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Paris 7 PH282

–

HYDRODYNAMIQUE

EXAMEN

Samedi 5 septembre, 9h, ∆t= 3 h

Cours polycopi´e et toutes notes manuscrites autoris´es.

I. Comment les voiliers remontent au vent Le voilier minimum

Pour les besoins de la cause les forces exerc´ees sur le bateau se r´eduisent `a une r´esultante des forces a´erodynamiques −→F<sub>A</sub>et une r´esultante des forces hydrodynamiques−→F<sub>H</sub>. Lorsque la vitesse du bateau est constante, −→F<sub>H</sub> s’ajuste en sorte que −→F<sub>A</sub>+−→F<sub>H</sub> = 0. On cherche `a mod´eliser −→F_A avec une voile unique de trace AE.

Orientation, r´eglage

Le vent vient de tribord avant sous la direction α. La force a´erodynamique, due essentiellement `a la diff´erence des pressions de part et d’autre de la voile est donc suppos´ee perpendiculaire `a la trace AE.

On essaye la forme FA=FeA sin(α−β+ε) o`uFeAet εsont des constantes.

1. Donnez les expressions de la composante longitudinale (propulsive) F_Ak et de la composante transverse (de gˆıte)F_A⊥.

2. Calculez la valeur de β qui, pour α donn´e, rend F_Ak maximale. On suppose qu’il s’agit du r´eglage optimal.

3. Calculez les valeurs de F_Ak etF_A⊥ correspondant `a ce r´eglage.

Amplitude

Les mesures dont les r´esultats sont donn´es dans le tableau ci-dessous ont ´et´e r´ealis´ees pour des vitesses de vent apparentes (mesur´ees depuis le bateau)Vappdiff´erentes mais pourαetβsensiblement constants. La taille du bateau est d’une dizaine de m`etres.

Expliquez pourquoi , dans ces conditions, il est raisonnable de supposer que l’amplitudeFe_A est de la forme : Fe_A=K_ASρV_app² , o`uS est l’aire de la voile et ρla masse volumique de l’air.

2 Hydrodynamique, PH282 Paris 7 Gˆıte

Un moyen simple de tester le bien fond´e de la forme choisie pourFeAconsiste `a consid´erer la gˆıte.

Pour des angles de gˆıte mod´er´es on suppose que ceux-ci sont proportionnels au couple de chavirement : K_ϕϕ=F_A⊥(H+h).

Les mesures de la gˆıte ϕ en fonction de la vitesse apparente du vent V_app ont ´et´e r´ealis´ees `a α sensiblement constant :α≈40^o.

V_app 5,36 5,27 6,04 7,32 7,37 7,60

ϕ 9,7 11,3 13,45 19,6 20,13 22,18

Vitesses en m`etres par seconde, angles en degr´es.

1. Pouvez-vous tester la forme propos´ee pour l’amplitude Fe_A?

2. D´eterminez l’ordre de grandeur du coefficientK_A, connaissant le coefficientK_ϕ≈216 N m deg⁻¹ (d´etermin´e par des mesures statiques du couple de redressement) et la valeurH+h≈3 m. Que peut-on en conclure ?

II. Un patin hydrodynamique Ecoulement de Couette avec gradient de pression´

Dans le rep`ere choisi, la plaque infiniey=hse d´eplace `a la vitesseu_hpar rapport `a la plaque infinie y= 0.

1. D´eterminez les composantes du champ de vitesse du fluide entre les plaques, u(y),v=w= 0, solutions de l’´equation de Navier-Stokes respectant les conditions aux limites. On noteradp/dx=−G.

2. Calculez l’expression du d´ebit par unit´e de longueur transversale, Q=

Z h 0

dy u(y),

en fonction deh,u_h,G, et de la viscosit´e dynamiqueµ. En d´eduire l’expression deGen fonction deµ, h,u_het Q.

Hydrodynamique, PH282 Paris 7 3 Le patin

Le patin A, taill´e en ´echelon, se d´eplace `a la vitesse U sur un film d’huile de viscosit´eµ. Le patin est tr`es large dans la direction perpendiculaire `a la figure. Les hauteurs relativesh2/L2eth1/L1 sont tr`es petites, et on suppose que dans chacune des r´egions{a, b}et{b, c}un ´ecoulement de Couette est

´etabli, avec un d´ebitQ(commun aux deux r´egions ´evidemment).

1. D´eterminer les diff´erences de pression pa−pb etpb−pc en fonctions deµ,Q U et deL1,h1et L2, h2 respectivement.

2. Les pressions `a l’entr´ee et `a la sortie, p_aet p_b, sont ´egales. En d´eduireQen fonction deU,h₁, h₂ etµ.

3. Par unit´e de largeur du patin...

i) Calculez la composanteY de la r´esultante des forces de pression exerc´ees par l’huile sur le patin.

ii) Calculez la composante X de la r´esultante des forces de pression et de cisaillement exerc´ees par l’huile sur le patin.

iii) En d´eduire le coefficient de frottement hydrodynamiqueX/Y.

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V6rification des aptitudes et des connaissances

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Note d6finitive :

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