LICENCE 2 SEG Pôle Lamartine - ULCO
MATHÉMATIQUES 2 Juin 2013 - Contrôle Terminal, Semestre 1, Session 2
Durée de l'épreuve : 2h00 Documents interdits.
(Les quatre exercices sont indépendants. Un soin tout particulier sera apporté à la rédaction des réponses)
Exercice 1 On considère les vecteurs deR3suivants :~v1= (1,1,0),~v2= (4,1,4) et~v3= (2,−1,4).
1. Montrer qu'il existe deux scalairesαetβ tels que~v3=α~v1+β~v2. La famille{~v1, ~v2, ~v3}est-elle libre ? liée ? 2. La famille{~v1, ~v2, ~v3}est-elle une base deR3?
3. Calculer
1 4 2 1 1 −1 0 4 4
. Pouvait-on prévoir le résultat et pourquoi ? 4. On considère le système linéaire suivant :
(S)
x+ 4y+ 2z = 0 x+y−z = 0 4y+ 4z = 0
.
(a) Grâce au rang du système (ou de la matrice associée), déterminer si(S)admet une unique solution, une innité de solutions ou n'admet aucune solution.
(b) Résoudre - si cela est possible - le système(S). 5. SoientA=
3 4 2 1 3 −1 0 4 6
et X=
x y z
.
(a) Prouver que les solutions du systèmeAX= 2X sont données parX =z(2,−1,1)avecz∈R.
(b) Lorsqu'un scalaireλvérie l'égalitéAX=λX, on dit queλest une valeur propre deAet queX est un vecteur propre associé. Quel intérêt ont ces éléments propres en termes de calculs numériques ? (c) Montrer que
2
−1 4
est un vecteur propre deA associé à la valeur propreλ= 5.
(d) On sait que le déterminant de A ∈ R3×3 est égal au produit de ses 3 valeurs propres. Calculer le déterminant deA puis en déduire la 3e valeur propre deA. Vérier alors que la trace deA est égale à la somme de ses trois valeurs propres.
Exercice 2 On considère les matrices A=
1 1 1
−1 1 1 2 0 1
,B =
2 1 5
−4 1 1 4 −1 3
etC=
2 −4 3 1 −2 0
−2 2 3
. 1. Démontrer que ces matrices sont inversibles et calculer leur inverse.
2. Démontrer que
(a) A3−3A2+ 2A−2I= 0. Retrouver le fait queAest inversible ainsi que l'inverse deA. (b) B3−6B2−4B−24I= 0. Retrouver le fait queB est inversible ainsi que l'inverse deB.
(c) C3−3C2+ 6C+ 6I= 0. Retrouver le fait queC est inversible ainsi que l'inverse deC.
Exercice 3 On considère un marché à 3 biens B1,B2,B3. Pour chaque bien Bi, on note pi son prix unitaire, Di sa demande etOi son ore. On suppose qu'on a les systèmes :
D1 = 2−p1+p2+p3 D2 = 10 +p1−2p2+p3 D3 = 5 +p1+p2−p3
et
O1 = −2 +p1 O2 = −2 +p2 O3 = −3 + 2p3
.
Existe t-il des valeurs dep1, p2, p3 qui réalisent l'équilibre, i.e.Di=Oi pour touti∈ {1,2,3}?
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Exercice 4 On considère l'application linéairef :R2→R2 donnée par f(x, y) = (5x−2y,8x−5y).
1. Écrire la matrice de l'applicationf dans la base canonique(~e1, ~e2)deR2.
2. Soient~v1= (4,1),~v2 = (7,−2)et ~v3 = (−8,−2). Montrer que (~v1, ~v2)est une base de R2 mais que(~v1, ~v3) n'en est pas une.
3. Écrire la matrice def dans la base(~v1, ~v2). 4. Exprimerf(~v1)etf(~v2)en fonction de~v1 et~v2. 5. Exprimerf(~v3)en fonction de~v1 et~v2.
6. Exprimerf(~v3)en fonction de~e1 et~e2.
7. Est-ce que la famille{f(~v1), f(~v2)}est une base deR2?
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