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Montrer que l’applicationv∈R27→∂vf(0, 0) n’est pas linéaire

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Université Lille I L3 Maths

2013-2014 M-52

7 - APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLE

Notation.La différentielle d’une application f en un pointaest notée dfxou df(x). La dérivée direction- nelle d’une applicationf en un pointxsuivant le vecteurvest notéevf(x).

On noteMn(R),GL(n,R) l’espace des matrices carrées réellesn×net le groupe des éléemnts inversibles de Mn(R).

Exercice 1

a) Rappeler la définition de différentiabilité et de dérivée directionnelle suivant un vecteur.

b) Soitf :R2Rdéfinie par

f(x,y)= { x2y

x2+y2 si (x,y)̸=(0, 0)

0 sinon

.

Montrer quef est continue en (0, 0) et que pour toutv∈R2la dérivée directionnellevf(0, 0) def en (0, 0) suivant la directionvexiste. Montrer que l’applicationv∈R27→∂vf(0, 0) n’est pas linéaire. En tirer les consé- quences.

c) On considèref :R2Rdéfinie parf(0, 0)=0 et, si (x,y)̸=(0, 0),f(x,y)=xx4+y3y2. Montrer que pourvf(0, 0)= 0, pour toutv∈E, mais quef n’est pas différentiable en (0, 0).

Exercice 2

a) Dans un espace vectoriel réelE muni d’une norme∥ · ∥, on considère l’applicationN :x∈E7→ ∥x∥. En raisonnant par l’absurde, montrer queN n’est pas différentiable en 0 (on pourra regarder ses dérivées directionnelles).

On suppose désormais queE est un espace pré-hilbertien surRet que∥ · ∥est la norme associée au produit scalaire〈·|·〉surE.

b) Montrer queg:x7→ ∥x∥2est différentiable surEet calculer sa différentielle dg.

c) En déduire quef :x7→ ∥x∥est différentiable en tout point deE\{0}, et calculer sa différentielle df. Décrire Ker(

dfx

)pour toutx̸=0.

Exercice 3

Étudier la différentiabilité des applications suivantes définies surRn[X] :

f :P7→

1

0 (P3(t)−P2(t))d t et g:P7→P−P2 Exercice 4

a) SoitO={(u,v)R3×R3|u∧v̸=0}. Calculer la différentielle de l’application (u,v)∈O7→ln∥u∧v∥

∥ · ∥désigne la norme euclidienne.

b) Pourf etgdeux applications dérivable d’un intervalleI⊂RdansR3, déterminer, pour toutt∈I, les dérivées des fonctionst7→f(t)∧g(t) ett7→ 〈f(t),g(t).

1

(2)

c) Utiliser le résultat précédent pour montrer que∥f∥est constante si et seulement si〈f(t),f(t)〉 =0, pour toutt∈I.

Exercice 5

Les coordonnées cartésiennes (x,y,z) de l’espace euclidienR3s’expriment en fonction des coordonnées para- boliques (ξ,η,φ)[0,+∞]2×[0, 2π] via les formules

x=

ξηcosφ, y=

ξηsinφ, z=1 2(ξ−η).

(Le nomcoordonnées paraboliquesvient du fait que les familles de surfacesξ=Constante etη=Constante sont des paraboloïdes de révolution d’axe de symétriez).

Calculer la matrice jacobienne de l’application (ξ,η,φ)7→(x,y,z) et déterminer le lieu où le déterminant jacobien est non nul.

Exercice 6

a) Soitf :A∈Mn(R)7→detA∈Rl’application qui associe à une matriceAson déterminant. Rappelons que dfA(H)=det(A) trace(A1H), ∀A∈GL(n,R)

En déduire, en utilisant l’expression de la matrice inverseA1en fonction de la matrice complémentaire de Aet un argument de densité, une formule pour dfApour toutA∈Mn(R).

b) Retrouver cette formule à partir de la formule de Laplace pour le déterminant deA.

Exercice 7

Soit (E,〈·|·〉) un espace préhilbertien réel. Soitu∈Lc(E) un endomorphisme continu que l’on suppose symé- trique :∀x,y,〈u(x)|y〉 = 〈x|u(y).

a) Montrer que l’applicationx∈E7→ 〈u(x)|x〉est différentiable surE et calculer sa différentielle. En déduire que l’applicationx7→ ∥x∥2est différentiable.

b) Pourx∈E, on poseϕ(x)=u(x)x|x|x. Montrer queϕest différentiable. Calculer ensuite dϕ. c) Soita∈E\ {0}. Montrer que dϕa=0 si et seulement siaest vecteur propre deu.

Exercice 8

SoitFun fermé non vide deRnmuni de la norme euclidienne∥·∥. Soitf :RnRdéfinie parf(x)=dist(x,F)= inf{∥z−x∥ |z∈F}.

On rappelle que f est 1-lipschitzienne, et que pour chaquex∈Rn il existe un pointy ∈F tel que f(x)=

∥x−y∥.

Soientx∈Rn\Fun point oùf est différentiable ety∈Fun point tel quef(x)= ∥x−y∥. a) Montrer quedfxL(Rn;R)1.

b) On considère la fonctionφ:t∈R7→f((1−t)x+t y). En calculantφ(0) de deux façons, montrer que dfx

( xy

xy

)= 1. En déduire quedfxL(Rn;R)=1.

c) En déduire queyest l’unique point deFsatisfaisantf(x)= ∥x−y∥. Exercice 9

a) Déterminer le lieu des points (x1,x2)R2où l’applicationf :R2Rdéfinie parf(x1,x2)= ∥x∥=max (|x1|,|x2|) et différentiable et calculer sa différentielle.

b) Généraliser ceci àf :F→R,f(x)= ∥x∥, avecF=RnouF l’ensemble des suites convergentes vers zéro.

Exercice 10

SoitEun espace vectoriel de dimension finie etL(E) l’espace des endomorphismes linéaires deE. On rappelle que l’exponentielle deA∈L(E), notée expAoueA, est définie par

exp(A)=

j=0

Aj j!

2

(3)

a) Soitϕl’application

ϕ:t∈R7→exp(t A);

Montrer queϕ(s)ϕ(t)(s+t) pour tout (t,s)R2et queϕ(t)=Aexp(t A)=exp(t A)A.

b) On suppose désormais queEest un espace pré-hilbertien surRet que∥·∥est la norme associée au produit scalaire〈·|·〉surE. SoitA∈L(E) tel queAx⊥xpour toutx∈E; montrer que expAest une isométrie (c’est- à-dire queexpAx∥ = ∥x∥pour toutx∈E). (Indication : Dériver la fonctiont∈R7→ ∥et Ax∥2.)

c) En déduire que siA∈Mn(R) est une matrice antisymétrique alorsM=expAest une matrice orthogonale (c-à-d.M MT=I) de déterminant égal à 1.

Exercice 11 (*)

Soitf :R2Rl’applicationx=(x1,x2)7→ ∥x∥1= |x1| + |x2|. Est-elle différentiable ?

Considérons maintenant l’espacel1des suites réellesx=(xj)j=1muni de la norme∥x∥1=

j=1|xj|. a) Montrer que pour toute forme linéaire continueLsurl1il existe une suite bornéeα=(α1,α2, . . . ) telle que

L(x)=

j=1

αjxj.

b) Montrer que la norme∥ · ∥1:l1Rn’est différentiable en aucun point del1(raisonner par l’absurde en utilisant (1)).

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