lr 'ld

Unîversîié H.B.B. - ^Chlef

Faculté de Génie Civil et d'Architecture

Département de Génie Civil

ExERcIcE'N'l : (4 POINTSI A/t

Fr=150N

A

Figure lb

Méthode de la règle du parallélogramme des forces :

On trace le

parallélogramme

des forces OABC (Figure 1b), on joipant _de l'extrémité de chaque force

une

parallèle de l'autre force. La

diagonale

OB

représente la résultante des deux forces

F,

de module :

y',r.O"

obtient le module de

La direction de R, est obtenue par

l'application

du théorème des sinus du triangle

OAB

:

Mécanique Rationnelle 53 _{_} Gênie Givil et ^TP

Mrrriqu,

Rtionnette

2'

/r'

FrF2R

Sin a2 ^Sin a1 ^Sin

Qr

- ^a)

EXERCTCE N"2 : (5 POTNTS) llglr+)

Soit

l'arc AB

en béton armé, de

rayon\

représenté dans la

æ ./// , l-Z'

EXERCTCE N'3 : (4 POTNTSI (,1

_Ct

Ql

On

considère

le

cube

ABCDEFGH de'côté'a (Figure

3).

Les axes

Ox, Oy

et Oz passent par

le

centre de symétrie _O et sont parallèles aux'côtés du cube.

1 l:..

Année llnlaersltqlre 2075/ 2076

'ld

lr

Solution:

/r

-Le corps solide est

l'arc AB

en béton armé,

'/ -Les liaisons sont: l'appui double en A et l'appui

3

^simple

^enB,

/r

-Le système de forces est plan.

Y _-On

supprime les liaisons dans

la

Figure 2.a,

et on

les

?

^{remplace par} les réactions

qui

leurs correspondent dans la

Figwe

2.b. D'après I'axiome des liaisons, le portique

. ^AB

^devient

^libre

^sous I'action du système de forces en plan.

-Pour la détermination des réactions Ray, Re* et

Rs,

on

écrit la condition d'équilibre

statique

du

corps solide

qui

est

le

torseur des forces extérieures en

A nul,

où bien la projection de ces éléments sur les axes est nulle:

ü ËËo=ô, ËF,,=ô, ËMo1F,;:ô

i=l i-l i=l

æÿi*=ô êR*-ZP=o

⁽¹⁾

?tir=ô

_i=1

^{o Rrv-3P + R*r- o}

^1zy

ü\fr^rl,r=ô ^{<) -} 3PxR +2PxRsin30" +Rsrx2R =

⁰ (3)

La solution des équations d'équilibres

(l),

(2) et (3) _donne :

Figure

2.b

cL

=

^c[1+c[2

Qtr)

I r* _{-r* -r-l}

Io ₌ tt

_l

rl -I* Iyy -Irr

l

,/ _L-r^ -ro \ )

Puisque I'axe Oz est un axe de ryméüie, les

^produits

d'inerties sont nuls (I,y = I- : I* : ^{0). Le reste}

^des

éléments de la matrice s'écrit alors :

bU ^{r-=,fiv' *} r')4.,

ryÿ =

Ix2

^{+ z}

^2)dm, I.o=,Ir, +r,)a-

La makice d'inertie au

centre

O du cube ABCDEFGH,

s'écrit :

D'où

la

matice

d'inertie du cube au

cente

O, s'écrit :

.", [l ^{o ol}

?'"=uL3àîl

2- le vecteur unitaire du vecteur de la diagonale

AF

;

les

^{cosinus directew} de la diagonale

AF,

Les

coordonnées des points

A

(0.5a, -0.5a,

-0.5a) et F (

0.5a,0.5a, 0.5a)

I:e vecteur de la diagonale

AF

:

i

La masse m du parallélépipède est :

p: _pV:

p a3

Et l'élément de la masse :

dm

=

^pdxdydz,

iet

-al2

<x< aD,

^-al2

^<y

^<

al2, -alT<z<

al2,

i: i

on remarque que les termes

J*2d_, JVrA.

^et

(s)

^(s)

,!rz a^

^tendent

^{vers le} calcul d'un

seul

type

d'intégrale (s)

r.= _J*2dm

i:

,r

^(S)

i'III

in= (§) (v) .Jr'o-= o.lr'oroyo,

=

o _; i t *'a*î* t* ^_;

⁼

ru*=+

De lamême manière :

?. r.

^mà2

Jv-am= lz-dm=

lt'

^(s)

-

D'où:

qr;-= ^Iyy

⁼

^{r- =}

,J,,r'

+22'1dm=

,Jv'4.*,lr'u. =+

ÂF = ^(xr - ^{xJî+ (yr} - ^{yJi+ (zs} - ^zr)k

ÂÉ = -ai+ ^a|+

^ai<

Le module de

ÂF

llÀËll =

llÂÉll =@=avt(m)

Les cosinus directeur de la force

F

:

^ ^(x. - xJ ^-V5

cos

ux = _liFll =

₃

'*[â ^{ii] e[ r')}

D'où le moment d'inertie par rapport à la diagonale

(AF)

^2

^ ^(Yr - Yr) ^V3

cos

uv =

16Ïll =

₃

^ (2"-zo) €

cos uz

=

ll;Ëll =

₃

D'où:

le vecteur unitaire du vecteur de la diagonale

(AF) i

^{est :}

[cose,) Jrf-l)

n=l cosQ-. l=-l ¹

^I

lVl*re',) ^{3 [t,J}

3- Le moment d'inertie par rapport à la diagonale

(AF)

du cube.

Le moment d'inertie par rapport à un axe quelconque passant par le centre O du solide, est donné par la relation :

+t

,6 rÆn

^Io

ⁿ

où:

i

^est le vecteur unitaire du vecteur de la diagonale

(AF);

+t

n

^{est le tansposé du vecteur}

ⁿ

;

16 le moment d'inertie par rapport au centre O.

Nous avons :

Jtr-1) n-_l 1

^I

3 [rJ

Alors,

n'=|(-r r t; _ù

/J

Et

I*: {' (-r â\

_J

t;

r

est: _{Iar =}

r'tr

Gg)

XtV tZ

⁾ orthonorrné, direct et mobile, par rapport au repère

fxe Rr(O, Xl tY pZ1)

Solution

:

Les données du problème sont :

Le repère R

(O, xryrz

) mobile ^(Repère

relatif)

I-re repère

Rt(Or, xt

r

ÿ

t eZ1

)

f:xe (Repère absolu) Le vecteur de position d'entraînement de

O

à O1:

L'angle de rotation de R/R1

(Y1,x) = V ^{(\i, constante)}

Le vecteur taux de rotation de R/Re,

dntno

^:

Le point matériel

M

défini par les coordonnées :

x =

t,

_{ÿ =}

é, ,z:0

^(cm)

Le vecteur de position

relatifdu

point

M

s'écrit :

f-le

vecteur de la position relative du point

M

dans le repère mobile.

L/Onl[=xx +yy +zz= 0x +2ty +02

t/ rr

Le vectew de position absolu du point

M

est :

O1M=O,O + OM

2-Le _li vecteur taux de rotation de R./R1,

dn

I

n,

^,

C)nlR, 'dr =O= -jrr=ÿzt dv-

3- l'expression

analÿique

du vecteur vitesse absolue du point

M,

I-e

vecteur vitesse absolue

du point M

^dans

le

repère R s?écrit :

= :: ^{aR'ôF aR'ôF dR'ôM}

[r(uD=VM/R,=- d-= d-* a, tâ

dérivée du vecteur

mobile ôü ^p*

^rapport à un repère

fixe

est :

dR,ôM dRm

jr______:__

=_____:_ +O1OM _=VM/n + OnOM

'dtdt

'il

Vlrln ₌ ^dRoM

dt

la vitesse relative du point

M V"gvr;= ÿorn, + dnoM-

d'entraînement

- _voln, = ^dR'oF

_dt ^{est la}

Rr.

: le vecteur

vitesse vitesse

du point O par rapport

à

4-On déduire les vecteurs vitesses relative,

d'entainement

et absolue du point

M

dans le repère mobile.

Le vecteur vitesse relative du point

M s'écrit

:

dRôü

L ^Vnrn= dt ^{= 2y}

^(cm/sec)

le vecteur vitesses d'entrainement :

dR,016

VolRr ₌ -J- ⁼ O ^Ol

^{Coihcide avec O}

QnOM =Vztn(ty): -\i/t x ^(cm/sec)

D'où:

tr ^{ÿ"(w) =} -qfi; ^(cm/sec)

Par conséquent,

le

vecteur vitesse absolue du

point M

par rapport à R1 est :

/ri ^{n(M) = ÿvrrn, =-2ÿt; +} 2î ^(cm/sec)

- l'expression

analÿique

du vecteur accélération absolue du point

M,

Le

vecteur accélération absolue du

point M

par rapport au repère

fixe

R1,

s'écrit

:

ir(M)=irwn - d2&6ùî

=

d&ÿ''&

-a&(ÿ*'**ÿor*, * ôn'oil

₎

// dt2 dt

dt

d*'ÿrr*, d*'ÿor*, dR'd dR'ôM

aa(ill)=

dt +

dt *

* ^,rOilt

⁺

On (l) *

On applique la dérivation d'un vecteur mobile par rapport à

un

repère

fixe à la

dérivée des vecteurs

mobiles ôM .t

Vurn

^pax rapport au repère

fixe

Ro:

dR,oM

-__-_:__

= vurn +onoM

dt

dR'ÿurn ^dRÿrvrrn

dt = dt ^+OnVnrn

lxERcIcE N'4 : (? PoINTsl \ùù

Un point matériel

M

mobile par rapport au repère R (O,

dR,ô5

= Voln

dt v' Nr

Donc, la formule du

vecteur vitesse absolue

du point M,

s'exprime:

dR'6fr

ù,/

^V

^(M)=VurRr

⁼

- d-= ^{Vu/n +VoiRr + OaOM}

Avec

l/

L

(El{ )

où:

, dR,ÿ*,*

= ^{aM/R +Ç)nVuln}

dt Avec:

* _dRîrr*

aM/R = --

le vecteur accélération relative,

dt

On remplace ces développements dans l'expression

(l),

on obtient l'expresse du vecteur accélération absolue ^:

ir(M)=iurn, =i*,* ^+2fi ,.ÿ',*)rio,*, *{} _{^or*ô^6 ^oM}

t/

-On déduire les vecteurs vitesses relative, complémentaire (Coriolis), d'entrainement et absolue du point

M

dans le repère mobile.

Le vecteur accélération relative du point

M,

est :

dRÿurn

tr ^{a,r(M) = âM/R = = ô (cm/sec2)}

Le vecteur accélération complémentaire

(Coriolis)

:

,,àc(M)= ^{2 (o ^V*rn)=z (Vi,} "tzil)= -+qi

Le vecteur accélération d'entralnement ^:

; * +nôü*ô^ft"ffi)

F ^"(M)= ^to/Rr *

dt

Avec

ao/Rr=-

d==ô ^(cm/sec2)

'd*'ô

^offi ⁼

^ô

dt

)- l-

üÿ a"(d ^oü)=

-\

-zÿ'ti ^(cm/sec2)

Donc, le vecteur accélération d'entraînement s'écrit ^:

f Â"$,tt)= ô,,.(ô ,..m)= -zÿ'ti ^(cm/sec2)

Enfin, le

vecteur accélération absolue du

-.1

aa(M)= aM/R --4{, ^x,,r2ÿ'ty

/.2 ^@

//

j

- t_ \- dR,ô __ç

ae(M)=ayyp,

-ay7p+2[fl

nVrvgn]raorn,

+ * nOM+On§l nOM

dt

(

ÿ ^constante )

point M est

:

(cm/sec2)

G/()