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:E"i r lr-*ffi

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Exercice

3

1)

Jwtifier

I'edstence de Ia fonction

J

d,'une uariable réelte d,éfini.e par :

Vr€lR, f@): lr-*ffi

at

2)

Montrer que la tonction

t

est d,e classe

Cr

sur R.

3)

Mm,trer que :

+ôo

/(r) :E"i r

Exercice

4

Il

s'agit d,e déterminer toutes les appli,cntions

f

de

R

dans W. déri,vables ea"O

et telles que :

V(",

y)

IR2,

/(o

+ u)

: e'[('ù +

ev

f (u)

(1)

1)

Soit

f.

une applicati,on aêri,f.ant (1). Déterminer

!(01.

2) Montrer que l'ensemble des applications qui aérifient

(1)

est

un

sous-espace uectariel de I'espace aeetori,el réel d,es applicatians de

R

dans lR.

3) Montrer

que

si

Ia

fanction T

uênfre

(1), eil,e

est d.ériuable

sur

IR, ef

elle

uérifie une équation différentietle li,néaire d,u premier ordre que I'on, d,éterminera.

il E"

dédvire toutea les solutions ila problème.

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