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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Exercice 2 -

Considéronslamatrice

o:l l, :u j,

lr o -1 I

J

ta 1.

Démontrer que cette matrice A est inversible, et calculer son inverse en utilisant le pivot t) cle Liauss.

MÉrnooBs QulNrrrarrvps

3 Univ. Paris

VIII,

2015-2016

ExRLnsN

Durée : 2 heures

Les calculatrices sont 'i,nterd'ites, et les téléphones d,oiuent être éteints.

Exercice

1

-

On considère l'application linéaire

"f ' IR3

4 R3, (*,a,r) + (r*2y - z,-r-2a * z,3r*6y -Jz).

/0", ")

Ecrire la matrice de

/

dans les bases canoniques.

/,Ll b)

Déterminer unebase de

Ker/

et sa dimension.

/A,hc)

En déduire le rang de

/,

puis une base de

Im/

en précisant sa dimension.

/O"Ç d)

L'application

/

est-elle injective ? Surjective ?

Exercice 4 -

Dans cet exercice, on considère Ia matrice

B : /t,5 t.

Calculer,la matrice adjointe de B.

/L.Ç 2.

En déduire l'irnrerse de B.

Exercice 5 -

En

utilisant

Ia règle de Cramer, déterminer la valeur de y dans la solution du système iinéaire

-2r-U*42-2

r *

A

l2z:3 3x*5A-32:-!

f -r 4 21

I z -1 2l

lr s

3.1

Exercice 6 -

Considérons la matrice

C : I : : 111 l

/L,5 t.

Déterminer le polynôme caractéristique de C.

/AS 2.

Calculer les valeurs propres de C, et préciser ieur multiplicité.

/ L 3.

Déterminer une base de chacun des sous-espaces propres.

/0,5 a.

La matrice

C

est-elle diagonalisable?

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