Equations différentielles linéaires

Equations différentielles linéaires

Plan du chapitre

1

Equations différentielles linéaires du premier ordre . . . .page 2 1.1Présentation du problème . . . page 2 1.2Résolution de l’équationy^′+ay=bpar la méthode deLagrange. . . page 2 1.3Structure de l’ensemble des solutions . . . page 3 1.4Le théorème deCauchy. . . page 5 1.5Méthode de variation de la constante . . . page 6 1.6Principe de superposition des solutions . . . page 7 1.7Prolongement de solutions. . . .page 7

2

Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants. . . .page 9 2.1Le théorème deCauchy. . . page 9 2.2Résolution de l’équationay^′′+by^′+cy=0,(a, b, c)∈C^∗×C×C. . . page 9 2.2.1 Le cas général oùa,bet csont complexes . . . page 9 2.2.2 Le cas particulier oùa,bet csont réels . . . page 11 2.3Résolution de l’équationay^′′+by^′+cy=g(x). . . page 13 2.3.1 Le cas général oùgest une fonction continue quelconque . . . page 13 2.3.2 Quelques situations particulières concernant le second membre . . . page 13 2.3.2.1 Second membre du typeAe^λx,(A, λ)∈C² . . . page 13 2.3.2.2 Second membre du typeBcos(ωx)ouBsin(ωx),(B, ω)∈R². . . page 14 2.3.2.3 Principe de superposition des solutions. . . .page 15

1 Equations différentielles linéaires du premier ordre

1.1 Présentation du problème

On se donne deux fonctionsaetbdéfinies et continues sur un intervalleIdeRà valeurs dansRouCet on s’intéresse à l’équation différentielle linéaire du premier ordre

y^′+ay=b (E).

Résoudre l’équation différentielle(E), c’est trouvertoutesles fonctionsf dérivables surIvérifiant

∀x∈I, f^′(x) +a(x)f(x) =b(x) (∗).

Une solution de(E) sur Iest une fonction dérivable surI vérifiant(∗). Les courbes représentatives des solutions de (E) surIs’appellent lescourbes intégralesde l’équation différentielle(E).

best lesecond membrede l’équation différentielle(E). L’équation différentielle homogène (ou « sans second membre ») associée à l’équation(E)est

y^′+ay=0 (E_h). On noteraS(resp.S_h) l’ensemble des solutions de(E)(resp.(E_h)) surI.

1.2 Résolution de l’équation y

^′

+ ay = b par la méthode de Lagrange

On se donnea : x7→a(x)et b : x7→b(x)deux fonctionscontinuessur unintervalleIdeRà valeurs dansRouC. Par commodité, dans ce qui suit,K=RouK=C. On veut résoudre surIl’équation différentielle

y^′+ay=b (E).

Puisque la fonctionaest continue surI, la fonctionaadmet des primitives surI. On noteAune primitive de la fonction asurI. Enfin, on fixe un réelx0 deI.

Soitf une fonction dérivable surI. Puisque la fonction exponentielle ne s’annule pas surK,

fsolution de(E)surI⇔∀x∈I, f^′(x) +a(x)f(x) =b(x)

⇔∀x∈I, e^A(x)f^′(x) +a(x)e^A(x)f(x) =b(x)e^A(x)(car∀x∈I, e^A(x)6=0)

⇔∀x∈I, e^Af′

(x) =b(x)e^A(x)

⇔∃C∈K/∀x∈I, f(x)e^A(x)=C+ Zx

x0

b(t)e^A(t)dt

⇔∃C∈K/∀x∈I, f(x) =Ce^−A(x)+e^−A(x) Zx

x0

b(t)e^A(t)dt.

Maintenant, la résolution ci-dessus a été effectuée sous l’hypothèse « soitf une fonction dérivable surI». Il reste donc à se préoccuper de la dérivabilité des solutions obtenues puis d’éliminer parmi les solutions obtenues celles qui ne sont pas dérivables surI.

Puisque la fonctiona est continue sur I, la fonction A est définie et dérivable sur I et il en est de même des fonctions x7→Ce^−A(x). D’autre part, puisque la fonctionbest continue surIet que la fonctionAest continue surI(car dérivable sur I), la fonction t 7→ b(t)e^A(t) est continue sur I. Mais alors, la fonction x 7→

Zx

x0

b(t)e^A(t) dt est dérivable sur I et il en est de même de la fonction x 7→ e^−A(x)

Zx

x0

b(t)e^A(t) dt. Finalement, pour tout C ∈ K, la fonction x 7→

Ce^−A(x)+e^−A(x) Zx

x0

b(t)e^A(t)dtest dérivable surIet par suite solution de(E)surI.

➱ Commentaire. Le moment clé de la résolution est le moment où on multiplie les deux membres de l’égalité par e^A(x). On fait ainsi apparaître la dérivée du produite^Af( e^Af′

=e^Af^′+A^′e^Af=e^Af^′+ae^Af). On passe ainsi d’une équation où l’inconnue fapparaît deux fois (f^′+af=b) à une équation où l’inconnue fapparaît une seule fois ( e^Af′

=be^A). Il n’y a plus alors qu’à parcourir le chemin en sens inverse pour remonter àf(c’est-à-dire intégrer puis multiplier les deux membres pare^−A).

On peut énoncer :

Théorème 1.Soientaetbdeux fonctions continues sur un intervalleIdeRà valeurs dansR(resp.C). Soitx0∈I.

Les solutions surIde l’équation différentielley^′+ay=bsont les fonctions de la forme x7→Ce^−A(x)+e^−A(x)

Zx

x0

b(t)e^A(t)dt, C∈R(resp.C∈C),

oùAest une primitive fixée de la fonctionasurI.

En particulier, l’équationy^′+ay=badmet au moins une solution surI.

Exemple 1.Soit(E)l’équation différentielley^′+y=1surI=R. Soitfune fonction dérivable surR.

fsolution de(E)surR⇔∀x∈R, f^′(x) +f(x) =1

⇔∀x∈R, e^xf^′(x) +e^xf(x) =e^x

⇔∀x∈R, (exp×f)^′(x) =e^x

⇔∃C∈R/∀x∈R, e^xf(x) =e^x+C

⇔∃C∈R/∀x∈R, f(x) =1+Ce^−x. L’ensemble des solutions de(E)surRest S={x7→1+Ce^−x, C∈R}.

Exemple 2.Soit(E)l’équation différentielle2xy^′−y=3x² surI=]0,+∞[.

Soitf une fonction dérivable sur]0,+∞[.

fsolution de(E)sur]0,+∞[⇔∀x∈]0,+∞[, 2xf^′(x) −f(x) =3x²

⇔∀x∈]0,+∞[, f^′(x) − 1

2xf(x) = 3 2x

⇔∀x∈]0,+∞[, e^−12ln(x)f^′(x) − 1

2xe^−12ln(x)f(x) = 3

2xe^−12ln(x)

⇔∀x∈]0,+∞[,

e^−12ln(x)f′

(x) = 3 2x× 1

√x

⇔∀x∈]0,+∞[,

1

√xf ′

(x) = 3 2x¹²

⇔∃C∈R/∀x∈]0,+∞[, 1

√xf(x) =x³² +C

⇔∃C∈R/∀x∈]0,+∞[, f(x) =x²+C√ x.

L’ensemble des solutions de(E)sur]0,+∞[est S=

x7→x²+C√

x, C∈R . Exemple 3.Soit(E)l’équation différentielle(chx)y^′+ (shx)y=thxsurI=R. Soitfune fonction dérivable surR.

fsolution de(E)surR⇔∀x∈R, (chx)f^′(x) + (shx)f(x) =thx

⇔∀x∈R, (ch×f)^′(x) =thx

⇔∃C∈R/∀x∈R, chxf(x) =ln(chx) +C

⇔∃C∈R/∀x∈R, f(x) = ln(chx) +C chx . L’ensemble des solutions de(E)surRest S=

x7→ ln(chx) +C

chx , C∈R

.

1.3 Structure de l’ensemble des solutions

Théorème 2.Soitaune fonction continue sur un intervalleIdeRà valeurs dansK=RouC.

Les solutions de(E_h):y^′+ay=0, surI, sont les fonctions de la formeCf0oùf0est une solution non nulle quelconque de(E_h)surIetC∈K.

Démonstration .

Les solutions de(E):y^′+ay=bsurIsont les fonctions de la formex7→Ce^−A(x)+e^−A(x) Zx

x0

b(t)e^A(t)dt. Quandbest la fonction nulle, on obtient en particulier le fait que les solutions de (Eh) :y^′+ay = 0surI sont les fonctions de la forme x7→ Ce^−A(x). On note que la fonctionx 7→ e^−A(x) n’est pas nulle. Donc, si on pose f1 = e^−A, f1 est une solution non nulle de(Eh) surI et Sh={Cf1, C∈K}.

Si maintenant,f0est une solution non nulle quelconque de(Eh), alors il existeC0∈K\ {0}tel quef0=C0f1. Mais alors, {Cf1, C∈K}=

C C0

C0f1, C∈K

= C

C0

f0, C∈K

⊂

C^′f0, C^′∈K et{Cf0, C∈K}={CC0f1, C∈K}⊂{C^′f1, C^′∈K}. FinalementS={Cf0, C∈K}.

❏ Théorème 3.Soientaet bdeux fonctions continues sur un intervalleIdeRà valeurs dansK=RouC.

Les solutions de (E) : y^′ +ay = b sur I sont les fonctions de la forme Cf0+f1 où f0 est une solution non nulle quelconque de (E_h)surI (où(E_h)est l’équation homogène associéey^′+ay=0),f₁est une solution particulière de (E)sur Iet C∈K.

Démonstration

. D’après le théorème 1, l’équation(E)admet au moins une solution surI. Soitf1une solution particulière de(E)surI. Par construction, la fonctionf1vérifief1^′+af1=bsurI. On note aussif0une solution non nulle de (Eh)surI.

Soit alorsfune fonction dérivable surI.

fsolution de(E)surI⇔f^′+af=b⇔f^′+af=f1^′+af1

⇔(f−f1)^′+a(f−f1) =0

⇔f−f1solution de (Eh) surI

⇔∃C∈K/ f−f1=Cf0(d’après le théorème 2)

⇔∃C∈K/ f=Cf0+f1.

❏ On a l’habitude de dire que lasolution générale de l’équation différentielle(E)est la somme d’unesolution particulièrede l’équation(E)et de lasolution générale de l’équation homogène associée(Eh):

sol gén de(E)

= sol part de(E)

+ sol gen de(E_h).

Exemple 1.Soit(E)l’équation différentiellexy^′−2y=0surI=]0,+∞[. SurI, l’équation(E)est équivalente à l’équation y^′− 2

xy= 0. Puisque la fonctiona : x7→−2

x est continue sur]0,+∞[, les solutions de l’équation(E) surIsont de la formeCf0,C∈R, oùf0est une solution non nulle de(E)surI. La fonctionf0 : x7→x²est bien sûr solution de (E)sur Iet donc les solutions de(E)surIsont les fonctions de la formex7→Cx²,C∈R. ❏ Exemple 2.Soit(E)l’équation différentiellexy^′−2y=0surI=R. SurI, l’équation (E)n’est pas du type y^′+ay=0 oùaest une fonction continue surI. Le théorème 2 ne s’applique donc plus.

La fonctionf₀ : x7→x²est encore solution de(E)surIet de manière plus générale, les fonctions de la formex7→Cx², C∈R, sontdessolutions de(E)surI. Mais rien ne permet d’affirmer que l’on a trouvétoutesles solutions de(E)surI.

De fait, la fonctionf : x 7→





x²six>0

−x²

4 six < 0 n’est pas du typex7→ Cx²,C∈ R, mais on vérifie facilement que cette fonction est dérivable surR(et en particulier en0) et vérifie pour tout réelx,xf^′(x) −2f(x) =0 ou encorefest solution de(E)surI=R. Voici le graphe de la fonctionf.

−1

−2 1 2 3

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

Exemple 3.Soit(E)l’équation différentiellexy^′−2y=1surI=]0,+∞[. SurI, l’équation(E)est équivalente à l’équation y^′− 2

xy= 1

x. Puisque les fonctionsa : x7→−2

x etb : x7→ 1

x sont continues sur]0,+∞[, les solutions de l’équation(E) surIsont de la formeCf0+f1, C∈R, oùf0 est une solution non nulle de(E_h)surIet f1est une solution particulière de(E). La fonction f₀ : x7→x² est bien sûr solution de(E_h)surIet la fonction f₁ : x7→−1

2 est bien sûr solution de (E)surI. Donc, les solutions de(E)surIsont les fonctions de la formex7→−1

2 +Cx²,C∈R. ❏

1.4 Le théorème de Cauchy

Théorème 4 (théorème de Cauchy). Soient aet bdeux fonctions continues sur un intervalle Ide Rà valeurs dansK=RouC.

Pour tout(x₀, y₀)∈I×K, il existe une solutionf de(E):y^′+ay=bsurIet une seule vérifiantf(x₀) =y₀. Démonstration

. Soit (x0, y0) ∈ I×K. Les solutions de (E) sur I sont les fonctions de la forme f : x 7→ Ce^−A(x)+ e^−A(x)

Zx x0

b(t)e^−A(t)dtoùAest une primitive donnée dea surIetC∈K. On choisit pourA la primitive deasurIqui s’annule enx0. Donc, pour toutxdeI,A(x) =

Zx x0

a(t)dt.

f(x0) =y0⇔Ce^−A(x0)+e^−A(x) Zx0

x0

b(t)e^−A(t)dt=y0⇔C=y0. Ceci montre l’existence et l’unicité d’une solution prenant la valeury0enx0.

❏

Expression de la solution de y^′+ay=bprenant la valeur y0 en x0 : x7→y0e^−A(x)+e^−A(x)

Zx

x0

b(t)e^A(t)dt

oùAest la primitive deasurIs’annulant enx0.

➱ Commentaire. Il ne faut surtout pas croire que l’existence et/ou l’unicité d’une solution vérifiant une « condition initiale » est automatiquement acquise, même pour des équations différentielles très simples.

⋄ L’équation différentielle (x−1)y^′ + (x−1)y = 1 n’admet pas de solution sur R car si f est une fonction dérivable sur R, (1−1)f^′(1) + (1−1)f(1) =06=1(cette équation ne peut s’écrire surRsous la formey^′+ay=bavec aetbcontinues surR).

⋄ L’équation différentiellexy^′−2y=0admet (au moins) deux solutions distinctes s’annulant en0à savoir x7→x² etx7→−x² (cette équation ne peut s’écrire surRsous la formey^′+ay=bavecaetbcontinues surR).

⋄ L’équation différentielley^′2−y=0admet (au moins) deux solutions distinctes s’annulant en0à savoirx7→0etx7→x² 4 (cette équation n’est pas linéaire).

Les hypothèses du théorème de Cauchy sont précises : . . .continues. . .intervalle . . . et le théorème de Cauchy ne peut être utilisé que quand ces hypothèses sont vérifiées.

Un corollaire important au théorème 4 est :

Théorème 5.Soitaune fonction continue sur un intervalleIdeRà valeurs dansK=RouC.

Une solution de l’équation différentielley^′+ay=0 s’annulant surIest nécessairement la fonction nulle.

Toute solution surIde l’équation différentielley^′+ay=0, non nulle surI, ne s’annule pas surI.

Démonstration

. Soitfune solution de l’équation différentielley^′+ay=0surI, s’annulant en un certain réelx0deI(c’est- à-dire prenant la valeur0enx0). La fonction nulle est aussi une solution de l’équation différentielley^′+ay=0surI, s’annulant en x0. Par unicité d’une telle solution, on en déduit quef=0.

Par contraposition, sifest une solution non nulle de l’équation différentielle y^′+ay=0surI,fne s’annule pas surI.

❏

➱ Commentaire. On peut obtenir ce résultat directement à partir de l’expression des solutions. Les solutions de l’équation différentielley^′+ay=0surI sont les fonctions de la formex7→Ce^−A(x), oùA est une primitive deasurI etC∈K. Pour une telle solution, ou bienC= 0et dans ce cas, cette solution est la fonction nulle, ou bien C6=0, et dans ce cas, cette solution ne s’annule pas surI (car la fonction exponentielle ne s’annule pas surC).

1.5 Méthode de variation de la constante

Dans ce paragraphe, on suppose connue une solutionf₀surIde l’équation homogène(E_h), non nulle surI. Pour résoudre l’équation différentielle(E)surI, il ne manque plus qu’une solution particulière de(E)surI. Le théorème suivant fournit un moyen d’en obtenir une.

Théorème 6.Soient a et bdeux fonctions continues sur un intervalle Ide Rà valeurs dans K= Rou C. Soit(E) l’équation différentielley^′+ay=b. Soitf₀une solution surI, non nulle, de l’équation homogène associée(E_h).

Il existe une solution particulière de(E)surI de la formef1 : x7→C(x)f₀(x)oùCest une fonction dérivable surI.

De plus, la fonctionCvérifieC^′= b f0

. Démonstration

. SoitCune fonction dérivable surIpuisf1=Cf0.

f1^′ +af1=b⇔C^′f0+Cf0^′+aCf0=b⇔C^′f0+C× f0^′+af0

=b

⇔C^′f0=b(carf0est solution dey^′+ay=0surI)

⇔C^′= b f0

(carf0ne s’annule pas surI).

Maintenant, les fonctionsbetf0sont continues surI(f0est continue surIcar dérivable surI) et la fonctionf0ne s’annule pas sur I. Donc, la fonction b

f0

est continue surI. Par suite, la fonction b f0

admet au moins une primitive surI. On en déduit l’existence de la fonctionC.

❏ Exemple.Considérons l’équation différentielle(E):y^′−y=cosxsurI=R. Les solutions surRde l’équation différentielle y^′−y=0sont les fonctions de la formeCf₀oùf₀est la fonctionx7→e^x et C∈R.

Déterminons une solution particulière de (E) sur I par la méthode de variation de la constante. SoientC une fonction dérivable surIpuisf₁=Cf₀.

f1solution de(E)surI⇐∀x∈R, C^′(x)e^x+C(x)e^x−C(x)e^x=cosx⇐∀x∈R, C^′(x) =cosxe^−x Or,

Z

cosxe^−xdx=Re Z

e^−xe^ixdx

=Re Z

e^(−1+i)xdx

=Re

e^(−1+i)x

−1+i

+λ=Re

e^−x(cosx+isinx)(−1−i) 2

+λ

= e^−x(−cosx+sinx)

2 +λ.

La fonctionC : x7→ e^−x(−cosx+sinx)

2 convient et fournit la solution particulièref1 : x7→ −cosx+sinx

2 .

Les solutions de l’équation différentielle(E)surIsont les fonctions de la formex7→Ce^x+ −cosx+sinx

2 , C∈R. ❏

1.6 Principe de superposition des solutions

Théorème 7 (principe de superposition des solutions). Soient a, b1 et b2 trois fonctions continues sur un intervalleIà valeurs dansK=RouC. Soientλ1et λ2deux nombres réels ou complexes.

On suppose quef₁est une solution particulière surIde l’équationy^′+ay=b₁et quef₂est une solution particulière sur I de l’équation y^′ +ay = b₂. Alors, la fonction f = λ₁f₁+λ₂f₂ est une solution particulière de l’équation différentielley^′+ay=boùb=λ₁b₁+λ₂b₂.

Démonstration

. fest dérivable surIet

f^′+af= (λ1f1+λ2f2)^′+a×(λ1f1+λ2f2) =λ1 f1^′+af1

+λ2 f2^′+af2

=λ1b1+λ2b2=b.

❏ Considérons par exemple l’équation différentielle y^′−y = cosx+x. La fonction x 7→ −cosx+sinx

2 est solution de y^′−y = cosx sur R et la fonction x 7→ −x−1 est solution de y^′−y = x sur R. Donc, une solution particulière de l’équation différentielley^′−y=cosx+xsurRest la fonctionx7→ −cosx+sinx

2 −x−1.

1.7 Prolongement de solutions

Exemple 1.Considérons l’équation différentielle(E):xy^′−2y=0surR. SurI=]0,+∞[ou] −∞, 0[,(E)est équivalente ày^′−2

xy=0. Puisque la fonctiona : x7→−2

x est continue surI, les solutions de(E)surIsont les fonctions de la forme Cf₀oùf₀est une solution non nulle de(E)surIetC∈R. Plus précisément, les solutions de(E)sur]0,+∞[ou] −∞, 0[

sont les fonctions de la formex7→Cx², C∈R.

Passons à l’intervalle I = R. La fonction nulle est solution de (E) sur R. Plus généralement, les fonctions de la forme x7→Cx²,C∈R, sont solutions de(E)surR. Déterminons maintenanttoutes les solutions de(E)surR.

Soitf une solution de(E)surR. Nécessairement,0×f^′(0) −2f(0) =0et donc, nécessairementf(0) =0.

D’autre part, la restriction def à] −∞, 0[(resp.]0,+∞[) est solution de(E)sur ] −∞, 0[(resp.]0,+∞[). Donc, il existe deuxconstantesC1etC2telles que pourx < 0,f(x) =C1x²et pourx > 0,f(x) =C2x². En résumé, sifest une solution de(E)surR, nécessairement il existe(C₁, C2)∈R²tel que∀x∈R,f(x) =





C1x²six < 0 0six=0 C₂x²six > 0

.

Réciproquement, une telle fonction est dérivable sur ] −∞, 0[ et solution de (E) sur ] −∞, 0[, dérivable sur ]0,+∞[ et solution de(E)sur ]0,+∞[ et enfin, si cette fonction est dérivable en 0, cette fonction vérifie encore l’équation(E)pour x=0. En résumé, une telle fonction est solution de(E)surRsi et seulement si cette fonction est dérivable en0.

Pourx < 0, f(x) −f(0)

x−0 = C₁x²−0

x−0 =C1xet pourx > 0, f(x) −f(0)

x−0 = C₂x²−0

x−0 =C2x. Quandxtend vers 0, à droite ou à gauche, f(x) −f(0)

x−0 tend vers0ou encoref(x) −f(0)

x−0 tend vers0quandxtend vers0. La fonctionfest donc dérivable en0pour tout choix deC₁ etC₂puis, la fonctionfest solution de(E)surRpour tout choix deC₁et C₂.

Les solutions de(E)surRsont les fonctionsfde la formex7→





C₁x²six < 0 0six=0 C₂x²six > 0

,(C₁, C2)∈R². On peut noter que si on pose :∀x∈R,f1(x) =

x²six < 0

0six>0 et∀x∈R,f2(x) =

0six < 0

x²six>0 , alors pour tout réelx,f(x) =C1f1(x) +C2f2(x) ou encoref=C₁f₁+C₂f₂. Donc, l’ensemble des solutions de(E)surRest

C₁f₁+C₂f₂,(C₁, C₂)∈R² . ❏ Exemple 2.Considérons l’équation différentielle(E):xy^′+y=0surR. SurI=]0,+∞[ou] −∞, 0[, les solutions de(E) sont les fonctions de la formex7→C

x,C∈R.

Une solution de(E)surI=Rest nécessairement de la formex7→









 C1

x six < 0 0six=0

C₂

x six > 0

,(C1, C2)∈R².

Réciproquement, une telle fonction est solution de(E)surRsi et seulement si cette fonction est dérivable en0.

SiC₁6=0ouC₂6=0, la fonctionfn’a pas une limite réelle en0et en particulier, n’est pas dérivable en0. SiC₁=C₂=0, la fonctionfest la fonction nulle.

L’équation différentielle(E)admet surRune solution et une seule à savoir la fonction nulle. ❏

➱ Commentaire. A ce jour, nous ne pouvons étudier que des exemples très simples car nous manquons d’outils pour étudier la dérivabilité d’une fonction en un point. Ces outils seront exposés dans le chapitre « Comparaison des fonctions en un point ».

Exercice 1.Résoudre l’équation différentielle|x|y^′− (x−1)y=x³ 1)sur]0,+∞[,

2)sur] −∞, 0[,

3)surR (cette question ne peut pas être résolue si on ne connaît pas le chapitre « Comparaison des fonctions en un point »).

Solution 1.On note(E_h)l’équation différentielle homogène associée|x|y^′+ (x−1)y=0.

1) Résolution de (E) sur ]0,+∞[. Sur ]0,+∞[, l’équation (E) s’écrit y^′+

1− 1 x

y = x². Puisque les deux fonctions x7→1−1

x etx7→x²sont continues sur]0,+∞[, les solutions de(E)sur]0,+∞[sont de la formex7→λf0+f1,λ∈R, où f0est une solution non nulle de(E_h)sur]0,+∞[et f1une solution de(E)sur]0,+∞[.

Soitf une fonction dérivable sur]0,+∞[

fsolution de(E)sur]0,+∞[⇔∀x∈]0,+∞[, f^′(x) +

1− 1 x

f(x) =x²

⇔∀x∈]0,+∞[, e^x−ln(x)f^′(x) +

1− 1 x

e^x−ln(x)f(x) =x²e^x−ln(x)

⇔∀x∈]0,+∞[, e^x

xf ′

(x) =xe^x

⇔∃C∈R/∀x∈]0,+∞[, e^x

xf(x) = (x−1)e^x+C

⇔∃C∈R/∀x∈]0,+∞[, f(x) =x²−x+Cxe^−x. Les solutions de(E)sur]0,+∞[sont les fonctions de la formex7→x²−x+Cxe^−x,C∈R. 2)Résolution de(E)sur] −∞, 0[. Sur] −∞, 0[, l’équation(E)s’écrity^′+

−1+1 x

y= −x². Puisque les deux fonctions x7→ −1+ 1

x et x7→−x² sont continues sur ] −∞, 0[, les solutions de (E) sur] −∞, 0[ sont de la formex7→ λf₀+f₁, λ∈R, oùf0est une solution non nulle de (Eh)sur] −∞, 0[et f1une solution de (E)sur] −∞, 0[.

Soitf une fonction dérivable sur] −∞, 0[

fsolution de(E)surI⇔∀x∈I, f^′(x) +

−1+ 1 x

f(x) = −x²

⇔∀x∈I, e^{−x+ln(−x)}f^′(x) +

−1+1 x

e^{−x+ln(−x)}f(x) = −x²e^{−x+ln(−x)}

⇔∀x∈I, −xe^−xf′

(x) =x³e^−x⇔∀x∈I, xe^−xf′

(x) = −x³e^−x.

Or, Z

−x³e^−xdx=x³e^−x−3 Z

x²e^−xdx= (x³+3x²)e^−x−6 Z

xe^−xdx= (x³+3x²+6x+6)e^−x+C,C∈Ret donc

fsolution de(E)sur] −∞, 0[⇔∃C∈R/∀x∈] −∞, 0[, xe^−xf(x) = (x³+3x²+6x+6)e^−x+λ

⇔∃C∈R/∀x∈] −∞, 0[, f(x) =x²+3x+6+6+Ce^x x .

Les solutions de(E)sur] −∞, 0[sont les fonctions de la formex7→x²+3x+6+6+Ce^x

x ,C∈R.

3)Résolution de(E)surR. Soitfest une éventuelle solution de(E)surR. Nécessairement il existe(C₁, C₂)∈R²tel que

∀x ∈ R, f(x) =







x²−x+C₁xe^−xsix > 0 0six=0

x²+3x+6+ 6+C₂e^x

x six < 0

=

x²−x+C₁xe^−xsix>0 x²+3x+6+ 6+C₂e^x

x six < 0 . Réciproquement, une telle fonction est solution surRsi et seulement si elle est dérivable en0.

Quandxtend vers0par valeurs supérieures,f(x) = −x+o(x) +C₁x(1+o(1)) = (C₁−1)x+o(x). Par suite,fest dérivable à droite en0 pour tout choix deC1et f_d^′(0) =C1−1.

Quandxtend vers0 par valeurs inférieures,

f(x) =6+3x+o(x) + 6+C₂

1+x+ x²

2 +o(x²)

x = 6+C2

x +6+C₂+

3+ C2

2

x+o(x)

SiC26= −6,fn’a pas de limite réelle quandxtend vers0par valeurs inférieures et siC2= −6,f(x) =o(x). Par suite,fest dérivable à gauche en0si et seulement siC2= −6. Dans ce cas, quand xtend vers0par valeurs inférieures, f(x) =o(x) etf_g^′(0) =0. Maintenant,fest dérivable en0 si et seulement sifest dérivable à droite et à gauche en0 etf_d^′(0) =f_g^′(0).

Ceci équivaut àC2= −6et C1=1.

L’équation(E)admet une solution et une seule surRà savoir la fonctionx7→

x²−x+xe^−xsix>0 x²+3x+6+6(1−e^x)

x six < 0 .

2 Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

On s’intéresse maintenant aux équations différentielles du type (E) : ay^′′+by^′+cy = g(x) où a, b et c sont trois constantes complexes (a6=0) et gest une fonction continue sur un intervalleIdeRà valeurs dansC. Cette équation est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants (les coefficients du premier membre ne varient pas quandxvarie).

Les solutions de(E)surIsont les fonctionsf, deux fois dérivables surIà valeurs dansC, vérifiant :

∀x∈I, af^′′(x) +bf^′(x) +cf(x) =g(x).

L’équation homogène (ou « sans second membre ») associée à l’équation(E)est l’équation(E_h):ay^′′+by^′+cy=0.

2.1 Le théorème de Cauchy

On admet le théorème suivant (dont la démonstration est hors programme et dépasse de toute façon le niveau de maths sup) :

Théorème 8.Soient (a, b, c)∈ C^∗×C×C et gune fonction définie et continue sur un intervalleI deR à valeurs dansC.

Pour tout(x₀, y₀, z₀)∈I×C×C, il existe une solutionf de l’équation différentielleay^′′+by^′+cy=gsurIet une seule vérifiantf(x₀) =y₀et f^′(x₀) =z₀.

Intéressons nous maintenant à l’équation homogène.

2.2 Résolution de l’équation ay

^′′

+ by

^′

+ cy = 0, (a, b, c) ∈ C

^∗

× C × C

2.2.1 Le cas général oùa,b etc sont complexes

On se donne trois nombres complexesa, bet c,a étant non nul. On veut résoudre sur Rl’équation différentielleay^′′+ by^′+cy=0(E_h), c’est-à-dire on veut trouver toutes les fonctions deux fois dérivables surRà valeurs dansC, vérifiant pour tout réelx,af^′′(x) +bf^′(x) +cf(x) =0.

Découvrons le résultat. Par analogie avec le premier ordre, cherchons des solutions f de la forme x7→e^zx,z ∈C. f est deux fois dérivable surRet pour tout réelx,

af^′′(x) +bf^′(x) +cf(x) =az²e^zx+bze^zx+ce^zx= az²+bz+c e^zx.

∈ × ×

Par suite,

fsolution de(E)surR⇔∀x∈R, az²+bz+c e^zx

⇔az²+bz+c=0(car∀x∈R, e^zx6=0).

L’équation différentielleay^′′+by^′+cy=0, d’inconnue une fonction f, s’est « transformée » en une équation algébrique d’inconnue un nombre complexez.

Définition 1. Soient a, b et c trois nombres complexes,a étant non nul. Soit (E_h)l’équation différentielle ay^′′+ by^′+cy=0.

L’équation caractéristique de l’équation(E_h)est l’équation(E_c): az²+bz+c=0, d’inconnue un nombre complexez.

On sait que deux cas de figure se présentent :

1er cas. Si b²−4ac6= 0, l’équation(Ec) admet dans Cdeux solutions distinctes r1 et r2. D’après le travail fait plus haut, les deux fonctionsf1 : x7→e^r1x etf2 : x7→e^r2xsont solutions de(Eh)surR. On obtient alors beaucoup d’autres solutions : les fonctions de la formex7→λ1f1+λ2f2,(λ₁, λ2)∈C², sont des solutions de(E_h)surR. En effet,

a(λ₁f1+λ2f2)^′′+b(λ₁f1+λ2f2)^′+c(λ₁f1+λ2f2) =λ1(af₁^′′+bf₁^′ +cf1) +λ2(af₂^′′+bf₂^′ +cf2)

=λ1×0+λ2×0

=0.

Ainsi,

λ1f1+λ2f2, (λ1, λ2)∈C² ⊂Sh. On va maintenant démontrer que l’on a obtenu toutes les solutions de(E)sur Rou encore on va démontrer que

λ₁f₁+λ₂f₂, (λ₁, λ₂)∈C² =S_h.

Soit f une solution de (E_h) sur R. Posons y0 = f(0) et z0 = f^′(0). Pour (λ₁, λ2) ∈ C² et x ∈ R, posons encore g(x) =λ1e^r1x+λ2e^r2x.

g(0) =y0

g^′(0) =z0 ⇔

λ1+λ2=y0

λ1r1+λ2r2=z0 ⇔

λ2=y0−λ1

λ1r1+ (y₀−λ1)r2=z0

⇔

(r₁−r₂)λ₁=z₀−y₀r₂ λ2=y0−λ1 ⇔







λ1= z0−y0r2

r₁−r₂ λ₂=y₀− z₀−y₀r₂

r₁−r₂

(carr₁6=r₂)

⇔







λ1= z₀−y₀r₂ r1−r2

λ2= y0r1−z0

r₁−r₂ .

Soit alorsgla fonctionx7→ z0−y0r2

r₁−r₂ e^r1x+y0r1−z0

r₁−r₂ e^r2x. La fonctiongest solution de(E_h)surRet de plus,g(0) =f(0) etg^′(0) =f^′(0). Par unicité d’une telle solution (théorème deCauchy), on a g=fet doncfest de la formeλ1f1+λ2f2, (λ₁, λ2)∈C². On a ainsi montré queSh=

λ1f1+λ2f2, (λ₁, λ2)∈C² oùf1est la fonctionx7→e^r1xetf2est la fonction x7→e^r2x.

2ème cas. Si b²−4ac = 0, l’équation (E_c) admet dans C une solution double r = −b

2a. La fonction f₁ : x 7→ e^rx est solution de (E_h) sur R. Vérifions que la fonction f₂ : x 7→ xe^rx est aussi solution de (E_h) sur R. Pour x ∈ R, f₂^′(x) =e^rx+rxe^rxpuisf₂^′′(x) =re^rx+re^rx+r²xe^rx=2e^rx+r²xe^rxpuis

af₂^′′(x) +bf₂^′(x) +cf₂(x) =a 2e^rx+r²xe^rx

+b(e^rx+rxe^rx) +cxe^rx

= ar²+br+c

xe^rx+ (2ar+b)e^rx

=0×xe^rx+0×e^rx(carr= −b 2a)

=0.

∈ × ×

Ainsi, les fonctionsf₁ et f₂ sont solutions de (E_h)sur Ret plus généralement, comme dans le premier cas, les fonctions de la formeλ₁f₁+λ₂f₂,(λ₁, λ₂)∈C², sont solutions de(E_h)surR.

Réciproquement, soientfune solution de(Eh)surRpuisy0=f(0)etz0=f^′(0).

Soient(λ₁, λ2)∈C²puisg=λ1f1+λ2f2. Pour tout réelx,g(x) =λ1e^rx+λ2xe^rx= (λ₁+xλ2)e^rx. g(0) =y0

g^′(0) =z0 ⇔

λ1=y0

rλ1+λ2=z0

⇔

λ1=y0

λ₂=z₀−ry₀ .

Soit alorsgla fonctionx7→y0e^rx+ (z₀−ry0)xe^rx. La fonction gest solution de(E_h)sur Ret de plus,g(0) =f(0) et g^′(0) =f^′(0). Par unicité d’une telle solution, on a g=fet donc fest de la formeλ₁f₁+λ₂f₂,(λ₁, λ₂)∈C². On a ainsi montré queS_h=

λ₁f₁+λ₂f₂, (λ₁, λ₂)∈C² oùf₁est la fonctionx7→e^rxet f₂est la fonctionx7→xe^rx. On peut énoncer :

Théorème 9.Soienta,bet ctrois nombres complexes tels quea6=0puis(Eh)l’équation différentielle ay^′′+by^′+cy=0.

On note(E_c):az²+bz+c=0, l’équation caractéristique associée.

• Si (E_c) a deux solutions distinctes r₁ et r₂ dans C, les solutions de l’équation (E_h) sur Rsont les fonctions de la formex7→λe^r1x+µe^r2x,(λ, µ)∈C².

• Si (E_c) a une solution double r dans C, les solutions de l’équation (E_h) sur R sont les fonctions de la forme x7→(λ+µx)e^rx,(λ, µ)∈C².

2.2.2 Le cas particulier où a,bet c sont réels

On se place maintenant dans le cas particulier où a, b et c sont réels. Le discriminant ∆ = b²−4ac de l’équation caractéristique est donc un réel. Trois cas de figure se présentent.

1er cas.On suppose queb²−4ac > 0. Dans ce cas, l’équation caractéristique(Ec)admet deux solutions réelles distinctes r1 etr2. Les solutions complexes de l’équation(Eh)surRsont les fonctions de la formex7→λe^r1x+µe^r2x, (λ, µ)∈C². On va déterminer parmi ces solutions celles qui sont réelles.

Soient(λ, µ)∈C²puisf : x7→λe^r1x+µe^r2x.

f(R)⊂R⇔∀x∈R, f(x) =f(x)

⇔∀x∈R, λe^r1x+µe^r2x=λe^r1x+µe^r2x

⇒

λ+µ=λ+µ (I)

λe^r1+µe^r2 =λe^r1+µe^r2 (II) (obtenu pourx=0etx=1)

⇒

(e^r2−e^r1)λ= (e^r2−e^r1)λ

(e^r1−e^r2)µ= (e^r1−e^r2)µ (e^r2(I) − (II)ete^r1(I) − (II))

⇒

λ=λ

µ=µ (care^r1 6=r₂puisquer₁etr₂sont réels et distincts)

⇒λ∈Retµ∈R.

Réciproquement, siλetµsont réels, alorsfest à valeurs dansR. Ceci montre que les solutions réelles de l’équation(E_h) surRsont les fonctions de la formex7→λe^r1x+µe^r2x,(λ, µ)∈R².

2ème cas.On suppose queb²−4ac=0. Dans ce cas, l’équation caractéristique(E_c)admet une solution réelle doubler.

Les solutions complexes de l’équation(E_h)surRsont les fonctions de la formex7→(λ+µx)e^rx,(λ, µ)∈C². Soient(λ, µ)∈C²puisf : x7→(λ+µx)e^rx.

∈ × ×

f(R)⊂R⇔∀x∈R, (λ+µx)e^rx= λ+µx e^rx

⇒

λ=λ

(λ+µ)e^r= λ+µ

e^r (obtenu pourx=0etx=1)

⇒

λ=λ µ=µ

⇒λ∈Retµ∈R.

Réciproquement, siλetµsont réels, alorsfest à valeurs dansR. Ceci montre que les solutions réelles de l’équation(E_h) surRsont les fonctions de la formex7→(λ+µx)e^rx,(λ, µ)∈R².

3ème cas. On suppose queb²−4ac < 0. Dans ce cas, l’équation caractéristique(E_c)admet deux solutions non réelles conjuguéesr₁=u+ivetr₂=u−iv,(u, v)∈R×R^∗. Les solutions complexes de l’équation(E_h)surRsont les fonctions de la formex7→λe^(u+iv)x+µe^(u−iv)x=e^ux λe^ivx+µe^−ivx

,(λ, µ)∈C². Soient(λ, µ)∈C²puisf : x7→e^ux λe^ivx+µe^−ivx

.

f(R)⊂R⇔∀x∈R, e^ux λe^ivx+µe^−ivx

=e^ux λe^−ivx+µe^ivx

⇔∀x∈R, λe^ivx+µe^−ivx =λe^−ivx+µe^ivx

⇒

λ+µ=λ+µ

iλ−iµ= −iλ+iµ (obtenu pourx=0etx= π 2v)

⇒

λ+µ=λ+µ λ−µ= −λ+µ

⇒µ=λ((I) − (II))/2).

Réciproquement, siµ=λ, alors pour tout réelx,f(x) =e^ux λe^ivx+λe^−ivx

=e^uxRe λe^ivx

.fest donc à valeurs dans R. Ceci montre que les solutions réelles de l’équation(E_h)surRsont les fonctions de la formex7→e^uxRe λe^ivx

,λ∈C. En posantλ=α+iβ,(α, β)∈R², on obtient le fait que les solutions réelles de(E_h)surR, sont les fonctions de la forme x7→e^ux(αcos(vx) −βsin(vx)),(α, β)∈R². Enfin, βdécritRsi et seulement si−βdécrit Ret donc les solutions réelles de(E_h)surR, sont aussi les fonctions de la formex7→e^ux(αcos(vx) +βsin(vx)),(α, β)∈R².

On peut énoncer

Théorème 10.Soienta,betc trois nombres réels tels quea6=0 puis(E_h)l’équation différentielle ay^′′+by^′+cy=0.

On note(E_c):az²+bz+c=0, l’équation caractéristique associée et ∆le discriminant du trinômeaz²+bz+c.

• Si ∆ > 0, (Ec)a deux solutions réelles distinctes r1 et r2. Les solutions réelles de l’équation (Eh)sur Rsont les fonctions de la formex7→λe^r1x+µe^r2x,(λ, µ)∈R².

• Si∆=0, (E_c)a une solution double réeller. Les solutions réelles de l’équation (E_h) surRsont les fonctions de la formex7→(λ+µx)e^rx,(λ, µ)∈R².

• Si∆ < 0, (E_c)a deux solutions non réelles conjuguéesr1=u+ivet r2=u−ivoù(u, v)∈R×R^∗. Les solutions réelles de l’équation(E_h)surRsont les fonctions de la formex7→e^ux(λcos(vx) +µsin(vx)),(λ, µ)∈R².

Exemples.

•Les solutions réelles surRde l’équation différentielley^′′−4y^′+3y=0sont les fonctions de la forme x7→λe^x+µe^3x, (λ, µ)∈R² (l’équation caractéristique associée estz²−4z+3=0).

•Les solutions réelles surRde l’équation différentielle 4y^′′+4y^′+y=0sont les fonctions de la formex7→(λ+µx)e^−x2, (λ, µ)∈R² (l’équation caractéristique associée est4z²+4z+1=0).

•Les solutions réelles surRde l’équation différentielley^′′−2y^′+2y=0sont les fonctions de la formex7→e^x(λcosx+ µsinx),(λ, µ)∈R²(l’équation caractéristique associée estz²−2z+2=0et a pour solutions1+i et1−i).

•Soitωun réel strictement positif. Les solutions réelles surRde l’équation différentielley^′′+ω²y=0sont les fonctions de la formex7→λcos(ωx) +µsin(ωx),(λ, µ)∈R²(l’équation caractéristique associée estz²+ω²=0et a pour solutions

iωet−iω). ❏

2.3 Résolution de l’équation ay

^′′

+ by

^′

+ cy = g(x)

2.3.1 Le cas général oùg est une fonction continue

Théorème 11.Soienta,bet ctrois nombres réels tels quea6=0etgune fonction continue sur un intervalleIdeR à valeurs dansK=RouCpuis(E)l’équation différentielle

ay^′′+by^′+cy=g (E).

La solution générale de l’équation (E) sur I est la somme d’une solution particulière de (E) sur I et de la solution générale surIde l’équation différentielle homogène associéeay^′′+by^′+cy=0 (E_h).

Démonstration

. Le théorème 8 appliqué avecx0réel fixé deIety0=z0=0montre que l’équation(E)admet au moins une solutionf0surI. Soitfune fonction deux fois dérivable surI.

fsolution de(E)surI⇔af^′′+bf^′+cf=g⇔af^′′+bf^′+cf=af0^′′+bf0^′+cf0

⇔a(f−f0)^′′+b(f−f0)^′+c(f−f0) =0

⇔f−f0solution de (Eh) surI

⇔il existef1solution de (Eh) surItelle quef−f0=f1

⇔il existef1solution de (Eh) surItelle quef=f0+f1.

Une solution quelconque de(E)surIest donc la somme d’une solution particulière de(E)surIet d’une solution quelconque de(Eh)

surI. ❏

2.3.2 Quelques exemples avec un second membre particulier

On doit savoir déterminer sans aide une solution particulière de (E) sur I dans quelques cas particuliers concernant le second membre.

2.3.2.1 Second membre du typeAe^λx,(A, λ)∈C²

L’équation différentielle(E)s’écrit doncay^′′+by^′+cy=Ae^λx. Cherchons une solution particulière de la formef : x7→

A^′e^λx,A^′∈C. Pour tout réelx, on a

af^′′(x) +bf^′(x) +cf(x) =A^′ aλ²+bλ+c e^λx, puis

∀x∈R, af^′′(x) +bf^′(x) +cf(x) =Ae^λx⇔A^′ aλ²+bλ+c

=A.

Si aλ²+bλ+c 6=0 ou encore si λn’est pas racine de l’équation caractéristique(E_c), la fonction x7→ A

aλ²+bλ+ce^λx est solution de l’équation différentielle(E)surR.

•Siaλ²+bλ+c=0ou encore siλest racine de l’équation caractéristique(E_c), cherchons une solution particulière de(E) de la formef : x7→A^′xe^λx,A^′∈C. Pour tout réelx, on af^′(x) =A^′(1+λx)e^λxpuisf^′′(x) =A^′(λ+λ(1+λx))e^λx= A^′ λ²x+2λ

e^λxpuis

af^′′(x) +bf^′(x) +cf(x) =A^′ a λ²x+2λ

+b(1+λx) +cx e^λx

=A^′ aλ²+bλ+c

x+ (2aλ+b) e^λx

=A^′(2aλ+b)e^λx, puis

∀x∈R, af^′′(x) +bf^′(x) +cf(x) =Ae^λx⇔A^′(2aλ+b) =A.

Si 2aλ+b6=0 ou encore si λ6= − b

2a ou encore si λest racine de(E_c) sans être racine double de(E_c), alors la fonction x7→ A

2aλ+bxe^λx est solution de l’équation différentielle(E)surR.

• Si aλ²+bλ+c =0 et 2aλ+b=0 ou encore si λ est racine double de l’équation caractéristique(E_c), cherchons une solution particulière de(E)de la formef : x7→A^′x²e^λx, A^′ ∈C. Pour tout réelx, on af^′(x) =A^′ 2x+λx²

e^λx puis f^′′(x) =A^′ 2+2λx+λ λx²+2x

e^λx=A^′ λ²x²+4λx+2

e^λxpuis

af^′′(x) +bf^′(x) +cf(x) =A^′ a λ²x²+4λx+2

+b λx²+2x +cx²

e^λx

=A^′ aλ²+bλ+c

x²+2(2aλ+b)x+2a e^λx

=2A^′ae^λx, puis

∀x∈R, af^′′(x) +bf^′(x) +cf(x) =Ae^λx⇔2A^′a=A.

Dans ce cas, la fonctionx7→ A

2ax²e^λx est solution de l’équation différentielle(E)surR. On a montré que :

Théorème 12.Soit(E)l’équation différentielleay^′′+by^′+cy=Ae^λxoùa,b,c,Aetλsont des nombres complexes, aétant non nul.

• Siλ n’est pas racine de l’équation caractéristiqueaz²+bz+c=0, il existe une solution particulière de(E)surR de la formex7→A^′e^λx oùA^′ est un nombre complexe.

•Siλest racine de l’équation caractéristiqueaz²+bz+c=0mais pas racine double, il existe une solution particulière de(E)surRde la formex7→A^′xe^λx oùA^′ est un nombre complexe.

•Si λest racine double de l’équation caractéristiqueaz²+bz+c=0, il existe une solution particulière de(E)surR de la formex7→A^′x²e^λx oùA^′ est un nombre complexe.

2.3.2.2 Second membre du typeBcos(ωx)ouBsin(ωx),(B, ω)∈R²

L’équation différentielle(E)s’écrit doncay^′′+by^′+cy=Bcos(ωx)avecB∈Ret ω∈R.

Sia,bet csont réels (eta6=0) et si fest une solution de l’équationay^′′+by^′+cy=Be^iωx alors, pour tout réelx, Bcos(ωx) =Re Be^iωx

=Re(af^′′(x) +bf^′(x) +cf(x)) =a(Re(f))^′′(x) +b(Re(f))^′(x) +c(Re(f))(x),

et donc Re(f) est une solution de l’équation (E). De même, Im(f) est une solution sur R de l’équation différentielle ay^′′+by^′+cy=Bsin(ωx).

Exemple.Soit (E) l’équation différentielle y^′′−3y^′+2y = cosx. Déterminons une solution particulière de l’équation (E^′):y^′′−3y^′+2y=e^ix. Le nombrein’est pas racine de l’équation caractéristiquez²−3z+2=0. Donc, il existe une solution de(E)surRde la formef : x7→Ae^ix, A∈C. Pour tout réelx,

f^′′(x) −3f^′(x) +2f(x) =A(−1−3i+2)e^ix=A(1−3i)e^ix. Par suite,

∀x∈R, f^′′(x) −3f^′(x) +2f(x) =e^ix⇔∀x∈R, A(1−3i)e^ix=e^ix

⇔A(1−3i) =1⇔A= 1+3i 10 .

La fonctionf : x7→1+3i

10 e^ixest solution surRde l’équation différentielley^′′−3y^′+2y=e^ix. La partie réelle defest alors solution surRde l’équation différentielley^′′−3y^′+2y=cosx. Pour tout réelx,

f(x) = 1

10(1+3i)(cosx+isinx) = 1

10((cosx−3sinx) +i(3cosx+sinx)), et donc une solution particulière de(E)surRest la fonctionx7→ 1

10(cosx−3sinx). On en déduit encore que les solutions réelles de(E)surRsont les fonctions de la formex7→λe^x+µe^2x+ 1

10(cosx−3sinx),(λ, µ)∈R². ❏ On peut aussi chercher à priori les solutions de l’équationay^′′+by^′+cy= Bcos(ωx)sous la forme x7→ αcos(ωx) + βsin(ωx),(α, β)∈C²(mais ça ne marche pas siiω est racine de l’équation caractéristique).

Exemple.Soit(E)l’équation différentielley^′′+2y^′+2y=10cos(2x). Cherchons une solution particulière de (E)surR de la formef : x7→αcos(2x) +βsin(2x),(α, β)∈R². Pour tout réelx,

f^′′(x) +2f^′(x) +2f(x) = (−4αcos(2x) −4βsin(2x)) +2(−2αsin(2x) +2βcos(2x)) +2(αcos(2x) +βsin(2x))

= (−2α+4β)cos(2x) + (−4α−2β)sin(2x).