I. Travail du poids, énergie potentielle de pesanteur

A UTRES TRAVAUX

La Thermodynamique englobe la Mécanique donc tous les types de forces y interviennent. Dans le chapitre précédent nous avons étudié le travail des forces pressantes. Nous allons passer ici au travail du poids, du vecteur-tension d’un ressort et des forces électrocinétiques. Ces trois types de force sont regroupées car elles possèdent des propriétés communes qui seront mises en évidence. De plus elles seront couramment utilisées par la suite.

I. Travail du poids, énergie potentielle de pesanteur

A. Existence, définition et expression de l’énergie potentielle de pesanteur

Nous allons montrer que le poids d’un corps est une force conservative. Ceci entraîne l’existence d’une énergie potentielle de pesanteur dont nous établirons l’expression.

Ô lectrice ! Ô lecteur ! Qu’est-ce qu’une « force conservative » ? 1. Travail du poids d’un corps lors d’un déplacement quelconque

T12 Figure 1 : Travail du poids dans un déplacement quelconque.

Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre. Considérons le travail du poids d’un corps de masse m lorsque son centre de gravité effectue un déplacement A ® B quelconque. Le vecteur-champ de pesanteur g est considéré comme uniforme. Donc le vecteur-poids P est constant. Voir figure 1 ci-dessus. Les altitudes sont mesurées sur un axe vertical descendant¹. En utilisant la définition du travail d’une force nous calculons² :

On a ainsi démontré que le travail du poids ne dépend pas de la forme du déplacement mais uniquement du point de départ et du point d’arrivée ; En d’autres termes, que le poids est une force conservative.

Remarque sur les grandeurs influençant le travail du poids : Le travail du poids du corps dépend aussi de sa masse m et de l’intensité de la pesanteur g. Sur la Lune ou sur Mars … En réalité le système considéré n’est pas la masse m mais le système déformable {masse m, Terre}. Par esprit de simplification, on appelle ce système masse m dans le champ de pesanteur terrestre g.

2. Existence de l’énergie potentielle de pesanteur

Ô lecteur ! Ô lectrice ! Comment justifier l’existence de l’énergie potentielle de pesanteur ?

1 Ceci est un choix arbitraire. On peut tout à fait choisir l’orientation opposée. Mais il faut en choisir une !

2 Voir Aides mathématiques Am05 : Primitives. De plus ce calcul est un nouvel exemple du passage d’une intégrale curviligne à une intégrale définie habituelle. Voir T11 Travail des forces pressantes.

W_A→B(!

P)= δW(!

A→B P)

∫ ⁼

^dl "!"

∫

⁼ ∫

^{) =}

∫

W_A→B(!

P)=mg dz z_A

z_B

∫

^{⎡⎣ ⎤⎦ z}

W_A→B(!

P)=mg z

(

)

Le caractère conservatif des forces de pesanteur permet de définir une énergie potentielle de pesanteur, c’est-à-dire une fonction qui ne dépend que de l’état de la masse m. Dans cette situation mécanique sa position définit son état. L’énergie potentielle de pesanteur Epp est définie par sa variation :

3. Expression de l’énergie potentielle de pesanteur

Ô lecteur ! Ô lectrice ! Comment passer d’une variation d’énergie potentielle à l’expression de cette énergie ?

Cette relation étant vraie quels que soient les points A et B, on fixe le point A en un point arbitraire O et on considère le point B comme un point variable. Par esprit de simplification, le point O choisi est l’origine des coordonnées. Le point variable quelconque est noté M. Voir figure 2 ci-dessous. On obtient :

T12 Figure 2 : Les points O et M.

L’expression de l’énergie potentielle de pesanteur s’écrit, avec l’orientation choisie sur l’axe³ :

Remarque sur la constante Epp(O) : L’énergie potentielle de pesanteur en O et plus généralement en tout point d’altitude z = 0, n’est pas déterminée. Ceci n’a pas de conséquence néfaste car seules les variations d’énergie potentielle importent. En effet, comme déjà vu, l’expression du travail du poids ne fait pas intervenir Epp(O).

B. Interprétation de l’énergie potentielle de pesanteur

Ô lectrice ! Ô lecteur ! Connaissez-vous l’interprétation de l’énergie potentielle de pesanteur qui fait intervenir le travail d’un opérateur ?

1. L’idée générale de cette interprétation

Lorsque la masse m se déplace de O à M son mouvement- c’est-à-dire sa trajectoire, sa vitesse, son accélération- dépend de l’ensemble des forces extérieures qu’elle subit. On aimerait relier le travail des forces extérieures autres que son poids au travail de celui-ci et donc finalement à la variation d’énergie potentielle. Lorsque ce mouvement n’est pas précisé il n’y a pas de relation générale.

Par esprit de simplification la résultante des forces extérieures autres que le poids peut être remplacée par une force unique exercée par un opérateur. Son intérêt est aussi d’être ajustable.

2. La mise en œuvre de cette idée

Elle se fait grâce au passage par une transformation thermodynamique. On considère le déplacement de la masse comme une transformation thermodynamique :

3 Avec l’orientation opposée on obtient Epp(M) = mgzM + Epp(O).

E_pp(B)−E_pp(A)

Variation de E_pp

! ## " ## $

Δ note la variation

!" # $ #

!

!

)

ΔE_ppO→M = E_pp(M)−E_pp(O)=−W_O→M(P

!

)=−mgz_M

E_pp(M)=−mgz_M+E_pp(O)

masse m immobile en O

⎯ →

⎯

Si cette transformation est quelconque, il n’y aura toujours pas de relation générale. La solution consiste à imaginer une transformation réversible :

La transformation étant réversible la masse m doit être en équilibre thermodynamique en chaque état intermédiaire. On modélise ici une situation de nature mécanique sans aspect thermique donc l’équilibre thermique est toujours réalisé. Dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen dans le cadre de cette étude, l’équilibre mécanique impose que :

Ceci est vrai à chaque instant :

Dans un référentiel galiléen, d’après la loi de l’inertie de Newton, le centre d’inertie d’un système mécanique, soumis à une résultante des forces nulle possède un mouvement rectiligne uniforme. La masse est initialement immobile donc le « déplacement réversible » impose une vitesse nulle en chaque état intermédiaire⁴ :

3. Le résultat de l’interprétation

Au cours de cette transformation réversible la force exercée par l’opérateur subit le même déplacement que le vecteur-poids de la masse m et le vecteur-force de l’opérateur est l’opposé du vecteur-poids. Donc son travail est l’opposé du travail du poids :

La variation de l’énergie potentielle est égale au travail de la force de l’opérateur lorsque la transformation est réversible. Lorsque la masse s’élève, le travail de l’opérateur est positif. Cette transformation réversible permet à la masse m de recevoir de l’énergie potentielle de pesanteur grâce à ce travail. Lorsqu’elle s’abaisse, le travail de l’opérateur est négatif. La masse cède de l’énergie à son milieu extérieur⁵.

C. Exemple 1 : Usine hydroélectrique

Ô lectrice ! Ô lecteur ! Calculez le travail du poids d’un mètre cube d’eau, de masse 10⁶ kg, chutant de 10 m dans une usine hydroélectrique. Voir exemple 1 à gauche sur la figure 3, ci-après. Commentez le signe du résultat.

Le poids d’un mètre cube d’eau, de masse 10⁶ kg, chutant de 10 m produit un travail⁶ :

Le vecteur-poids est orienté vers le bas, le déplacement aussi : le poids de l’eau est la cause de sa chute. Ce qui donne un travail positif dit travail moteur.

4 Voir T09 Irréversibilité, étude qualitative. Une transformation réversible est irréelle.

5 Voir la convention thermodynamique des signes des échanges d’énergie dans T14 Bilans d’énergie.

6 Dans cet exemple et le suivant, on prend g = 10 N.kg^-1.

masse m immobile en O

⎯

⎯⎯⎯

→

P!+ ! F_op =!

0 donc !

F_op =−! P

F! _{op i} ≡ ! F _{op O}

( )

F _{op M} ≡ ! F _{op f}

( )

v _i ≡v_O

( )

(

)

W_O→^réversible_M (!

F_op)=−W_O→M(!

P) donc eurêka : W_O→M^réversible(!

F_op)=E_pp(M)−E_pp(O)

W_A→B(!

P)=W_A→B(mg)! =mg(z_B−z_A)=mgH_AB W_A→B(!

P)=10⁶.10.10 J = 10⁸J = 100 MJ

T12 Figure 3 : Exemple 1, Usine hydroélectrique ; Exemple 2, Remonte-pente.

En utilisant le vocabulaire de la vie courante on dira : L’usine hydroélectrique recueille ce travail pour fournir de l’électricité au réseau de distribution. En Mécanique on dira : Le système « eau » cède de l’énergie potentielle de pesanteur à son milieu extérieur.

D. Exemple 2 : Skieur sur un remonte-pente

Ô lecteur ! Ô lectrice ! Calculez le travail du poids d’un skieur de masse environ 70 kg, y compris tout son équipement ! tiré par un remonte-pente sur un dénivelé vertical de 100 m. Voir figure 3 ci-dessus, exemple 2 à droite. Commentez le signe du résultat.

Le poids produit un travail :

Le vecteur-poids est orienté vers le bas, le déplacement vers le haut : le poids du skieur n’est pas la cause de sa montée. Ce qui donne un travail négatif dit travail résistant. C’est la perche du remonte-pente qui exerce la force motrice grâce au moteur de l’appareil.

En utilisant le vocabulaire courant on dira : Le moteur du remonte-pente fournit au skieur l’énergie nécessaire pour sa montée. En Mécanique on dira : Le système « skieur » reçoit de l’énergie mécanique sous forme du travail produit par la force de traction exercée par la perche.

II. Travail de la tension d’un ressort, énergie potentielle élastique

A. Existence, définition et expression de l’énergie potentielle élastique

Nous allons montrer comme pour le poids d’un corps que la force de tension est une force conservative.

Ceci entraîne de même l’existence d’une énergie potentielle élastique dont nous établirons l’expression.

Ô lectrice ! Ô lecteur ! Rappelez la définition de l’expression « force conservative ».

1. Travail de la tension d’un ressort

Le référentiel d’étude est le référentiel du laboratoire. Considérons le travail de la force de tension T qu’un ressort exerce sur une masse m. Une des extrémités du ressort est attachée à un plot fixe. Voir figure 4 ci- après. La masse m est attachée à l’autre extrémité et effectue un déplacement rectiligne colinéaire au ressort. La force est d’intensité variable mais sa direction est toujours colinéaire à l’axe (x’x). Son sens peut éventuellement changer car le ressort à spires non jointives peut être allongé ou raccourci⁷. L’allongement algébrique du ressort, x = l – l0, est par définition mesuré à partir de sa longueur à vide l0. La raideur du ressort est notée k. Dans le domaine d’élasticité du ressort, le vecteur-tension agissant sur la masse m s’écrit : . Le vecteur unitaire i est orienté vers la droite de la figure 4.

7 Ce paragraphe peut être appliqué au cas d’un élastique mais celui-ci ne peut être raccourci … Sauf en le coupant ! W_A→B(!

P)=W_A→B(mg)! =mg(z_B−z_A)=−mgH_AB W_A→B(!

P)=−70.10.100 J = 7.10⁴ J=−70 kJ

T!=−k x! i

T12 Figure 4 : Masse accrochée à l’extrémité d’un ressort.

En utilisant la définition du travail d’une force nous calculons⁸ :

On a ainsi démontré que le travail du vecteur-tension ne dépend que du point de départ et du point d’arrivée du déplacement⁹. En d’autres termes la force de tension est conservative.

Remarque sur les grandeurs influençant le travail de la force de tension : Le travail de la force de tension dépend aussi de la raideur du ressort. En réalité le système considéré n’est pas la masse m mais le système déformable {masse m, ressort}. Par esprit de simplification, on appelle ce système masse m soumise à la tension T du ressort.

2. Existence de l’énergie potentielle élastique

Ô lecteur ! Ô lectrice ! Justifiez l’existence de l’énergie potentielle élastique.

La situation est semblable à celle de l’énergie potentielle de pesanteur.

Le caractère conservatif des forces élastiques permet de définir une énergie potentielle élastique, c’est-à- dire une fonction qui ne dépend que de l’état de la masse m. Dans cette situation mécanique sa position définit son état. L’énergie potentielle élastique est définie par sa variation :

3. Expression de l’énergie potentielle élastique

Ô lecteur ! Ô lectrice ! Passez de la variation d’énergie potentielle élastique à l’expression de cette énergie.

On procède comme pour l’énergie potentielle de pesanteur. Cette relation étant vraie quels que soient les points A et B, on fixe le point A en un point arbitraire O et on considère le point B comme un point variable.

Par esprit de simplification, le point O choisi est l’origine des abscisses¹⁰. Le point variable quelconque est noté M. Voir figure 5 ci-dessous.

T12 Figure 5 : Les points O et M.

On obtient :

8 Voir Aides mathématiques Am05 : Primitives. Et ce calcul est un nouvel exemple du passage d’une intégrale curviligne à une intégrale définie habituelle. Voir aussi T11 Travail des forces pressantes.

9 Ici on se limite à des déplacements colinéaires au ressort. Toutefois ce résultat est encore vrai lorsqu’on fait tournoyer un ressort dans l’espace.

10 Lorsque x = 0 le ressort n’est ni raccourci, ni allongé.

W_A→B(!

T)= δW(! T)=

A→B

∫ ∫

xB

∫

xB

∫

W_A→B(!

T)= −1 2kx²

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

A

x_B

=−1

2k x

(

)

E_pe(B)−E_pe(A)

Variation de E_pe

!##"##$ ^{= ΔEpe A→B}

Δ note la variation!"# $# définition⁼! ^{−WA→B(T!)}

L’énergie potentielle élastique du ressort s’écrit :

Remarque sur la constante Epe(O) : L’énergie potentielle élastique en O n’est pas déterminée par la définition de l’énergie potentielle. Ceci n’a pas de conséquence néfaste car seules les variations d’énergie potentielle importent. Car comme déjà vu, l’expression du travail de la force de tension T ne fait pas intervenir Epe(O).

On peut cependant éventuellement lui attribuer une valeur nulle car le ressort n’est ni allongé ni comprimé.

B. Interprétation de l’énergie potentielle élastique

Ô lectrice ! Ô lecteur ! Quelle est l’interprétation de l’énergie potentielle élastique ? La démarche est semblable à celle utilisée pour l’énergie potentielle de pesanteur.

1. L’idée générale de cette interprétation

Lorsque la masse m se déplace de O à M son mouvement, c’est-à-dire ici¹¹ sa vitesse, son accélération, dépend de l’ensemble des forces extérieures qu’elle subit. On aimerait relier le travail des forces extérieures autres que le vecteur-tension au travail de celui-ci et donc finalement à la variation d’énergie potentielle.

Lorsque ce mouvement n’est pas précisé il n’y a pas de relation générale.

Par esprit de simplification la résultante des forces extérieures autres que le vecteur-tension peut être remplacée par une force unique exercée par un opérateur. Son intérêt est aussi d’être ajustable.

2. La mise en œuvre de cette idée

Elle se fait grâce au passage par une transformation thermodynamique. On considère le déplacement de la masse comme une transformation thermodynamique :

Si cette transformation est quelconque, il n’y aura toujours pas de relation générale. La solution consiste à imaginer une transformation réversible :

La transformation étant réversible la masse m doit être en équilibre thermodynamique en chaque état intermédiaire. On modélise ici une situation mécanique sans aspect thermique donc l’équilibre thermique est réalisé. Dans le référentiel du laboratoire, considéré comme galiléen dans le cadre de cette étude, l’équilibre mécanique impose que :

Ceci est vrai à chaque instant :

11 Sa trajectoire est rectiligne.

ΔE_peO→M = E_pe(M)−E_pe(O)=−W_O→M(T!

)= 1 2k x_M²

E_pe(M)= 1

2k x_M² +E_pe(O)

masse m immobile en O

⎯ →

⎯

masse m immobile en O

⎯

⎯⎯⎯

→

T!+ ! F_op =!

0 donc !

F_op =−! T

F! _{op i} ≡ ! F _{op O}

( )

! ...

F op Etat Intermédiaire =−! T =k x!

i

Dans un référentiel galiléen, d’après la loi de l’inertie de Newton, le centre d’inertie d’un système mécanique, soumis à une résultante des forces nulle possède un mouvement rectiligne uniforme. La masse est initialement immobile donc le « déplacement réversible » impose une vitesse nulle en chaque état intermédiaire¹² :

3. Le résultat de l’interprétation

Au cours de cette transformation réversible la force exercée par l’opérateur subit le même déplacement que la masse m et le vecteur-force de l’opérateur est l’opposé du vecteur-tension. Donc son travail est l’opposé du travail du vecteur-tension :

La variation de l’énergie potentielle est égale au travail de la force de l’opérateur lorsque la transformation est réversible. Lorsque le ressort s’allonge, le travail de l’opérateur est positif. Cette transformation permet à la masse m de recevoir de l’énergie potentielle élastique. Lorsque le ressort est raccourci, le travail de l’opérateur est négatif. La masse cède de l’énergie à son milieu extérieur¹³.

C. Exemple : Cas d’un travail résistant

Ô lecteur ! Ô lectrice ! Calculez le travail du vecteur-tension d’un ressort dans la situation suivante. Nous considérons un ressort horizontal de longueur à vide l0 = 12 cm et de raideur k = 10 N.m^-1. Voir figure 4 page 5. La longueur du ressort vaut déjà 15 cm. Un opérateur retient la masse m. L’opérateur décide d’étirer plus le ressort jusqu’à une longueur de 20 cm. Commentez le signe du résultat.

Le travail produit par la tension du ressort vaut :

Le déplacement de la masse m se fait vers la droite de la figure, le vecteur-tension du ressort est orienté vers la gauche. Donc la tension du ressort produit un travail négatif dit résistant. Ce n’est pas cette force qui est la cause du déplacement mais c’est la force exercée par l’opérateur. Celui-ci doit lutter contre la force de tension. Si celle-ci existait seule, le déplacement aurait lieu vers la gauche. Si la force de l’opérateur existait seule, le déplacement aurait encore lieu vers la droite. La masse m soumise à la tension du ressort a reçu de l’énergie potentielle élastique.

III. Travail des forces électrocinétiques, énergie potentielle électrocinétique

A. Existence, définition de l’énergie potentielle électrostatique, potentiel électrostatique

Pour traiter l’électrocinétique il faut commencer par l’électrostatique. Comme les forces de pesanteur et les forces élastiques, les forces électrostatiques sont conservatives. Ceci entraîne l’existence d’une énergie potentielle électrostatique.

Ô lectrice ! Ô lecteur ! Que savez-vous des forces électrostatiques ? de l’énergie potentielle électrostatique ? du potentiel électrostatique ?

12 Voir T09 Irréversibilité, étude qualitative. Une transformation réversible est irréelle.

13 Voir la convention thermodynamique des signes des échanges d’énergie dans T14 Bilans d’énergie.

...

F! _{op f} ≡ ! F _{op M}

( )

v _i ≡v_O

( )

(

)

W_O→^réversible_M (!

F_op)=−W_O→M(!

T) donc eurêka : W_O→^réversible_M (!

F_op)= E_pe(M)−E_pe(O)

W_A→B(!

T)=− 1

2k x

(

)

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1

210 0,20

^⎡ _⎣ (

)

⁻ (

)

^⎤ _⎦

1. Existence de l’énergie potentielle électrostatique

Le référentiel d’étude est celui du laboratoire. Considérons un ensemble de charges, dit ensemble source.

Voir figure 6 ci-dessous. Cette source crée dans l’espace qui l’environne un champ électrostatique. Une charge q placée en M est soumise à un vecteur-champ E et subit la force électrostatique F = q E.

T12 Figure 6 : Un ensemble arbitraire de sources crée en un point M le champ électrostatique E.

On démontre¹⁴ que son travail ne dépend pas de la forme du déplacement mais uniquement du point de départ et du point d’arrivée. En d’autres termes la force électrostatique est une force conservative. Ceci permet de définir l’énergie potentielle électrostatique Epe15 :

2. Potentiel électrostatique

Le travail des forces électrostatiques et l’énergie potentielle électrostatique dépendent de la charge q et de l’ensemble source. Or la force électrostatique¹⁶ est proportionnelle à la charge q qui subit le champ électrostatique. Donc le travail et l’énergie potentielle sont proportionnels à cette charge :

La grandeur V est le potentiel électrostatique. Il est défini par sa variation :

L’existence de la proportionnalité entraîne que le potentiel ne dépend pas de la charge q. Il dépend de l’ensemble source par la valeur des charges sources et par leur position.

3. Expression du potentiel électrostatique

Cette relation étant vraie quels que soient les points A et B, on fixe le point A en un point arbitraire O et on considère le point B comme un point variable. Par esprit de simplification, le point O choisi est l’origine des coordonnées¹⁷. Le point variable quelconque est noté M. Voir figure 7 ci-après.

T12 Figure 7 : Les points O et M.

On obtient :

14 Voir T12.C1 Interactions électrostatiques.

15 Dans le § II, cette notation Epe désigne l’énergie potentielle élastique.

16 Les forces de pesanteur sont proportionnelles à la masse m qui subit la force. On peut donc également définir un potentiel de pesanteur.

17 Aucune charge source ne se trouve en O. Voir complément T12.C1 Interactions électrostatiques.

E_pe(B)−E_pe(A)

Variation de E_pe

!##"##$ ^{= ΔEpe A→B}

Δ note la variation!"# $# définition⁼! ^{−WA→B(F!)}

E_pe(B)−E_pe(A)

q =−W_A→B(! F)

q =V(B)−V(A)

V(B)−V(A)=−W_A→B(! F) q

V(M)−V(O)=ΔV_peO→M =−W_O→M(F

!

) q

Remarque sur la constante V(O) : Le potentiel électrostatique en O n’est pas déterminé par la définition du potentiel électrostatique. Mais cela n’a aucune conséquence néfaste (voir remarque ci-dessous).

4. Expression du travail des forces électrostatiques

Le travail de la force électrostatique F peut alors s’exprimer en fonction de la variation du potentiel électrostatique :

Remarque : Le travail de la force électrostatique ne fait pas intervenir V(O). Seules les variations de l’énergie potentielle ou du potentiel importent.

B. Interprétation de l’énergie potentielle électrostatique

Ô lecteur ! Ô lectrice ! Quelle est l’interprétation de l’énergie potentielle électrostatique ? La démarche est semblable à celle suivie pour les énergies potentielles de pesanteur et élastique.

1. L’idée générale de l’interprétation

Lorsque la charge q se déplace de O à M son mouvement- sa trajectoire, sa vitesse, son accélération- dépend de l’ensemble des forces extérieures qu’elle subit. On aimerait relier le travail des forces extérieures autres que le vecteur-force électrostatique au travail de celui-ci et donc finalement à la variation d’énergie potentielle. Lorsque ce mouvement n’est pas précisé il n’y a pas de relation générale.

Par esprit de simplification la résultante des forces extérieures autres que le vecteur-force électrostatique peut être remplacée par une force unique exercée par un opérateur. Son intérêt est aussi d’être ajustable.

2. La mise en œuvre de cette idée

On considère le déplacement de la charge q comme une transformation thermodynamique :

Si cette transformation est quelconque, il n’y aura toujours pas de relation générale. La solution consiste à imaginer une transformation réversible :

La transformation étant réversible la charge q doit être en équilibre thermodynamique en chaque état intermédiaire. On modélise ici une situation mécanique sans aspect thermique donc l’équilibre thermique est réalisé. Dans le référentiel du laboratoire, considéré comme galiléen dans le cadre de cette étude, l’équilibre mécanique impose que :

Ceci est vrai à chaque instant : V(M)=−W_O→M(!

F)

q

W_A→B(!

F)=−ΔE_{pe A→B} =−qΔV_A→B =−q V

[

]

charge q immobile en O

⎯ →

⎯

charge q immobile en O

⎯

⎯⎯⎯

→

F!+ ! F_op =!

0 donc !

F_op =−! F

F! _{op i} ≡ ! F _{op O}

( )

! ...

F op Etat Intermédiaire =−! F_EI

Dans un référentiel galiléen, d’après la loi de l’inertie de Newton, le centre d’inertie d’un système mécanique, soumis à une résultante des forces nulle possède un mouvement rectiligne uniforme. La charge est initialement immobile donc le « déplacement réversible » impose une vitesse nulle en chaque état intermédiaire¹⁸.

3. Le résultat de l’interprétation

Au cours de cette transformation réversible la force exercée par l’opérateur subit le même déplacement que la charge q et le vecteur-force de l’opérateur est l’opposé du vecteur-force électrostatique. Donc son travail est l’opposé du travail du vecteur-force électrostatique :

Lorsque le travail de l’opérateur est positif, cette transformation réversible permet à la charge q de recevoir de l’énergie potentielle électrostatique. Lorsque le travail de l’opérateur est négatif, lors de cette transformation réversible la charge q cède de l’énergie potentielle électrostatique à son milieu extérieur.

C. Expressions du travail et de la puissance des forces électrocinétiques Nous passons de l’électrostatique à l’électrocinétique.

Ô lectrice ! Ô lecteur ! Comment passe-t-on de l’électrostatique à l’électrocinétique ?

Dans le cadre de l’approximation des états quasi permanents¹⁹ (ARQP) les résultats de l’électrostatique s’appliquent à l’électrocinétique.

Considérons un circuit électrique comportant un dipôle passif D, par exemple un résistor de résistance R, parcouru de B vers A par un courant²⁰ électrique d’intensité I et soumis à une tension U = UBA. Sa borne A est au potentiel électrique VA ; sa borne B est au potentiel électrique VB ; La tension est égale à la différence de potentiel UBA = VB - VA. Il est ainsi décrit en convention récepteur. Voir figure 8 ci-dessous.

T12 Figure 8 : Un dipôle D représenté en convention récepteur.

Nous appliquons l’ARQP à l’expression du travail des forces électrostatiques établie au paragraphe A.4. Une charge q formée d’électrons traverse le dipôle de A vers B.

Le travail, noté W, des forces électrocinétiques s’exerçant sur cette charge s’écrit :

La charge q est négative car formée d’électrons. L’intensité du courant est définie par la relation :

18 Voir T09 Irréversibilité, étude qualitative. Une transformation réversible est irréelle.

19 Courants continus et courants variables dont les variations ne sont pas « trop » rapides. Voir un cours d’Électrocinétique.

20 Le sens du courant est le sens conventionnel. Les électrons se déplacent de A vers B.

...

F! _{op f} ≡ ! F _{op M}

( )

v _i ≡v_O

( )

(

)

W_O→^réversible_M (!

F_op)=−W_O→M(!

F) donc eurêka : W_O→^réversible_M (!

F_op)=E_pe(M)−E_pe(O)

W =W_A→B(!

F)=−q V

(

)

I = q Δt

La valeur absolue de la charge s’exprime donc en fonction de l’intensité I du courant et de la durée Dt :

Pendant une durée Dt le dipôle reçoit de la part du reste du circuit de l’énergie électrique sous forme du travail des forces électrocinétiques :

La puissance d’une force est par définition le quotient de son travail par sa durée :

Les forces électrocinétiques fournissent donc une puissance électrique P :

Voici deux exemples : Un circuit formé d’un résistor et d’une pile, suivi de la charge d’un condensateur.

D. Exemple n°1 : Le plus simple des circuits électriques

Considérons le plus simple des circuits électriques. Il est formé d’un dipôle passif alimenté par un dipôle actif, ici un résistor et une pile. L’interrupteur, non représenté, K est fermé. Le résistor est caractérisé par sa résistance R = 90 W ; Il est décrit en convention récepteur. La pile est caractérisée par sa tension à vide U0 = 4,5 V et sa résistance interne r = 1,5 W ; Elle est décrite en convention générateur. Voir figure 9 ci- dessous.

T12 Figure 9 : Un exemple simple de circuit électrique.

a. Établissez l’expression littérale de la tension et de l’intensité en fonction de R, r et U0. Calculez leur valeur numérique.

b. Établissez l’expression littérale de la puissance électrique reçue par le résistor en fonction de R et I.

Calculez-la numériquement.

c. Établissez l’expression littérale de la puissance électrique cédée par la pile en fonction de U0, r et I.

Calculez-la numériquement. Cette expression comporte deux termes. Interprétez-les.

a. On détermine la tension U et l’intensité I en appliquant les deux lois de Kirchhoff. La loi des intensités est déjà prise en compte sur le schéma. Les intensités qui parcourent des dipôles montés en série sont égales :

La loi des tensions est également prise en compte :

Il faut aussi introduire les lois d’Ohm caractérisant un résistor et une pile : q =−q= IΔt

W =UIΔt

P =W Δt P =UI

I_BA=I_NP =I

V_B−V_A

résistor

!"#

fil de connexion

!"#

pile

!"#

fil de connexion

!"#

U_BA + 0 +

(

)

U_BA=U_PN =U

L’égalité de ces deux tensions donne :

Numériquement, on calcule I = 0,049 A = 49 mA et U = 4,4 V.

b. Le résistor reçoit de la part de la pile une puissance électrique P. Il est étudié en convention récepteur donc :

La puissance électrocinétique reçue par le résistor vaut donc :

En une minute, 60 s, par exemple, il reçoit de l’énergie sous forme du travail des forces électrocinétiques :

c. Considérons maintenant la pile. Elle est étudiée en convention générateur. Elle cède la puissance électrocinétique P calculée précédemment :

Cette puissance comporte deux termes. L’un U0I est lié à la tension à vide ; Par ce terme la pile cède une puissance P au résistor et une puissance Pr à sa partie résistante.

Remarque : La résistance interne de la pile est étudiée en convention générateur. La loi d’Ohm à ses bornes s’écrit ur = -rI et la puissance qu’elle reçoit Pr = - urI = rI².

E. Exemple n°2 : Charge d’un condensateur

T12 Figure 10 : Le circuit de charge d’un condensateur.

Considérons un circuit comportant une source de tension, un résistor et un condensateur. L’interrupteur K est ouvert. Voir figure 10 ci-dessus.

La source de tension est caractérisée par sa tension à vide U0 = 12 V et sa résistance interne r = 5 W. Le résistor est caractérisé par sa résistance R = 50 W. Le condensateur est caractérisé par sa capacité C = 0,1 mF et sa charge q(t). Il est décrit en convention récepteur.

A un instant pris comme origine des dates, nous fermons l’interrupteur. Le condensateur se charge. Il emmagasine sous forme d’énergie potentielle électrique le travail des forces électrocinétiques.

Lorsque la charge est achevée, quel travail les forces électrocinétiques ont-elles fourni au condensateur ? Ou quelle est l’énergie potentielle électrique emmagasinée par le condensateur ?

U_BA=RI et U_PN =U₀−rI

RI =U₀−rI d'où RI+rI =U₀

I = U₀

R+r et U = RU₀ R+r

P =UI

P =UI= RI² numériquement P =0,22 W

W₁=UIΔt= RI²Δt numériquement W₁=13 J

P =UI=

(

)

! + ( ) −

−P_r

!

a. Mise en équation

Dans le cadre de l’approximation des états quasi permanents²¹ (ARQP) les résultats de l’électrostatique s’appliquent à l’électrocinétique. A l’instant de date t la tension aux bornes du condensateur et l’intensité dans le circuit, définies sur le schéma, s’écrivent u(t) et i(t). Le condensateur est étudié en convention récepteur donc le travail élémentaire des forces électrocinétiques entre deux instants de dates t et t + dt s’écrit :

Et le travail fourni au condensateur par les forces électrocinétiques pendant la durée de la charge :

La dernière intégrale utilise la variable t. Il est possible de déterminer les fonctions u et i²². L’intensité est une fonction décroissante de la variable t. Elle est nulle en fin de charge. La tension est croissante et tend vers une limite constante valant U0. La charge finale Q du condensateur vaut donc CU0.

Les variations des deux fonctions sont caractérisées par une constante de temps t = RC. La durée de la charge est théoriquement infinie. En pratique il suffit de quelques t pour achever la charge du condensateur.

b. Le calcul du travail des forces électrocinétiques

Lorsqu’on ne connaît pas les fonctions u et i, pour calculer²³ l’intégrale on effectue un changement de variable. On passe de la variable t à la variable q. La tension aux bornes du condensateur s’exprime en fonction de sa charge q à l’instant t. La charge élémentaire dq qui arrive au condensateur pendant la durée dt permet d’exprimer l’intensité. L’ensemble permet le changement de variable :

Le travail fourni au condensateur par les forces électrocinétiques pendant la durée de la charge s’écrit alors :

En remplaçant Q par CU0 puis Q² par (CU0)² on obtient deux autres expressions de ce travail :

Pendant sa charge le condensateur reçoit de l’énergie électrique sous forme de ce travail.

Dans ce chapitre les forces étudiées, conservatives, permettent toutes de définir une énergie potentielle. Les variations de celle-ci peuvent être interprétées comme le travail fourni de façon réversible par un opérateur pour conduire le système d’un état de référence à un autre état quelconque.

Le calcul du travail du poids, de la tension d’un ressort et des forces électrocinétiques ne fait pas intervenir de considérations thermiques. Les exemples étudiés sont commentés du point de vue de l’énergie mécanique, électrostatique ou électrocinétique. Les frottements et l’échauffement des résistors n’interviennent pas dans cette première analyse. Lorsque l’analyse est complète, les échanges thermiques et la température des systèmes sont pris en compte et les situations deviennent thermodynamiques.

21 Courants continus et courants variables dont les variations ne sont pas « trop » rapides. Voir un cours d’Électrocinétique.

22 Voir un cours d’Électrocinétique.

23 D’ailleurs ce calcul est en réalité plus simple sans passer par la variable t.

δW=P(t)dt=u(t)i(t)dt

W = δW

∫

∫

u(t)= q

C et dq=i(t)dt à t=0, q=0 et pour t→ ∞,q→Q

W =

∫

∫

0 Q

= 1 2

Q² C

W = 1 2

Q² C = 1

2QU₀= 1

2CU₀² numériquement W = 1

20,1.10⁻³.^{122 J}=6,2 mJ