Equations différentielles

Equations différentielles

Exercice 1

On se propose d’intégrer sur l’intervalle le plus grand possible contenu dans]0,∞[l’équation différentielle : (E) y⁰(x)−y(x)

x −y(x)²=−9x².

1. Déterminera∈]0,∞[tel quey(x) =axsoit une solution particulièrey₀de(E).

2. Montrer que le changement de fonction inconnue : y(x) =y₀(x)−_z(x)¹ transforme l’équation (E) en l’équation différentielle

(E₁) z⁰(x) + (6x+1

x)z(x) =1.

3. Intégrer(E₁)sur]0,∞[.

4. Donner toutes les solutions de(E)définies sur]0,∞[.

CorrectionH ^[000847]

Exercice 2

Résoudre l’équation suivante :

y⁰⁰−3y⁰+2y=e^x.

CorrectionH ^[000863]

Exercice 3

Résoudre l’équation suivante :

y⁰⁰−y=−6 cosx+2xsinx.

CorrectionH ^[000864]

Exercice 4

Résoudre l’équation suivante :

4y⁰⁰+4y⁰+5y=sinxe^−x/2.

CorrectionH ^[000865]

Exercice 5

On considère l’équation :

y⁰⁰+2y⁰+4y=xe^x (E) 1. Résoudre l’équation différentielle homogène associée à(E).

2. Trouver une solution particulière de(E)(expliquer votre démarche), puis donner l’ensemble de toutes les solutions de(E).

3. Déterminer l’unique solutionhde(E)vérifianth(0) =1 eth(1) =0.

4. Soit f :]0,∞[−→Rune fonction deux fois dérivable sur]0,∞[et qui vérifie : t²f⁰⁰(t) +3t f⁰(t) +4f(t) =tlogt.

www.al3abkari-pro.com

(a) On poseg(x) =f(e^x), vérifier quegest solution de(E).

(b) En déduire une expression de f.

CorrectionH ^[000866]

Exercice 6

On considère l’équation différentielle suivante :

(E.D.) y⁰⁰−4y⁰+4y=d(x), oùd est une fonction qui sera précisée plus loin.

1. Résoudre l’équation différentielle homogène (ou sans second membre) associée à(E.D.).

2. Trouver une solution particulière de(E.D.)lorsqued(x) =e^−2x et lorsqued(x) =e^2xrespectivement.

3. Donner la forme générale des solutions de(E.D)lorsque d(x) =e^−2x+e^2x

4 .

CorrectionH ^[000872]

Exercice 7

Résoudre :y⁰⁰(x) +2y⁰(x) +y(x) =2xcosxcoshx.

CorrectionH ^[000880]

Exercice 8

Déterminer les f ∈C²(R,R)telles que :

∀x∈R,f⁰⁰(x) +f(−x) =xcosx.

CorrectionH ^[000881]

Exercice 9

En posantt=arctanx,résoudre :

y⁰⁰(x) + 2x

1+x²y⁰(x) + y(x)

(1+x²)² =0.

CorrectionH ^[000884]

Exercice 10

Résoudre par le changement de fonctionz=^y_x l’équation différentielle : x²y⁰⁰(x)−2xy⁰(x) + (2−x²)y(x) =0.

CorrectionH ^[000885]

www.al3abkari-pro.com

Correction del’exercice 1N

Le but de l’exercice est de résoudre l’équation y⁰(x)−y(x)

x −y(x)²=−9x². (E)

1. Trouvonsa∈]0,∞[tel quey₀(x) =axsoit une solution particulière. Puisque y⁰₀(x)−y₀(x)

x −y₀(x)²=−a²x², y₀est solution si et seulement sia=±3. On choisita=3.

2. Sizest une fonctionC¹ne s’annulant pas, on posey(x) =3x−1/z(x). Alorsyest solution si et seule- ment si

z⁰(x) z(x)²+ 1

xz(x)− 1

z(x)²+ 6x z(x)=0.

En multipliant parz(x)², on obtient queyest solution de (E) ssizvérifie z⁰(x) +

6x+1

x

z(x) =1. (E1)

3. On résout (E₁) sur ]0,∞[. Une primitive dex7→6x+1/x est x7→3x²+ln(x), donc les solutions de l’équation homogène sont lesx7→Aexp(−3x²−ln(x)). On cherche une solution particulière de (E₁) sous la forme z_p(x) =α(x)exp(−3x²−ln(x)); alors z_p est solution si α⁰(x)exp(−3x²−ln(x)) =1, c’est-à-dire siα⁰(x) =xexp(3x²), par exemple siα(x) =exp(3x²)/6. Les solutions de (E₁) sont donc les

z(x) =1+Aexp(−3x²)

6x , avecA∈R.

4. On va maintenant en déduire les solutions de (E) définies sur]0,∞[.

Soityune solutionC¹définie sur]0,∞[. On suppose dans un premier temps quey(x)>3xsur l’intervalle ouvertI⊂]0,∞[, pris aussi grand que possible. Alorsy(x) =3x−1/zI(x)pour une certaine fonctionzI<

0 qui estC¹surI. D’après la question précédente, on a nécessairementz_I(x) = [1+A_Iexp(−3x²)]/6x pour une certaine constanteAI∈R. PuisquezI<0, cela imposeAI <0, mais du coupI6=]0,+∞[car 1>AIexp(−3x²)sixest assez grand.

Dans tous les cas, il existe donc un intervalle ouvertJtel quey(x)<3xsurJ. On suppose encore que J est aussi grand que possible. SurJ,y(x) =3x−1/zJ(x)pour une certaine fonctionzJ>0 qui estC¹ surJ. Encore d’après la question précédente,zJ(x) = [1+AJexp(−3x²)]/6xpour une certaine constante A_J. Puisque l’intervalle ouvertJ=]a,b[a été supposé maximal, et puisquey est supposée définie sur ]0,+∞[, si a>0 on a y(a) =3a et de même si b<∞, y(b) =3b, car sinon par continuité de y on aurait encorey(x)<3xsur]a−ε,b+ε[pour un petitε >0. Cela n’est possible respectivement que si z_J(x)→+∞lorsquex→aouz_J(x)→+∞lorsquex→b. Or on a dit quez_J = [1+A_Jexp(−3x²)]/6x, cela n’est donc pas possible du tout (sauf précisément si respectivementa=0 etb=0).

Donc soity(x) =3xsur]0,+∞[, soity(x)<3xsur]0,+∞[. Dans ce dernier cas,z(x) =1/(3x−y(x)) est définie sur]0,+∞[et s’écritz(x) = [1+Aexp(−3x²)]/6x. Puisquez>0, nécessairementA>−1.

Donc siyest solution, alors

y(x) =3x ou y(x) =3x− 6x

1+Aexp(−3x²) avecA>−1.

Réciproquement, siyest ainsi définie, alors yest définie etC¹ sur]0,∞[, et on peut vérifier que c’est bien une solution.

Correction de

www.al3abkari-pro.com

y⁰⁰−3y⁰+2y=e^x. Le polynôme caractéristique estf(r) = (r−1)(r−2)et les solutions de l’équation homogène sont donc toutes les fonctions :

y(x) =c₁e^x+c₂e^2xavecc₁,c₂∈R.

On cherche une solution particulière de la formeyp(x) =P(x)e^x, on est dans la situation(ıı) la condition(∗) surPest :P⁰⁰−P⁰=1, etP(x) =−xconvient. Les solutions de l’équation sont donc les fonctions :

y(x) = (c₁−x)e^x+c₂e^2x avecc₁,c₂∈R.

Correction del’exercice 3N

y⁰⁰−y=−6 cosx+2xsinx. Ici f(r) = (r−1)(r+1)et l’équation homogène a pour solutions : y(x) =c₁e^x+c₂e^−x avecc₁,c2∈R.

On remarque que la fonction 3 cosx vérifie l’équation :y⁰⁰−y=−6 cosx, il nous reste donc à chercher une solutiony₁de l’équationy⁰⁰−y=2xsinx, caryp(x) =3 cosx+y₁(x)sera une solution de l’équation consid´rée.

Pour cela, on remarque que 2xsinx=Im(2xe^ix) et on utilise la méthode décrite plus haut pour trouver une solutionz₁de l’équation :y⁰⁰−y=2xe^ix. On cherchez₁sous la formeP(x)e^ixoùPest un polynôme de degré 1 car f(i) =−26=0. On a f⁰(i) =2i, la condition(∗)surPest donc : 2iP⁰(x)−2P(x) =2xce qui donne après identificationP(x) =−x−i. Alorsy₁(x) =Im((−x+i)e^ix) =−xsinx−cosx. Les solutions sont par conséquent les fonctions :

y(x) =c₁e^x+c₂e^−x+2 cosx−xsinxavecc₁,c₂∈R.

Autre méthode pour trouver une solution dey⁰⁰−y=2xsinx: On la cherche de la formey₁(x) =A(x)sinx+ B(x)cosx oùA,Bsont des polynômes de degré 1 carin’est pas racine de l’équation caractéristique (danger: pour un second membre du typeQ(x)sin(βx)e^αxla discussion porte surα+iβ et non surαouβ...). On calcule y⁰₁,y⁰⁰₁ et on applique l’équation étudiée ày₁. . . on obtient la condition :

(A⁰⁰−A−2B⁰)sinx+ (B⁰⁰−B−2A⁰) =2xsinx qui sera réalisée si :

A⁰⁰−A−2B⁰=2x B⁰⁰−B−2A⁰=0 .

On écrit : A(x) =ax+b et B(x) =cx+d, après identification on obtient : a=d=−1, b=c=0, ce qui déterminey₁.

Correction del’exercice 4N La solution générale est de la forme

y(x) =K₁cos(x)e^−x/2+K₂sin(x)e^−x/2−1

8xe^−x/2cos(x) (K1etK₂constantes réelles) et les conditions initiales donnentK₁=0,K₂=1/8.

Correction del’exercice 5N

1. Le polynôme caractéristique associé àE est : p(x) =x²+2x+4 ; son discriminant est∆=−12 et il a pour racines les 2 nombres complexes−1+i√

3 et−1−i√

3. Les solutions de l’équation homogène sont donc toutes fonctions :

y(x) =e^−x(acos√

3x+bsin√ 3x) obtenues lorsquea,bdécriventR.

2. Le second membre est de la forme e^λxQ(x) avec λ =1 et Q(x) =x. On cherchera une solution de l’équation sous la forme :y_p(x) =R(x)e^xavecRpolynôme de degré égal à celui deQpuisquep(1)6=0.

On pose doncR(x) =ax+b. On a

00(x) + ⁰(x) + (x) = (7ax+ +4a)e^x.

www.al3abkari-pro.com

Doncypest solution si et seulement si 7ax+7a+4b=x. On trouve après identification des coefficients : a=1

7 et b=−4

49.

La fonctiony_p(x) =¹₇(x−⁴₇)e^xest donc solution deE et la forme générale des solutions deEest : y(x) =e^−x(acos

√

3x+bsin

√ 3x) +1

7(x−4

7)e^x;a,b∈R.

3. Soithune solution deE. Les conditionsh(0) =1,h(1) =0 sont réalisées ssi a=53

49 et b=−53 cos√ 3+3e² 49 sin√

3 .

4. (a) On a :g⁰(x) =e^xf⁰(e^x)etg⁰⁰(x) =e^xf⁰(e^x) +e^2xf⁰⁰(e^x)d’où pour toutx∈R:

g⁰⁰(x) +2g⁰(x) +4g(x) =e^2xf⁰⁰(e^x) +2e^xf⁰(e^x) +4f(e^x) =e^xloge^x=xe^x doncgest solution deE.

(b) Réciproquement pour f(t) =g(logt)oùgest une solution deEon montre que f est 2 fois dérivable et vérifie l’équation donnée en 4. Donc les fonctions f recherchées sont de la forme :

1 t(acos(

√

3 logt) +bsin(

√

3 logt)) +t

7(logt−4

7);a,b∈R.

Correction del’exercice 6N

1. L’équation caractéristiquer²−4r+4=0 a une racine (double)r=2 donc les solutions de l’équation homogène sont les fonctions :

y(x) = (c1x+c₂)e^2xoùc₁,c2∈R.

2. Pourd(x) =e^−2x on peut chercher une solution particulière de la forme :y₁(x) =ae^−2x car−2 n’est pas racine de l’équation caractéristique. On ay⁰₁(x) =−2e^−2xety⁰⁰₁(x) =4ae^−2x. Par conséquenty₁est solution si et seulement si :

∀x∈R (4a−4(−2a) +4a)e^−2x=e^−2x donc si et seulement sia=₁₆¹.

Pourd(x) =e^2xon cherche une solution de la formey₂(x) =ax²e^2x, car 2 est racine double de l’équation caractéristique. On ay⁰₂(x) = (2ax+2ax²)e^2x ety⁰⁰₂(x) = (2a+4ax+4ax+4ax²)e^2x= (4ax²+8ax+ 2a)e^2x. Alorsy₂est solution si et seulement si

∀x∈R (4ax²+8ax+2a−4(2ax+2ax²) +4ax²)e^2x=e^2x donc si et seulement sia=¹₂.

3. On déduit du principe de superposition que la fonction yp(x) =1

4(y1(x) +y₂(x)) = 1

64e^−2x+1 8x²e^2x

est solution de l’équation pour le second membre donné dans cette question, et la forme générale des solutions est alors :

y(x) = (c₁x+c₂)e^2x+ 1

64e^−2x+1

8x²e^2xoùc₁,c₂∈R.

www.al3abkari-pro.com

Correction del’exercice 7N

Réponse :(λx+µ)e^−x+₂₅^ex [(3x−4)cosx−(4x−2)sinx] + (sinx−xcosx)e^−x.

Correction del’exercice 8N

Réponse : ¹₂(−xcosx+sinx) +λcosx+µsinhx.

Correction del’exercice 9N Réponse :x→ ^√λx+µ

1+x²,(λ,µ)∈R².

Correction del’exercice 10N

Réponse :x→λxsinhx+µxcoshx,(λ,µ)∈R².

www.al3abkari-pro.com