P A, Dδ

ą 0, L

ą 0

@x, y P A, tels que }x ´ x

} ă δ

, }y ´ x

} ă δ

, }f pxq ´ f pyq} ď L

}x ´ y}.

• Localement Lipschitz ñ continu

• C

ñ localement Lipchitz

Fonctions localement lipschitziennes

Définition

Soit A Ă R

et f : A Ñ R

une fonction. On dit que f est localement lipschitzienne sur A si :

Pour tout point x

P A, il existe un ouvert U de A contenant x

tel que f est lipschitzienne sur U.

Remarques

• La constante de Lipschitz de f sur U dépend de U (et de x

!).

• Une version avec des et des δ

@x

P A, Dδ ą 0, L ą 0

@x, y P A, tels que }x ´ x

} ă δ, }y ´ x

} ă δ,

}fpxq ´ fpyq} ď L}x ´ y}.

• Localement Lipschitz ñ continu

• C

ñ localement Lipchitz

Fonctions localement lipschitziennes

Caractérisation utile

Proposition

Soit A Ă R

un ouvert et f : A Ñ R

une fonction. On a l’équivalence f est localement lipschitzienne sur A

ðñ

Pour tout compact K Ă A, f est lipschitzienne sur K.

Preuve :

ð Pour tout x

P A, il existe δ ą 0 tel que K “ Bpx

, δq est compact et inclus dans A.

ñ On raisonne par l’absurde.

Proposition (loc. Lipschitz vs. glob. Lipschitz)

Soit A Ă R

un ouvert et f : A Ñ R

une fonction localement lipschitzienne.

Pour tout compact K Ă A, il existe une fonction globalement lipschitzienne f

sur R

telle que

f

“ f, sur K.

12

Fonctions localement lipschitziennes

Caractérisation utile

Proposition

Soit A Ă R

un ouvert et f : A Ñ R

une fonction. On a l’équivalence f est localement lipschitzienne sur A

ðñ

Pour tout compact K Ă A, f est lipschitzienne sur K.

Proposition (loc. Lipschitz vs. glob. Lipschitz)

Soit A Ă R

un ouvert et f : A Ñ R

une fonction localement lipschitzienne.

Pour tout compact K Ă A, il existe une fonction globalement lipschitzienne f

sur R

telle que

f

“ f, sur K.

12

Partie 1 : Equations différentielles ordinaires

2. Quelques préliminaires

2.2. Champs de vecteurs

Champs de vecteurs

Définition. Exemples

Définition

Soit I un intervalle de R et Ω un ouvert de R

. On appelle champ de vecteurs, une application

f : pt, xq P I ˆ Ω Ñ f pt, xq P R

.

• t est la variable de temps.

• x est la variable d’état.

Si f ne dépend pas du temps, on dit qu’il est autonome.

Dans tout ce cours, on ne considère que des champs de vecteurs au moins continus.

13

Champs de vecteurs

Définition

On dit qu’un champ de vecteurs continu f : I ˆ Ω Ñ R

est globalement lipschitzien par rapport à la variable d’état s’il existe une fonction continue L : t P I Ñ Lptq P R

telle que

Pour tout t P I, la fonction f pt, ¨q est Lptq-lipschtizienne sur Ω.

Autrement dit,

@t P I, @x

, x

P Ω, }f pt, x

q ´ fpt, x

q} ď Lptq}x

´ x

}.

Remarque : Pas de régularité par rapport à la variable de temps.

Vocabulaire standard mais dangereux

On dit parfois que f est globalement lipschitzien par rapport à la seconde variable.

Exemple fondamental : champs de vecteurs linéaires fpt, xq “ Aptqx ` bptq,

avec t ÞÑ Aptq P M

p R q et t ÞÑ bptq P R

continues.

14

Champs de vecteurs

Définition

On dit qu’un champ de vecteurs continu f : I ˆ Ω Ñ R

est globalement lipschitzien par rapport à la variable d’état s’il existe une fonction continue L : t P I Ñ Lptq P R

telle que

Pour tout t P I, la fonction f pt, ¨q est Lptq-lipschtizienne sur Ω.

Autrement dit,

@t P I, @x

, x

P Ω, }f pt, x

q ´ fpt, x

q} ď Lptq}x

´ x

}.

Remarque : Pas de régularité par rapport à la variable de temps.

Exemple fondamental : champs de vecteurs linéaires fpt, xq “ Aptqx ` bptq,

avec t ÞÑ Aptq P M

pRq et t ÞÑ bptq P R

continues.

Champs de vecteurs

Définition

On dit qu’un champ de vecteurs continu f : I ˆ Ω Ñ R

est localement lipschitzien par rapport à la variable d’état si : pour tout pt

, x

q P I ˆ Ω, il existe L ą 0, δ ą 0, un voisinage ouvert U de x

tels que

pour tout t P I X rt

´ δ, t

` δs,

la fonction f pt, ¨q est L-lipschtizienne sur U.

Ceci s’exprime aussi sous la forme

@t P I X rt

´ δ, t

` δs, @x

, x

P U, }f pt, x

q ´ fpt, x

q} ď L}x

´ x

}.

15

Champs de vecteurs

Proposition

Un champ de vecteurs continu f est localement lipschitzien par rapport à la variable d’état si et seulement si :

pour tout compact K Ă I ˆ Ω, il existe L ą 0 telle que

@t P I, x

, x

P Ω, tels que pt, x

q P K et pt, x

q P K

on a }f pt, x

q ´ fpt, x

q} ď L}x

´ x

}.

Différence entre les deux visions :

• Un voisinage peut être extrêmement petit.

• Un compact peut être très gros (dans une certaine mesure bien entendu).

15

Champs de vecteurs

Corollaire

Soit f : I ˆ Ω Ñ R

un champ de vecteurs continu et localement lipschitzien par rapport à la variable d’état, K un compact de Ω et ra, bs un sous-intervalle compact de I.

Il existe un champ de vecteurs r f : R ˆ R

Ñ R

continu et

globalement lipschitzien par rapport à la variable d’état tel que r f “ f , sur ra, bs ˆ K.

15

FIN DE LA SéANCE 1

Partie 1 : Equations différentielles ordinaires

2. Quelques préliminaires

2.3. Lemme de Gronwall

Equations différentielles linéaires scalaires

Proposition

Soit I Ă R un intervalle non vide et t P I ÞÑ aptq P R une fonction continue.

Si x : I Ñ R est une fonction de classe C

vérifiant l’équation x

ptq “ aptqxptq, @t P I,

alors on a

xptq “ xpsq exp

˜ ż

apτq dτ

¸

, @t, s P I.

Remarque : La connaissance de xpsq pour un s donné suffit à déterminer x sur tout l’intervalle I.

17

Inéquations différentielles linéaires scalaires

Proposition

Soit I Ă R un intervalle non vide et t P I ÞÑ aptq P R une fonction continue. Soit x : I Ñ R est une application de classe C

. Si x vérifie l’inégalité différentielle suivante

x

ptq ď aptqxptq, @t P I, alors on a

xptq ď xpsq exp

˜ ż

apτq dτ

¸

, @t, s P I, t.q. t ě s,

xptq ě xpsq exp

˜ ż

s

apτq dτ

¸

, @t, s P I, t.q. t ď s.

Remarque : La connaissance de xpsq pour un s donné donne une

majoration de xptq pour t ě s et une minoration pour t ď s.

Lemme de Gronwall

Théorème

Soit I un intervalle non vide, t P I ÞÑ aptq P R une fonction positive et C P R une constante.

Si x : I Ñ R est une fonction continue qui vérifie, pour un certain s P I, la propriété suivante :

xptq ď C ` ż

s

apτ qxpτqdτ, @t P I, t.q. t ě s, alors nous avons l’inégalité

xptq ď C exp

˜ ż

apτ qdτ

¸

, @t P I, t.q. t ě s.

Premier résultat fondamental de ce chapitre

19

Lemme de Gronwall généralisé

Théorème

Soit I un intervalle non vide de R , a : I Ñ R une fonction positive et b : I Ñ R une fonction croissante.

Si x : I Ñ R est une fonction continue qui vérifie, pour un certain s P I, la propriété suivante :

xptq ď bptq ` ż

s

apτqxpτqdτ, @t P I, t.q. t ě s, alors nous avons l’inégalité

xptq ď bptq exp

˜ ż

apτqdτ

¸

, @t P I, t.q. t ě s.

20

Partie 1 : Equations différentielles ordinaires

3. Théorème de Cauchy-Lipschitz global et

applications

Partie 1 : Equations différentielles ordinaires

3. Théorème de Cauchy-Lipschitz global et applications

3.1. Définitions

Problème de Cauchy pour une EDO

Soit f : I ˆ Ω Ñ R

un champ de vecteurs, t

P I et x

P Ω.

Problème de Cauchy

# x

ptq “ fpt, xptqq xpt

q “ x

(C) Le couple pt

, x

q est appelée donnée de Cauchy.

Remarque

Si f est autonome, l’instant initial t

n’a pas d’importance :

pJ, xq est solution de

# x

ptq “ fpxptqq xpt

q “ x

ðñ

pJ ´ t

, t ÞÑ xpt ` t

qq est solution de

# y

ptq “ fpyptqq yp0q “ x

21

Problème de Cauchy pour une EDO

Soit f : I ˆ Ω Ñ R

un champ de vecteurs, t

P I et x

P Ω.

Problème de Cauchy

# x

ptq “ fpt, xptqq xpt

q “ x

(C) Le couple pt

, x

q est appelée donnée de Cauchy.

Définition

Une solution du problème de Cauchy (C) est un couple pJ, xq où

• J Ă I est un intervalle contenant t

• x : J Ñ Ω est une application de classe C

vérifiant xpt

q “ x

et x

ptq “ fpt, xptqq, @t P J.

Définition

• pJ, xq est une solution maximale : s’il n’existe pas de solution p ˜ J, ˜ xq qui prolonge strictement pJ, xq.

• pJ, xq est une solution globale : si J “ I.

Remarque

Si f est autonome, l’instant initial t

n’a pas d’importance :

pJ, xq est solution de

# x

ptq “ fpxptqq xpt

q “ x

ðñ pJ ´ t

, t ÞÑ xpt ` t

qq est solution de

# y

ptq “ fpyptqq yp0q “ x

21

Problème de Cauchy pour une EDO

Soit f : I ˆ Ω Ñ R

un champ de vecteurs, t

P I et x

P Ω.

Problème de Cauchy

# x

ptq “ fpt, xptqq xpt

q “ x

(C) Le couple pt

, x

q est appelée donnée de Cauchy.

Remarque

Si f est autonome, l’instant initial t

n’a pas d’importance :

pJ, xq est solution de

# x

ptq “ fpxptqq xpt

q “ x

ðñ

pJ ´ t

, t ÞÑ xpt ` t

qq est solution de

# y

ptq “ fpyptqq yp0q “ x

21

Notion de solution maximale

− 1 − 0.5 0.5 1 1.5 2

− 0.5 0.5

J

J

x

x

La solution pJ

, x

q n’est pas maximale car pJ

, x

q en est un prolongement strict.

22

Notion de solution maximale

Un exemple scalaire

# x

“ x

, xp0q “ x

Solutions maximales non globales

• Si x

“ 0 :

p R , t ÞÑ 0q.

• Si x

ą 0 :

˜ 

´8, 1 x

„

, t ÞÑ 1

x1₀

´ t

¸ .

• Si x

ă 0 :

˜  1 x

, `8

„

, t ÞÑ 1

x10

´ t

¸ .

A retenir

L’intervalle de définition d’une solution maximale dépend de la donnée de Cauchy.

22

Formulation intégrale d’un problème de Cauchy

Soit f : I ˆ Ω Ñ R

un champ de vecteurs (au moins) continu.

Proposition (Formulation intégrale d’un problème de Cauchy) Soit J Ă I un intervalle, t

P J et x

P Ω. On se donne une fonction x : J Ñ Ω.

Les propositions suivantes sont équivalentes : 1. x est de classe C

et vérifie

# x

ptq “ f pt, xq, @t P J, xpt

q “ x

.

2. x est continue et vérifie xptq “ x

`

ż

t₀

f ps, xpsqq ds, @t P J.

23

Partie 1 : Equations différentielles ordinaires

3. Théorème de Cauchy-Lipschitz global et applications

3.2. Enoncé et preuve du théorème

Enoncé du théorème principal

Théorème (Cauchy-Lipschitz global)

On suppose que le champ de vecteurs f : I ˆ R

Ñ R

est continu et globalement lipschitzien par rapport à la variable d’état.

Alors, pour toute donnée de Cauchy pt

, x

q, il existe une unique solution globale pI, xq du problème de Cauchy

# x

ptq “ f pt, xq, xpt

q “ x

.

De plus, toute autre solution pJ, ˜ xq de ce problème de Cauchy est la restriction à J de x.

Plan de la preuve : 1. Unicité 2. Borne a priori

3. Choix d’un espace fonctionnel

4. Mise sous la forme d’un problème de point fixe ñ Existence

Preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz global

Etape 1/4 : Unicité

• Soient pJ

, x

q et pJ

, x

q deux solutions du même pb de Cauchy.

On pose J “ J

X J

.

• La différence z “ x

´ x

vérifie zptq “

ż

` fps, x

psqq ´ fps, x

psqq ˘

ds, @t P J.

• Pour t P J, t ě t

}zptq} ď ż

t0

}f ps, x

psqq ´ fps, x

psqq} ds.

• On utilise l’hypothèse sur f : }zptq} ď

ż

Lpsq}x

psq ´ x

psq} ds “ 0 ` ż

t0

Lpsq}zpsq} ds.

• On utilise le lemme de Gronwall (avec C “ 0) }zptq} ď 0ˆexp

˜ ż

Lpsq ds

¸

, @t ě t

ñ z “ 0 sur J X rt

, `8r.

25

Preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz global

Etape 2/4 : Estimationa priori

On suppose qu’une solution pI, xq existe et on veut estimer sa taille.

• On part de la formulation intégrale xptq “ x

`

ż

f ps, xpsqq ds, @t ě t

.

• On introduit (un peu arbitrairement) xptq ´ x

“

ż

f ps, x

q ds ` ż

t₀

` fps, xpsqq ´ fps, x

q ˘ ds, @t ě t

.

• On utilise l’hypothèse sur f et t ě t

}xptq ´ x

} ď ż

t0

}f ps, x

q} ds ` ż

t0

Lpsq}xpsq ´ x

} ds, @t ě t

.

• Le lemme de Gronwall généralisé nous donne }xptq ´ x

} ď

˜ ż

}f ps, x

q} ds

¸ exp

˜ ż

Lpsq ds

¸

, @t ě t

.

26

Preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz global

Etape 2/4 : Estimationa priori

Proposition

S’il existe une solution globale pI, xq au problème de Cauchy

# x

ptq “ f pt, xq, xpt

q “ x

, alors celle-ci vérifie

}xptq} ď ϕptqe

, @t P I.

avec

ϕptq :“ 1 ` }x

} ` ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

ż

}fps, x

q} ds ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

, @t P I,

ψptq :“

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

ż

Lpsq ds ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

, @t P I.

26

Preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz global

Etape 3/4 : Choix d’un espace fonctionnel

Conséquence de l’estimation a priori Toute solution doit vérifier sup

tPI

´ ϕ

ptqe

}xptq} ¯ ď 1.

Idée naturelle : Introduire l’espace fonctionnel

"

z P C

pI, R

q, sup

tPI

´

ϕ

ptqe

}zptq} ¯ ă `8

* .

Il faut prendre un peu de marge de manoeuvre : E :“

"

z P C

pI, R

q, }z}

:“ sup

tPI

´

ϕ

ptqe

}zptq} ¯ ă `8

* .

Proposition

L’espace pE, }.}

q est un espace de Banach.

Preuve (Exo) : Idem que pour la complétude de p C

p R , R q, }.}

q.

27

Preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz global

Etape 4/4 : Problème de point fixe

Pour tout z P E, on pose ` θpzq ˘

ptq :“ x

` ż

t0

fps, zpsqq ds, @t P I.

• Fait numéro 1 : θpx

q “ θpt ÞÑ x

q P E

` θpx

q ˘

ptq “ x

` ż

t₀

f ps, x

q ds.

• Fait numéro 2 : soient z, ˜ z P E } `

θpzq ˘ ptq ´ `

θp ˜ zq ˘

ptq} ď 1

2 }z ´ ˜ z}

ϕptqe

, @t P I.

• Conclusions :

•

On a

• θ

est

-lipschitzienne dans

• On applique le théorème du point-fixe de Banach ùñ D!x P E, tel que θpxq “ x.

Cette fonction x est la solution recherchée du pb de Cauchy.

Partie 1 : Equations différentielles ordinaires

3. Théorème de Cauchy-Lipschitz global et applications

3.3. Equations différentielles linéaires

Equations différentielles linéaires

Définition

Une EDO linéaire est une équation de la forme x

“ Aptqx ` bptq,

où t P I ÞÑ Aptq P M

p R q et t P I ÞÑ bptq P R

sont des applications continues. Si b ” 0 on dit que l’équation est homogène.

D’autres versions ...

• Tout s’adapte sans difficulté dans C .

• Si E est un R -espace vectoriel (ou C -e.v. ...) de dimension finie on peut tout adapter à l’équation

x

ptq “ uptq.xptq ` bptq,

où b : I Ñ E et u : I Ñ LpEq sont des applications continues.

• Et même si E est un espace de Banach de dimension infinie ...

Théorème (Cauchy-Lipschitz linéaire)

Pour tout donnée initiale pt

, x

q P I ˆ R

, il existe une unique solution globale pI, xq au problème de Cauchy

# x

ptq “ Aptqxptq ` bptq, xpt

q “ x

,

Preuve : Le champ de vecteurs f pt, xq “ Aptqx ` bptq est continu et globalement lipschitzien par rapport à la variable d’état.

29

Equations différentielles linéaires

Définition

Une EDO linéaire est une équation de la forme x

“ Aptqx ` bptq,

où t P I ÞÑ Aptq P M

p R q et t P I ÞÑ bptq P R

sont des applications continues. Si b ” 0 on dit que l’équation est homogène.

Théorème (Cauchy-Lipschitz linéaire)

Pour tout donnée initiale pt

, x

q P I ˆ R

, il existe une unique solution globale pI, xq au problème de Cauchy

# x

ptq “ Aptqxptq ` bptq, xpt

q “ x

,

Preuve : Le champ de vecteurs f pt, xq “ Aptqx ` bptq est continu et

globalement lipschitzien par rapport à la variable d’état.

Equations différentielles linéaires

Structure de l’ensemble des solutions

Lemme (Equation homogène)

Soient x

, ..., x

: I Ñ R

des solutions de l’équation différentielle homogène x

“ Aptqx.

Les propositions suivantes sont équivalentes : 1. Pour tout t P I, px

ptq, ..., x

ptqq est libre dans R

.

2. Il existe un t

P I tel que px

pt

q, ..., x

pt

qq est libre dans R

. 3. px

, ..., x

q est libre dans C

pI, R

q.

Preuve : 1. ñ 2. Immédiat.

2. ñ 3. Immédiat.

3. ñ 1. On raisonne par contraposée et unicité dans Cauchy-Lipschitz.

Corollaire

L’ensemble S

de toutes les solutions de l’équation homogène x

“ Aptqx est un espace vectoriel de dimension d.

Pour tout b, l’ensemble S

de toutes les solutions de l’équation x

“ Aptqx ` bptq est un espace affine de dimension d dirigé par S

.

30

Equations différentielles linéaires

Structure de l’ensemble des solutions

Lemme (Equation homogène)

Soient x

, ..., x

: I Ñ R

des solutions de l’équation différentielle homogène x

“ Aptqx.

Les propositions suivantes sont équivalentes : 1. Pour tout t P I, px

ptq, ..., x

ptqq est libre dans R

.

2. Il existe un t

P I tel que px

pt

q, ..., x

pt

qq est libre dans R

. 3. px

, ..., x

q est libre dans C

pI, R

q.

Corollaire

L’ensemble S

de toutes les solutions de l’équation homogène x

“ Aptqx est un espace vectoriel de dimension d.

Pour tout b, l’ensemble S

de toutes les solutions de l’équation x

“ Aptqx ` bptq est un espace affine de dimension d dirigé par S

.

30

FIN DE LA SéANCE 2

Equations différentielles linéaires

Formules explicites 1/2

• Equation linéaire homogène à coefficients constants

# x

“ Ax, xp0q “ x

La solution est donnée par

xptq “ e

x

, @t P R . Preuve : Calcul explicite des itérées de Picard ...

Rappel : exponentielle de matrice Si M P M

p R q,

e

“ ÿ

kě0

M

k! .

• Equation non-homogène associée

# x

“ Ax ` bptq, xp0q “ x

Proposition (Formule de Duhamel / Variation de la constante) L’unique solution du problème de Cauchy ci-dessus est donnée par

xptq “ e

x

` ż

0

e

bpsq ds, @t P R .

32

Equations différentielles linéaires

Formules explicites 1/2

• Equation linéaire homogène à coefficients constants

# x

“ Ax, xp0q “ x

La solution est donnée par

xptq “ e

x

, @t P R .

• Equation non-homogène associée

# x

“ Ax ` bptq, xp0q “ x

Proposition (Formule de Duhamel / Variation de la constante) L’unique solution du problème de Cauchy ci-dessus est donnée par

xptq “ e

x

` ż

0

e

bpsq ds, @t P R.

32

Equations différentielles linéaires

Formules explicites 2/2

• Equation linéaire scalaire

# x

“ aptqx, xp0q “ x

La solution est donnée par

xptq “ e ż

0

apτq dτ

x

, @t P R.

• Equation non-homogène associée

# x

“ aptqx ` bptq, xp0q “ x

Proposition (Formule de Duhamel / Variation de la constante)

xptq “ e ż

0

apτq dτ x

`

ż

e ż

s

apτ q dτ

bpsq ds, @t P R.

ATTENTION

En général, en dimension d ą 1, t ÞÑ exp

˜ ż

Apτqdτ

¸ .x

, n’est pas solution de x

“ Aptqx.

33

Equations différentielles linéaires

Formules explicites 2/2

• Equation linéaire scalaire

# x

“ aptqx, xp0q “ x

La solution est donnée par

xptq “ e ż

0

apτq dτ

x

, @t P R.

ATTENTION

En général, en dimension d ą 1, t ÞÑ exp

˜ ż

Apτqdτ

¸ .x

, n’est pas solution de x

“ Aptqx.

33

Equations différentielles linéaires

x¹“Ax: Portraits de phase2ˆ2

Noeud stable

• A est diagonalisable

• 0 ą λ

ą λ

.

e1

e2

34

Equations différentielles linéaires

x¹“Ax: Portraits de phase2ˆ2

Point-selle

• A est diagonalisable

• λ

ą 0 ą λ

.

e1

e2

34

Equations différentielles linéaires

x¹“Ax: Portraits de phase2ˆ2

Noeud dégénéré stable

• A non diagonalisable

• 0 ą λ

“ λ

.

• Ae

“ λ

e

.

• Ae

“ λ

e

` e

.

e1

e2

34

Equations différentielles linéaires

x¹“Ax: Portraits de phase2ˆ2

Foyer stable

• A a des v.p. complexes

• λ

“ α ˘ iβ.

• α “ R epλ

q ă 0.

• Ape

˘ ie

q “ λ

pe

˘ ie

q.

e1

e2

34

Equations différentielles linéaires

x¹“Ax: Portraits de phase2ˆ2

Foyer stable

• A a des v.p. complexes

• λ

“ α ˘ iβ.

• α “ R epλ

q ă 0.

• Ape

˘ ie

q “ λ

pe

˘ ie

q.

e1

e2

34

Equations différentielles linéaires

x¹“Ax: Portraits de phase2ˆ2

Foyer instable

• A a des v.p. complexes

• λ

“ α ˘ iβ.

• α “ R epλ

q ą 0.

• Ape

˘ ie

q “ λ

pe

˘ ie

q.

e1

e2

34

Equations différentielles linéaires

x¹“Ax: Portraits de phase2ˆ2

Centre

• A a des v.p. complexes

• λ

“ 0 ˘ iβ.

• R epλ

q “ 0.

• Ape

˘ ie

q “ λ

pe

˘ ie

q.

e1

e2

34

Partie 1 : Equations différentielles ordinaires

3. Théorème de Cauchy-Lipschitz global et applications

3.4. Flot d’un champ de vecteurs

Flot d’un champ de vecteurs

Introduction

But

Etude globale des solutions d’une EDO vs.

Etude de chaque trajectoire

35

Flot d’un champ de vecteurs

Introduction

But

Etude globale des solutions d’une EDO vs.

Etude de chaque trajectoire

35

Flot d’un champ de vecteurs

Introduction

But

Etude globale des solutions d’une EDO vs.

Etude de chaque trajectoire

35

Flot d’un champ de vecteurs

Introduction

But

Etude globale des solutions d’une EDO vs.

Etude de chaque trajectoire

35

Flot d’un champ de vecteurs

Introduction

But

Etude globale des solutions d’une EDO vs.

Etude de chaque trajectoire

35

Flot d’un champ de vecteurs

Introduction

But

Etude globale des solutions d’une EDO vs.

Etude de chaque trajectoire

35

Flot d’un champ de vecteurs

Introduction

But

Etude globale des solutions d’une EDO vs.

Etude de chaque trajectoire

35

Flot d’un champ de vecteurs

Introduction

But

Etude globale des solutions d’une EDO vs.

Etude de chaque trajectoire

35 t = 0.00

t = 1.00 t = 0.00

Flot d’un champ de vecteurs

On se donne f : I ˆ R

Ñ R

continu et globalement lipschitzien par rapport à la variable d’état.

Définition

Pour tout t

P I, x

P R

, on note

t P I ÞÑ ϕpt, t

, x

q

l’unique solution (globale) du problème de Cauchy

# x

“ f pt, xq, @t P R, xpt

q “ x

.

L’application pt, t

, x

q P I ˆ I ˆ R

ÞÝÑ ϕpt, t

, x

q P R

, est appelée le flot associé au champ de vecteurs f.

Définition

L’application Φpt, t

q : x

P R

ÞÑ ϕpt, t

, x

q P R

, est appelée le flot

entre les instants t

et t.

Flot d’un champ de vecteurs

Propriétés 1/3

Théorème (Propriété de groupe du flot) Pour tous t

, t

, t

P I, on a

Φpt

, t

q “ Id,

Φpt

, t

q “ Φpt

, t

q ˝ Φpt

, t

q.

En particulier, pour tous t

, t

P I, Φpt

, t

q est bijectif et Φpt

, t

q

“ Φpt

, t

q.

Preuve : Unicité dans Cauchy-Lipschitz.

Proposition (Continuité du flot 1)

Pour tous t

, t

P I, le flot Φpt

, t

q est lipschitzien.

Preuve : Lemme de Gronwall.

Flot d’un champ de vecteurs

Propriétés 2/3

Théorème (Continuité du flot 2) Le flot

ϕ : pt, t

, x

q P I ˆ I ˆ R

Ñ R

,

est localement lispchitzien par rapport à toutes ses variables.

Preuve :

• Encore et toujours le lemme de Gronwall ... mais c’est un peu plus délicat ...

38