Universit´e Paris Diderot L3 Maths Appliqu´ees
M2303 Analyse de Hilbert et de Fourier Ann´ee 08/09
Feuille d’exercices 3
1. Soientf, gdes fonctions bor´eliennes de lR dansC. On dit quela fonctionf est convolable avec la fonction g si
Z
lR
|f(t)g(x−t)|dt <+∞
pour presque tout x∈lR. Si cette condition est v´erifi´ee, on pose (f ∗g)(x) =R
lRf(t)g(x−t)dt pour presque tout x∈lR.
a) Montrer que, si f est convolable avec g, alors g est convolable avec f et (f∗g)(x) = (g∗f)(x) pour presque tout x∈lR.
b) Montrer quef est convolable avecg dans chacun des cas suivants, et calculer f∗g : f = 1l[−a,+a], g(x) = sinx; f =g= 1l[0,+∞[.
c) On suppose que f ∈ L1(lR) et que g ∈L∞(lR). Montrer que f etg sont convolables, quef ∗g∈L∞(lR) et quekf ∗gk∞≤ kfk1kgk∞.
d) On suppose quef ∈ L1(lR) et que g est continue et born´ee sur lR.
Montrer quef etgsont convolables et quef∗gest continue born´ee sur lR. Comparer au b).
Montrer que, si de plus g∈C0(lR), alors f∗g∈C0(lR).
Montrer que, dans l’exercice 5 de la feuille 1, `a la question e), l’´egalit´e p.p. est en fait une
´
egalit´e partout.
2. Convolution d’une fonction de L1(lR)et d’une fonction de Lp(lR),1< p <+∞.
Soient ptel que 1< p <+∞,q son exposant conjugu´e 1
p +1 q = 1
etf ∈L1(lR), g∈Lp(lR).
a) En ´ecrivant|f(t)g(x−t)|=
|f(t)|.|g(x−t)|p1p
.|f(t)|1q, montrer que Z Z
|f(t)g(x−t)|dt p
dx≤ kfkp1.kgkpp.
b) En d´eduire quef ∗g est d´efini p.p., f∗g∈Lp(lR) et kf∗gkp≤ kfk1.kgkp.
c) On posefα(x) =x−α1l[1,+∞[(x). Choisirαetβ de sorte quefα ∈L1(lR) etfβ ∈Lp(lR).
Estimerfα∗fβ(x) quandx→+∞. Confirmer ainsi le r´esultat de la question pr´ec´edente.
3. Montrer que si f ∈L1(lR) etg∈L2(lR), on af[∗g=f .bg.b
Indication: on approchera g dansL2(lR) par les fonctions gn =g.1l[−n,+n] de L1(lR)∩L2(lR) et on utilisera la continuit´e de l’application g7→f ∗g deL2(lR) dans lui-mˆeme (voir exercice 2.).
1
4. Convolution d’une fonction deLp(lR)et d’une fonction deLq(lR), 1≤p≤+∞, 1 p +1
q = 1.
Soient p tel que 1≤p≤+∞,q son exposant conjugu´e et f ∈Lp(lR),g∈Lq(lR).
a) Montrer `a l’aide de l’in´egalit´e de H¨older que le produit de convolution f∗g est d´efini pour tout x∈lR et que, ∀x∈lR, |f ∗g(x)| ≤ kfkpkgkq.
b) On suppose ici quef est une fonction en escalier. Montrer quef∗gest continue sur lR.
c) Montrer la continuit´e def∗g dans le cas g´en´eral, en utilisant la densit´e de l’ensemble des fonctions en escalier dansLr(lR) pour 1≤r <+∞.
d) Montrer que siφ etψsont deux fonctions en escalier, on a φ∗ψ(x)∈C0(lR).
En d´eduire que si 1< p <+∞ on af ∗g∈C0(lR).
Montrer par un exemple que cela n’est pas n´ecessairement le cas sip= 1.
e) En prenant pourf etgdes fonctions de la forme x7→x−α(lnx)−β1l[2,+∞[(x), pour des exposantsα etβ convenables, montrer que f∗g peut n’appartenir `a aucun espace Lr(lR) avec r <+∞.
5. On revient `a la question d) de l’exercice 6 feuille 1. Pour quelles valeurs de a, b > 0 peut-on affirmer que l’´egalit´e ´etablie p.p. est une ´egalit´epartout ?
6. On se propose de montrer que sif ∈L1(lR) etg∈L2(lR) v´erifientfb=bg, alorsf =g p.p.
(Ce qui est connu pour f, g ∈ L1(lR) ou f, g ∈ L2(lR) par injectivit´e de la transformation de Fourier surL1(lR) et sur L2(lR).)
On suppose donc fb=bg avec f ∈L1(lR) etg∈L2(lR).
Pour τ >0, on d´efinit (comme dans le cours) la fonction Kτ(x) = 1
τ1l[0,τ](x).
a) Montrer que la fonctionf∗Kτ est born´ee et ´el´ement deL1(lR), donc ´el´ement deL2(lR).
b) Montrer que f ∗Kτ = g∗Kτ dans L2(lR) (pour tout τ > 0) par injectivit´e de la transformation de Fourier surL2(lR).
c) Conclure en faisant tendre τ vers 0.
7. Montrer que si f ∈L1(lR) v´erifiefb∈L2(lR), alors f ∈L2(lR).
Indication: on utilisera l’exercice pr´ec´edent en introduisant une fonctiongdeL2(lR) bien choisie.
8. a) Montrer l’identit´e
f.gc = 1 2πfb∗bg
dans les deux cas suivants: (i) f, g,f ,bbg∈L1(lR), (ii)f, g∈L2(lR).
(Dans chacun des cas on pr´ecisera `a quel titre les transformations de Fourier et les produits de convolution qui apparaissent dans cette relation ont un sens.)
Indication: pour (ii), on utilisera la densit´e de X dansL2(lR).
b) Pour touta >0, on d´efinitfa(x) = sinax
x (x∈lR). Calculer fa∗fb poura, b >0.
9. On suppose que f est une fonction de classe C2 sur lR et quef, f0 etf00 sont ´el´ements de L1(lR). Exprimerfc00 en fonction defbet montrer que f ∈X (o`u X est l’ensemble des fonctions int´egrables, continues, born´ees et de transform´ee de Fourier int´egrable).
2