MPSI B DS 1 29 juin 2019
Première partie : équation diérentielle 1. a. La fonction
]0, π[ → ]0,4[
t → 2(1−cost)
est bijective, dérivable et sa dérivée ne s'annule pas dans ]0, π[. On note f sa bijection réciproque, préciser la dérivée def
b. La fonction
]0,+∞[ → ]− ∞,0[
t → 2(1−cht)
est bijective, dérivable et sa dérivée ne s'annule pas dans ]0, π[. On note g sa bijection réciproque, préciser la dérivée deg
2. a. Calculer les réelsaet btels que pour tout réel xdiérent de 0 et de 4, on ait x−2
x(x−4) = a x+ b
x−4
b. Préciser dans chaque intervalle l'ensemble des solutions de l'équation diérentielle x(x−4)y0+ (x−2)y= 0
c. Quelles sont les fonctions continues et dérivables dans R et vériant l'équation dansR.
3. a. Montrer que la fonction sin◦ff est solution dans]0,4[d'une équation diérentielle linéaire du premier ordre à préciser.
b. Montrer que la fonction shg◦g est solution dans]− ∞,0[d'une équation diéren- tielle linéaire du premier ordre à préciser.
Deuxième partie : divers exercices 1. Dans quelle partie deRla fonctionf
x7→arcsin( 2x 1 +x2) est elle dénie ? dérivable ?
Transformer f(x) en introduisant θ = arctanx. Présenter dans un tableau les dié- rentes expressions def(x)et les intervalles dans lesquels elles sont valides.
Retrouver le tableau précédent en utilisant la dérivée.
2. a. Dans quel cas un nombre complexe admet-il un argument dans
−π2,π2
? b. Soita∈Ret t∈]−1,+1[. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de
e−ia+t e−ia−t
Montrer que ce nombre complexe a un argument dans
−π2,+π2. c. On suppose toujourst∈]−1,+1[et on pose
M =1
2ln1 + 2tcosa+t2
1−2tcosa+t2 N= arctan2tsina 1−t2 CalculereS pour S=M+iN.
d. Énoncer et prouver un résultat analogue à celui de la questioncdans le cast >1. 3. Préciser dans quelles parties deRles fonctions arcsin◦cos, arccos◦sin, sin◦arccoset
cos◦arcsin sont dénies. Tracer les graphes de ces fonctions.
4. Soitpetq deux entiers non nuls, trouver une forme simpliée pour
p
X
k=0
p+q k
p+q−k p−k
.
5. Soitnun entier strictement positif, calculer les sommes suivantes
n
X
k=0
sin(kx) coskx ,
n
X
k=0
n k
sin(kx)
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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1 Rémy Nicolai S0301E
