I. TRAVAIL D’UNE FORCE

Energétique du point matériel et du solide en translation

I. TRAVAIL D’UNE FORCE

I.A.1 Introduction : approche intuitive du travail.

Dans notre vie de tous les jours nous utilisons souvent le terme de travail en disant « aujourd’hui j’ai travaillé (bossé) dur . Je suis épuisé, etc… « . Cette terminologie s’applique à beaucoup de situations, mais à chaque fois elle se traduit par une fatigue de notre organisme qui demande du repos et une bonne alimentation pour « recharger les batteries ». Il faut restituer notre réserve d’énergie. Le système pris en compte est ici notre organisme.

On verra au cours des prochains chapitres comment ce problème de travail et d’énergie sont traités par les physiciens, d’une manière plus universelle et plus précise. En voici une première approche :

Imaginons que nous ayons à soulever une charge de masse m sur une hauteur h selon deux situations différentes présentées ci-dessous :

Que se passe-t-il dans la situation (1) ?

L’opérateur doit exercer une force F1 au moins égale (en intensité) au poids de l’objet. Si F1 compense P alors l’objet sera soulevé à vitesse constante jusqu’à atteindre la hauteur h. On a ici F1 = m.g.

Que se passe-t-il dans la situation (2) ?

Supposons pour simplifier que le plan soit lisse (exemple une pente verglacée) dont on peut négliger les frottements devant les autres forces. Alors l’opérateur devra exercer une force F2 qui compense l’action conjuguée de P et R, ce qui revient à écrire F2 = m.g.sinα . Dans ce cas aussi, l’objet parviendra à la hauteur h animé d’un mouvement uniforme, mais en ayant parcouru une longueur l .

Comparons le produit F1.h avec F2.l . On constate que F1.h = m.g.h =m.g.l.inα = F2.l !

Ainsi on a obtenu une grandeur qui se conserve : le produit d’une force par un déplacement. Ce que l’on a gagné en force (on « tire » moins fort sur l’objet), on le perd en déplacement : on doit agir plus longtemps.

C’est ce produit force x déplacement qu’on appelle travail en physique.

I.A.2 Travail d’une force constante lors d’un déplacement.

Rappel : Une force

F

est constante si seul son point d’application peut varier au cours du temps. Sa direction, son sens et son intensité restent constants.

I.A.2.a Cas d’une force dont le point d’application effectue un déplacement rectiligne.

I.A.2.a.1 Illustration :

Dans l’illustration ci-contre, le tracteur tire un tronc d’arbre sur une route rectiligne. La force de traction peut se décomposer en deux composantes , l’une perpendiculaire au déplacement, l’autre dans le sens du déplacement souhaité.

Seule la seconde aura un effet sur le déplacement longitudinal du tronc, c’est de cette composante qu’on tire profit. Si le point

d’application de

F

se déplace d’un point A à un point B, son travail effectif sera alors W = FT.AB.

Mais F_T = F.cosα où α est l’angle entre les deux forces.

Le travail peut alors s’écrire W =

F

.

AB

I.A.2.a.2 D’où la définition :

Le travail d’une force constante

F

, lors d’un déplacement rectiligne de son point d’application d’un point A vers un point B est égal au produit scalaire du vecteur force par le vecteur

déplacement et s’écrit :

WAB(

F

) =

F

.

AB

ou WAB(

F

) = F.AB.cosαααα avec α angle entre

F

et

AB

Unités : F en N ; AB en m ; WAB en J

Rem, la notation W provient du terme anglais work signifiant travail.

I.A.2.a.3 Propriétés :

• Le travail est une grandeur algébrique, c’est à dire que W peut être positif , négatif ou nul.

• Un travail moteur est tel que W > 0. Dans ce cas, la force apporte de l’énergie au système.

Cela se produit lorsque l’angle α est aigu ( 0<α<90°), ce qui se traduit par cosα > 0.

• Un travail résistant est tel que W < 0 ; Dans ce cas, la force retire (absorbe) de l’énergie au système.

Cela se produit lorsque l’angle α est obtus (α>90°), ce qui se traduit par cos α <0.

• Un travail nul, lorsque W = 0, ce qui se produit quand α = +/- 90°. La force agit perpendiculairement au déplacement. Sa contribution énergétique au système est nulle.

I.A.2.b Cas d’une force constante dont le point d’application effectue un déplacement quelconque.

Illustrons ceci par la figure ci-contre :

Le point d’application de

F

se déplace sur une trajectoire curviligne d’un point A à un point B en restant constant.

Pour calculer son travail, on décompose la trajectoire curviligne en autant de petits segments rectilignes nécessaires pour appliquer la définition vue dans le paragraphe précédent.

Effectuons le calcul du travail de la force

F

: W_AB(

F

)=W_AA1(

F

)+W_A1A2(

F

)+…+W_AiAi+1(

F

)+..

=

F

.

AA 1

⁺

F

.

A 1A 2

^+…+

F

.

A

_i

A

_i+1 +…

=

F

.(

AA 1

+

A 1A 2

+…+

A

_i

A

_i+1+…)

=

F

.

AB

!

Conclusion: tout s’est passé comme si le point d’application de

F

s’était déplacé en ligne droite de A vers B.

I.A.2.c Travail d’une force constante lors d’un déplacement : On retiendra le résultat important suivant :

Le travail d’une force constante pour un déplacement quelconque de son point d’application est indépendant du chemin suivi. Il ne dépend que du point de départ et du point d’arrivée.

On peut écrire : WAB(

F

) =

F

.

AB

quel que soit le trajet suivi pour aller de A à B.

I.A.2.d Exemples.

I.A.2.d.1 Cas du poids :

Soit un objet de masse m , se déplaçant d’un point A situé à l’altitude zA vers un point situé à l’altitude zB, alors le travail du poids de ce corps lors du déplacement est : WAB =

P

.

AB

= m.g.(zA–zB)

Avec m en kilogrammes (kg), zA et zB en mètres (m), et g = 9,8 m.s^–2

Rem : Si zA > zB , le mobile descend lors du déplacement, dans ce cas le poids apporte de l’ énergie au système ce qui se traduit par un travail moteur.

Si z_A < z_B le mobile s’élève lors du déplacement, dans ce cas le poids absorbe de l énergie au système, ce qui se traduit par un travail résistant.

Montrons sur un exemple comment on obtient ce résultat.

Sur la figure ci-contre, on peut imaginer un chemin différent de celui emprunté naturellement par la pierre.

En effet, le travail du poids étant indépendant du chemin suivi (cf paragraphe précédent) on peut imaginer que la pierre chute verticalement de A à B’ puis effectue une translation horizontale de B’ à B.

On a alors : W_AB’ (

P

)=

P

.

AB '

’ = P.AB’.cos(0) = m.g.(zA–zB) (zB’ = zB)

Et W_B’B(

P

)=

P

.

B' B

= P.B’B.cos(90) = 0 D’où WAB(

P

)=

P

.

AB

=

P

.(

AB '

+

B

B'

)=WAB’(

P

)+WB’B(

P

)=m.g.(zA–zB).

I.A.2.d.2 Travail de la force électrique.

Considérons une charge q traversant une zone où règne un champ électrique uniforme

E

Elle est alors soumise à la force électrique constante

F

= q.

E

Son travail lorsque la charge passe d’un point A à un point B s’écrit : WAB(

F

)=q.

E

.

AB

Mais

E

.

AB

= VA–VB (par définition de la différence de potentiel entre A et B)

On obtient donc le résultat suivant :

Le travail de la force électrique, lorsque la charge se déplace de A vers B est WAB(

F

) = q.(VA–VB) où q est en coulomb (C) et VA ou VB en Volt (V)

I.A.3 Travail d’une force non constante.

I.A.3.a Travail élémentaire:

Le calcul du travail, dans un cas où

F

est modifié au cours du déplacement, s’effectue de la façon

suivante :

On suppose que la force reste constante pendant un intervalle de temps bref et que son point d’application se déplace sur une portion de courbe très petite assimilable à un segment de droite .

Si on note δ

l

cette portion de trajectoire, alors le travail de la force

F

sera appelé travail élémentaire et noté δW =

F

.δ

l

Le travail total sera obtenu en sommant tous ces travaux élémentaires sur la trajectoire complète.

Rem : En mathématique il existe un outil permettant de réaliser cette opération facilement, c’est l’opération intégration (cf cours de terminale).

I.A.3.b Travail d’une force élastique :

La force de rappel d’un ressort est fonction de son allongement, ce n’est donc pas une force constante au cours du déplacement de son point d’application.

Pour calculer son travail on va donc se servir de la définition précédente et sommer des travaux élémentaires.

Considérons le ressort de la figure ci-contre, de constante de raideur k et d’allongement à vide l0.Prenons comme origine O du repère cet allongement l0. (cf figure)

Pour une position quelconque x la force de rappel s’écrira alors :

F

= –k.x.

i

Au cours d’un déplacement élémentaire δx.

i

le travail correspondant sera δW=

F

.δx.

i

= –k.x.δx. On obtient alors le résultat important suivant:

Le travail total de la force de rappel d’un ressort de constante de raideur k est , lorsque son allongement passe de la valeur xA à la valeur xB : WAB(

F

)=₂¹

. k .( x

²_A

− x

²_B

)

C’est un résultat très simple à retenir. On voit qu’il ne dépend que de la position de départ et d’arrivée.

Ce résultat est très facile à trouver en utilisant la méthode de l’intégration (cf terminale). On peut cependant trouver ce résultat par une méthode graphique :

Sur le graphique ci-contre on a représenté un rectangle hachuré d’aire kx.δx. Cette aire représente la valeur absolue du travail élémentaire de la force de rappel lors du déplacement δx.

Pour obtenir le travail total (en valeur absolue) lors d’un déplacement de 0 à x, il suffit de calculer l’aire du triangle rectangle de base x et de hauteur kx, qui correspond à la moitié du rectangle de cotés kx et x, à savoir ½.k.x². Pour un déplacement de xA à xB on aura

 WAB = WOB–WOA =½.k.xB2–½.k.xA2

I.A.3.c Travail de la réaction d’un support :

C’est une simple application de la définition d’un travail.

Supposons qu’un skieur soit entraîné par un tire- fesses sur une pente d’un point A à un point B et que la réaction

R

du support se décompose en deux forces , l’une perpendiculaire au plan

R

_N et l’autre

R

_t

parallèle au plan, dirigée dans le sens opposé au déplacement . On suppose le mouvement du skieur uniforme.

A chaque instant

R

_N est perpendiculaire au déplacement donc son travail est nul, et

R

_t reste parallèle et de sens opposé au déplacement donc son travail élémentaire δW(

R

_t ) = Rt.δl. Le travail de

R

_t

sur la trajet A–>B sera égal à WAB(

R

_t )= – Rt.

s

où

s

représente la distance parcourue sur la courbe AB.

Le travail résultant est négatif car la réaction s’oppose au déplacement.

Ici, le travail dépend du chemin suivi !

I.A.4 Force conservative :

Définition : Une force est conservative si son travail ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement de la position des points de départ et d’arrivée.

Exemples : Toute force constante lors d’un déplacement (p.e. le poids) ; la force de rappel d’un ressort.

I.A.5 Puissance d’une force : I.A.5.a Introduction :

De deux moteurs produisant le même travail, le plus puissant est celui qui produit le travail dans le temps le plus court.

Cela conduit naturellement à définir la puissance d’un moteur par le quotient du travail fourni par le temps mis à le fournir.

I.A.5.b Définitions :

I.A.5.b.1 Puissance moyenne :

On appelle puissance moyenne d’une force

F

, le quotient de son travail W(

F

) fourni en une durée δt :

t F P

_m

W

δ )

= (

_{où P}

m est en Watt (W) ; W(

F

) en Joules (J), et δt en secondes (s)

I.A.5.b.2 Puissance instantanée :

On appelle puissance instantanée ’une force

F

la variation instantanée de son travail au cours du temps :

dt F t dW

p ( ) = ( )

on montre que p(t) peut s’exprimer sous la forme suivante : p(t) =

F

.

v

II. ENERGIE CINETIQUE

II.A Energie cinétique d’un système

II.A.1 Introduction :

C’est l’énergie associée au mouvement du système. Un marteau en déplacement possède de l’énergie cinétique qu’il va restituer au clou frappé. Un courant d’eau va mettre en mouvement une roue à aube, etc..

II.A.2 Energie cinétique d’un point matériel :

Un point matériel de masse m et animé d’une vitesse

v

a une énergie cinétique Ec=¹₂.m.v² Ec est une énergie, donc s’exprime en Joules (J) , et m en kg et v en m.s^–1

II.A.3 Energie cinétique d’un solide.

Un solide peut être décomposé en une multitude de points matériels de masses mi, animées de vitesses vi. Son énergie cinétique sera alors la somme des énergies cinétiques de chacun de ces points matériels.

= m

ⁱ

v

ⁱ

E

c ₂¹

. .

²

II.A.4 Energie cinétique d’un solide en translation :

Un solide de masse m animé d’un mouvement de translation de vitesse

v

a pour énergie cinétique : Ec=¹₂.m.v²

II.B Théorème de l’énergie cinétique :

II.B.1 Cas d’un solide :

II.B.1.a Enoncé :

Rappel : un solide est un objet non déformable. Le théorème de l’énergie cinétique se formule alors de la façon suivante :

Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique d’un solide entre deux instants t1 et t2 est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures qui lui sont appliquées :

E

c(t₂) –

E

c(t₁) =

Σ

^W1–>2(

F

ext)

II.B.1.b Exemple :

En travaux pratiques lors de l’étude de la chute libre d’une bille lâchée sans vitesse initiale, on avait obtenu le résultat suivant :

(J)

2 4 6 8 10 W

Ec(J)

2 4 6 8 10

On constate bien que la variation d’énergie cinétique est égale au travail du poids

II.B.2 Cas d’un système déformable :

L’énoncé reste identique au précédent, à ceci près que des forces intérieures au système peuvent le déformer et mettre en mouvement une ou plusieurs de ses parties. Imaginons par exemple un élastique étiré, que l’on lâche. Les forces responsables de sa remise en forme , sont intérieures à l’élastique. En reprenant sa forme initiale, les extrémités prennent de la vitesse. Penser aussi au ressort lanceur de billes d’un flipper, en se détendant, il apporte de l’énergie cinétique à la bille en contact avec une de ses extrémités.

Voici l’énoncé :

Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique d’un système entre deux instants t1 et t2 est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures et intérieures qui lui sont appliquées :

E

^c(t2) –

E

^c(t1) =

Σ

^W1–>2(

F

ext) +

Σ

^W1–>2(

F

int)

Cette dernière relation s’applique donc à tous les cas de figure.

On peut retrouver le cas de figure cité dans le paragraphe précédent en prenant comme système l’association {bille-Terre}.Ce système est alors déformable. Le poids devient une force intérieure. Une autre force intérieure serait l’action de la bille sur la Terre, exactement opposée au poids (principe de l’action et de la réaction). Mais la Terre ne bougera pas au cours de l’expérience du fait de son inertie. Donc seul le point d’application du poids se déplace et fournit un travail.

III. ENERGIE POTENTIELLE

III.A Notion qualitative

III.A.1 Exemples

• -Considérons un élastique : Pour le déformer nous lui apportons de l énergie par un travail fourni par nos muscles.

Cette énergie pourra être restituée par l’élastique si nous le laissons reprendre sa forme. Le forces d’interaction entre molécules au sein de l’élastique ont permis cette libération d’énergie.

• Considérons un ressort de pistolet à fléchette ou de lanceur de bille de « flipper » : Pour le comprimer on lui a apporter de l énergie qu’il a mis en réserve. Celle ci sera restituée à la fléchette ou à la bille, sous forme d’énergie cinétique, lorsque le ressort retrouve sa forme initiale. La force de rappel élastique du ressort a permis cette libération d’énergie.

• Considérons un compresseur à gaz : Le gaz comprimé a accumulé de l’énergie, qu’il va pouvoir restituer plus ou moins rapidement en cédant son énergie à un piston. Les chocs des molécules de gaz contre le piston ont permis cette libération d’énergie.

• Un condensateur chargé accumule de l’énergie électrique provenant du travail électrique utilisé pour amener les charges sur les armatures. Cette énergie pourra être restituée au reste du circuit électrique. Les forces électriques sont responsables de cette libération d’énergie.

• EdF utilise les barrages pour accumuler de l’énergie liée au poids de l’eau, et la restituer quand le besoin se fait sentir. La force d’interaction gravitationnelle appelée aussi pesanteur , a permis cette restitution d’énergie.

• Prenons un clou en fer et plaçons le au voisinage d’un aimant. Une attraction se produit et le clou ou l’aimant se meuvent. Du fait de l’interaction magnétique, il y a eu libération d’énergie.

III.A.2 Définition qualitative.

La qualitatif « potentielle » du latin potens :puissant, signifie qu’un système possède initialement une énergie

« en puissance » susceptible de se libérer sans dès qu’on lui en laissera la possibilité. Un objet soulevé possède une énergie liée à la pesanteur qui sera libérée dès qu’on le lâchera.

On proposera la définition qualitative suivante :

L’énergie potentielle d’un système est l’énergie qu’il possède du fait de sa position .

III.B Expressions de l’énergie potentielle.

III.B.1 Détermination de l’énergie potentielle.

Une énergie potentielle étant liée à une déformation d’un système, elle est relative, c’est à dire qu’il faut attribuer au système une position de référence. L’énergie potentielle n’est définie qu’à une constante près. Ce qui est intéressant pour le physicien, c’est la variation d’énergie potentielle au cours de la déformation, car elle donne l’énergie récupérable . On dira qu’un système déformable possède de l’énergie potentielle si au cours des déformations dues aux interactions entre les différentes parties du système, le travail des forces intérieures ne dépend pas du chemin suivi (on dit que ces forces sont conservatives).

D’où la définition suivante :

La variation d’énergie potentielle d’un système entre deux positions (i) et (f) est égale à l’opposé du travail des forces conservatives intérieures au système entre ces mêmes positions, ce qui s’écrit plus

prosaïquement sous la forme :

∆∆∆∆Ep = Epf – Epi = –Wi->f(

F

int)

L’énergie potentielle s’exprimera uniquement en fonction de paramètres de position tels que : abscisse, altitude, angle,..

III.B.2 Exemples

III.B.2.a Energie potentielle de pesanteur :

Considérons le système {objet-Terre} tel que représenté ci- contre :

Lorsque ce système se déforme, par exemple si l’objet passe d’une altitude zi à une altitude zf, le travail du poids, seule force intérieure considérée est : W_i->f (P)=mg(z_i–z_f)

La variation d’énergie potentielle correspondante sera Ep_f–Ep_i = –m.g.(z_i–z_f) .

Si zi < zf , Epf > Epi, le système se retrouve dans un état d’énergie potentielle finale supérieure.

Essayons de trouver une écriture commode pour l’énergie potentielle de pesanteur :

Celle-ci n’étant définie qu’à partir d’un travail donc à partir d’une

variation, il est commode de se choisir l’origine des énergies potentielles à l’altitude minimale atteinte par l’objet au cours de l’étude de sa déformation.

Au lieu de choisir le sol comme origine des positions, on posera z_i =0.

Pour toute position z mesurée à partir de cette nouvelle origine on aura donc : Ep(z) = Ep(0) +mgz avec m en kg, z en m, g en m/s² et Ep en J

C’est une expression facile à retenir. voir figure ci-contre où l’on étudie le pendule

Pour simplifier, on prendra même Ep(0) = 0J

III.B.2.b Energie potentielle élastique.

Ici le système à considéré est le ressort et l’objet fixé à une de ses extrémités mobile.

Nous savons que lorsque sa longueur passe de l₀ (longueur au repos) à l₀+x , le travail de la force de rappel élastique vaut W=–1/2.k.x² . La variation d’énergie potentielle correspondante sera, par définition :

Ep(x) – Ep(l0) = –W d’où Ep(x) = ½.k.x² + Ep(l0) (où x est en m). on remarque que Ep(x) toujours >0 Ep(l₀ ) est l’énergie potentielle du ressort au repos ; on la pose égale à zéro

III.B.2.c Energie potentielle électrique :

Le système considéré est par exemple {particule de charge q et condensateur}. Le travail de la force électrique sur la charge se déplaçant de A en B est W = q..(VA – VB) = – (Ep(B) – Ep(A))

D’où Ep(B) = Ep(A) +q.(VA–VB) . Prenons comme état de référence VA = OV et Ep(A) = OJ, et posons V=V_B, alors on obtient l’expression simple : Ep (V) = q.V où V est le potentiel correspondant à la position de la particule.

III.B.2.d Energie potentielle d’un système soumis à plusieurs forces conservatives : Il suffit d’additionner les énergies potentielles correspondants aux

différentes interactions. Illustration à l’aide dus système suivant {objet- ressort-terre} :

On choisit comme origine de l’énergie potentielle de pesanteur et élastique, la position où le ressort a sa longueur à vide l0 . Montrer qu’à la position x l’énergie potentielle du système vaut : Ep(x) = ½.k.x² –m.g.x.sinα

IV. ENERGIE MÉCANIQUE :

IV.A Définitions

IV.A.1 Energie mécanique :

On appelle énergie mécanique d’un système, la somme de son énergie potentielle et de son énergie cinétique.

E

m

= Ep + Ec

IV.A.2 Système isolé :

C’est un système qui n’échange pas d’énergie avec l’extérieur.

IV.A.3 Système conservatif :

C’est un système dont l’énergie mécanique se conserve.

IV.A.4 Système dissipatif :

Son énergie mécanique diminue au cours du temps.

IV.B Propriétés :

IV.B.1 Cas d’un système non déformable :

Si le système n’est pas déformable (cas d’un solide), le travail des forces intérieures est nul, il n’y a pas variation d’énergie potentielle. On la pose égale à zéro. D’où :

L’énergie mécanique d’un solide est uniquement sous forme cinétique.

IV.B.2 Cas d’un système déformable et isolé.

IV.B.2.a.1 Soumis uniquement à des forces conservatives :

Dans ce cas, son énergie mécanique se conserve : Em =cste.

IV.B.2.a.2 Soumis à des forces non conservatives

C’est le cas des forces de frottement, leurs travaux dépendent du chemin suivi.

Dans ce cas, l’énergie mécanique diminue au cours du mouvement. L’énergie perdue est transformée en chaleur.