Université Lille I L3 Maths
2013-2014 M-52
7 - APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLE
Notation.La différentielle d’une application f en un pointaest notée dfxou df(x). La dérivée direction- nelle d’une applicationf en un pointxsuivant le vecteurvest notée∂vf(x).
On noteMn(R),GL(n,R) l’espace des matrices carrées réellesn×net le groupe des éléemnts inversibles de Mn(R).
Exercice 1
a) Rappeler la définition de différentiabilité et de dérivée directionnelle suivant un vecteur.
b) Soitf :R2→Rdéfinie par
f(x,y)= { x2y
x2+y2 si (x,y)̸=(0, 0)
0 sinon
.
Montrer quef est continue en (0, 0) et que pour toutv∈R2la dérivée directionnelle∂vf(0, 0) def en (0, 0) suivant la directionvexiste. Montrer que l’applicationv∈R27→∂vf(0, 0) n’est pas linéaire. En tirer les consé- quences.
c) On considèref :R2→Rdéfinie parf(0, 0)=0 et, si (x,y)̸=(0, 0),f(x,y)=xx4+y3y2. Montrer que pour∂vf(0, 0)= 0, pour toutv∈E, mais quef n’est pas différentiable en (0, 0).
Exercice 2
a) Dans un espace vectoriel réelE muni d’une norme∥ · ∥, on considère l’applicationN :x∈E7→ ∥x∥. En raisonnant par l’absurde, montrer queN n’est pas différentiable en 0 (on pourra regarder ses dérivées directionnelles).
On suppose désormais queE est un espace pré-hilbertien surRet que∥ · ∥est la norme associée au produit scalaire〈·|·〉surE.
b) Montrer queg:x7→ ∥x∥2est différentiable surEet calculer sa différentielle dg.
c) En déduire quef :x7→ ∥x∥est différentiable en tout point deE\{0}, et calculer sa différentielle df. Décrire Ker(
dfx
)pour toutx̸=0.
Exercice 3
Étudier la différentiabilité des applications suivantes définies surRn[X] :
f :P7→
∫ 1
0 (P3(t)−P2(t))d t et g:P7→P′−P2 Exercice 4
a) SoitO={(u,v)∈R3×R3|u∧v̸=0}. Calculer la différentielle de l’application (u,v)∈O7→ln∥u∧v∥
où∥ · ∥désigne la norme euclidienne.
b) Pourf etgdeux applications dérivable d’un intervalleI⊂RdansR3, déterminer, pour toutt∈I, les dérivées des fonctionst7→f(t)∧g(t) ett7→ 〈f(t),g(t)〉.
1
c) Utiliser le résultat précédent pour montrer que∥f∥est constante si et seulement si〈f(t),f′(t)〉 =0, pour toutt∈I.
Exercice 5
Les coordonnées cartésiennes (x,y,z) de l’espace euclidienR3s’expriment en fonction des coordonnées para- boliques (ξ,η,φ)∈[0,+∞]2×[0, 2π] via les formules
x=√
ξηcosφ, y=√
ξηsinφ, z=1 2(ξ−η).
(Le nomcoordonnées paraboliquesvient du fait que les familles de surfacesξ=Constante etη=Constante sont des paraboloïdes de révolution d’axe de symétriez).
Calculer la matrice jacobienne de l’application (ξ,η,φ)7→(x,y,z) et déterminer le lieu où le déterminant jacobien est non nul.
Exercice 6
a) Soitf :A∈Mn(R)7→detA∈Rl’application qui associe à une matriceAson déterminant. Rappelons que dfA(H)=det(A) trace(A−1H), ∀A∈GL(n,R)
En déduire, en utilisant l’expression de la matrice inverseA−1en fonction de la matrice complémentaire de Aet un argument de densité, une formule pour dfApour toutA∈Mn(R).
b) Retrouver cette formule à partir de la formule de Laplace pour le déterminant deA.
Exercice 7
Soit (E,〈·|·〉) un espace préhilbertien réel. Soitu∈Lc(E) un endomorphisme continu que l’on suppose symé- trique :∀x,y,〈u(x)|y〉 = 〈x|u(y)〉.
a) Montrer que l’applicationx∈E7→ 〈u(x)|x〉est différentiable surE et calculer sa différentielle. En déduire que l’applicationx7→ ∥x∥2est différentiable.
b) Pourx∈E, on poseϕ(x)=〈u(x)〈x|x|〉x〉. Montrer queϕest différentiable. Calculer ensuite dϕ. c) Soita∈E\ {0}. Montrer que dϕa=0 si et seulement siaest vecteur propre deu.
Exercice 8
SoitFun fermé non vide deRnmuni de la norme euclidienne∥·∥. Soitf :Rn→Rdéfinie parf(x)=dist(x,F)= inf{∥z−x∥ |z∈F}.
On rappelle que f est 1-lipschitzienne, et que pour chaquex∈Rn il existe un pointy ∈F tel que f(x)=
∥x−y∥.
Soientx∈Rn\Fun point oùf est différentiable ety∈Fun point tel quef(x)= ∥x−y∥. a) Montrer que∥dfx∥L(Rn;R)≤1.
b) On considère la fonctionφ:t∈R7→f((1−t)x+t y). En calculantφ′(0) de deux façons, montrer que dfx
( x−y
∥x−y∥
)= 1. En déduire que∥dfx∥L(Rn;R)=1.
c) En déduire queyest l’unique point deFsatisfaisantf(x)= ∥x−y∥. Exercice 9
a) Déterminer le lieu des points (x1,x2)∈R2où l’applicationf :R2→Rdéfinie parf(x1,x2)= ∥x∥∞=max (|x1|,|x2|) et différentiable et calculer sa différentielle.
b) Généraliser ceci àf :F→R,f(x)= ∥x∥∞, avecF=RnouF l’ensemble des suites convergentes vers zéro.
Exercice 10
SoitEun espace vectoriel de dimension finie etL(E) l’espace des endomorphismes linéaires deE. On rappelle que l’exponentielle deA∈L(E), notée expAoueA, est définie par
exp(A)=∑∞
j=0
Aj j!
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a) Soitϕl’application
ϕ:t∈R7→exp(t A);
Montrer queϕ(s)ϕ(t)=ϕ(s+t) pour tout (t,s)∈R2et queϕ′(t)=Aexp(t A)=exp(t A)A.
b) On suppose désormais queEest un espace pré-hilbertien surRet que∥·∥est la norme associée au produit scalaire〈·|·〉surE. SoitA∈L(E) tel queAx⊥xpour toutx∈E; montrer que expAest une isométrie (c’est- à-dire que∥expAx∥ = ∥x∥pour toutx∈E). (Indication : Dériver la fonctiont∈R7→ ∥et Ax∥2.)
c) En déduire que siA∈Mn(R) est une matrice antisymétrique alorsM=expAest une matrice orthogonale (c-à-d.M MT=I) de déterminant égal à 1.
Exercice 11 (*)
Soitf :R2→Rl’applicationx=(x1,x2)7→ ∥x∥1= |x1| + |x2|. Est-elle différentiable ?
Considérons maintenant l’espacel1des suites réellesx=(xj)∞j=1muni de la norme∥x∥1=∑∞
j=1|xj|. a) Montrer que pour toute forme linéaire continueLsurl1il existe une suite bornéeα=(α1,α2, . . . ) telle que
L(x)=∑∞
j=1
αjxj.
b) Montrer que la norme∥ · ∥1:l1→Rn’est différentiable en aucun point del1(raisonner par l’absurde en utilisant (1)).
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