Exercice 2 -
Considéronslamatrice
o:l l, :u j,
lr o -1 IJ
ta 1.
Démontrer que cette matrice A est inversible, et calculer son inverse en utilisant le pivot
t)
cle Liauss.
MÉrnooBs QulNrrrarrvps
3 Univ. Paris VIII,
2015-2016
ExRLnsN
Durée : 2 heures
Les calculatrices sont 'i,nterd'ites, et les téléphones d,oiuent être éteints.
Exercice
1
-
On considère l'application linéaire
"f ' IR3
4 R3, (*,a,r) + (r*2y - z,-r-2a * z,3r*6y -Jz).
/0", ")
Ecrire la matrice de
/
dans les bases canoniques.
/,Ll b)
Déterminer unebase de
Ker/
et sa dimension.
/A,hc)
En déduire le rang de
/,
puis une base de Im/
en précisant
sa dimension.
/O"Ç d)
L'application
/
est-elle injective ? Surjective
?
Exercice 4 -
Dans cet exercice, on considère Ia matrice
B : /t,5 t.
Calculer,la matrice adjointe de B.
/L.Ç 2.
En déduire l'irnrerse de B.
Exercice 5 -
En utilisant
Ia règle de Cramer, déterminer la valeur de y dans la solution du
système iinéaire
-2r-U*42-2
r *
A l2z:3 3x*5A-32:-!
f -r 4 21
I z -1 2l
lr s 3.1
Exercice 6 -
Considérons la matrice
C : I : : 111 l
/L,5 t.
Déterminer le polynôme caractéristique de C.
/AS 2.
Calculer les valeurs propres de C, et préciser ieur multiplicité.
/ L 3.
Déterminer une
base de chacun des
sous-espaces propres.
/0,5 a.
La matrice C
est-elle diagonalisable?