Complétion de données par méthode inverse en élasticité linéaire

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Complétion de données par méthode inverse en élasticité linéaire

Franck Delvare, Jean-Luc Hanus

To cite this version:

Franck Delvare, Jean-Luc Hanus. Complétion de données par méthode inverse en élasticité linéaire.

7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. �hal-01812986�

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en élasticité linéaire

Franck Delvare

^* —

Jean-Luc Hanus

^*

*Laboratoire Energétique Explosions Structures, ENSI de Bourges et Université d’Orléans 10 boulevard Lahitolle, F-18020 Bourges Cedex {franck.delvare, jean-luc.hanus,}@ensi-bourges.fr

RÉSUMÉ. Il est possible de classifier les méthodes inverses en deux grandes familles : les mé- thodes probabilistes et les méthodes déterministes. Parmi ces dernières, on trouve la méthode de quasi-réservibilité [LAT 67] qui consiste à remplacer le problème inverse par un problème bien posé au sens d’Hadamard et à rechercher des quasi-solutions mais aussi les méthodes de type régularisation qui stabilisent les solutions du problème inverse vis-à-vis de faibles va- riations des données [TIK 77], [ENG 96]. L’objectif de cette communication est de présenter l’extension à l’élasticité linéaire d’une stratégie pour la résolution des problèmes inverses de type Cauchy [CIM 01] développée initialement pour l’équation de Laplace. Sur un exemple re- tenu par Marin et al. [MAR 01], nous comparons les propriétés de convergence et de stabilité de l’approche proposée à celles de l’algorithme itératif de Kozlov et al. [KOZ 91].

ABSTRACT.The inverse methods can be divided in two great families: probabilistic methods and deterministic methods. Among these last, one finds the quasi-reservibility methods [LAT 67]

which consists in replacing the inverse problem by a well posed problem posed within the mean- ing of Hadamard and to seek quasi-solutions but also the regularization type methods which sta- bilize the solutions of the inverse problem with respect to weak variations of the data [TIK 77], [ENG 96]. The objective of this communication is to present the extension to the linear elasticity of a strategy for the resolution of Cauchy-type inverse problems [CIM 01] previously developed for the Laplace equation. Using an example retained by Marin et al. [MAR 01], we compare the properties of convergence and stability of the suggested approach with those of the iterative algorithm with proposed by Kozlov. et al. [KOZ 91].

MOTS-CLÉS :problème inverse, élasticité linéaire, méthode des éléments finis

KEYWORDS:inverse problem, linear elasticity, finite element method

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2 Colloque National en Calcul de Structures, 17-20 mai 2005, Giens.

1. Introduction

De nombreux auteurs se sont intéressés aux problèmes inverses fréquemment ren- contrés en mécanique des solides (voir entre autres [AND 99], [BUI 93] et [OFT 99]).

Différentes approches existent pour les résoudre, comme les méthodes probabilistes [TAR 87] et les méthodes déterministes ([LAT 67], [TIK 77]).

L’objet des problèmes inverses de type Cauchy est d’identifier des conditions aux limites à partir de données surabondantes [MAR 01],[BUI 93]. Une stratégie de ré- solution de ce type de problèmes a été mise en œuvre pour l’équation de Laplace [CIM 01]. L’objectif de cette communication est d’étendre cette stratégie à l’élasticité linéaire. Celle ci permet l’identification des déplacements et des efforts surfaciques au niveau d’un bord inaccessible à partir de conditions aux limites surabondantes sur la partie complémentaire de la frontière.

2. Présentation de la méthode inverse 2.1. Le problème modèle

Pour simplifier, le problème est présenté en dimension deux. Soit un domaine borné de , de frontière et de normale extérieure . Soient et deux champs de vecteur donnés sur . On se propose de résoudre le problème de Cauchy (1) suivant :

dans

sur

"!

#$ sur

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où désigne l’opérateur de Lamé

Le problème ci-dessus n’admet pas toujours de solution. On parle dans la suite de données et compatibles lorsqu’il existe un champ de déplacement défini sur tel que (respectivement ^% ) correspond à la trace de (respectivement à

&'(!

) sur . Ce problème est très sensible aux faibles perturbations sur les données et . Les méthodes disponibles pour le résoudre utilisent pour la plupart des techniques de régularisation [ENG 96] qui permettent d’approcher le problème (1) par un problème moins sensible. Cependant, ces façons de procéder présentent l’inconvénient de modifier le problème (1).

2.2. Principe de la méthode inverse

Nous considérons désormais que les données sont compatibles, c’est à dire qu’il existe une unique solution au problème (1). Nous utilisons, ici, le principe de la mé-

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thode inverse introduite par Cimetière et al [CIM 01]. La solution de ce problème est recherchée dans l’espace⁾ défini par :

)

+*-,/.10) 23

54

vérifiant

6

,

7 dans

98

On définit ensuite⁾ , l’espace composé des traces sur des éléments^, de⁾ et des ^, associés. Etant donné ^: ^<; , une formulation équivalente au problème (1) est : ⁼

Trouver U

;

>

.?)

tel que :

U^:@ sur (2)

L’algorithme itératif suivant est introduit pour résoudre (1). Il reprend l’esprit de la méthode itérative de Tikhonov. Etant donné^ACBD et^E6FG.?) ,

H

IJ trouver EGK"LMC.N)

tel que :

O

KP E K"LM

RQO

KP TS'UVS

.?)

avec :

O

KP TSW

+XYX S[Z

:@ <X\X

]_^@`

AaXYX SbZ

E K X\X

]

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Pour des données compatibles, la preuve de la convergence de l’algorithme est simi- laire à celle établie dans [CIM 01] pour le problème de Cauchy associé à l’équation de Laplace. L’atout principal de la méthode est que le système d’équations aux dérivées partielles du problème est pris en charge de manière exacte par le fait qu’à chaque itération la recherche de l’élément optimal se fait dans l’espace⁾ .

2.3. Mise en oeuvre numérique dans le cadre de la méthode des éléments finis La discrétisation de l’algorithme est faite en utilisant la méthode des éléments finis de manière classique. Nous utilisons toutefois une technique de condensation sur la frontière qui permet d’éliminer les degrés de liberté à l’intérieur du domaine et d’ob- tenir un système linéaire reliant uniquement les valeurs discrètes des déplacements et des efforts sur la frontière du domaine. Ce système linéaire caractérise de manière discrète les éléments de⁾ .

L’algorithme itératif discrétisé fait intervenir à chaque itération un problème d’op- timisation linéaire sous contraintes égalités. Celles ci sont gérées par l’intermédiaire de multiplicateurs de Lagrange. La recherche de l’élément optimal discrétisé se ra- mène à la résolution d’un système linéaire pour lequel la matrice ne dépend pas de l’indice d’itération. Le vecteur inconnu du système fait intervenir les valeurs des dé- placements et des efforts sur la frontière ainsi que des multiplicateurs de Lagrange introduits pour tenir compte des contraintes égalités. Le second membre est quant à lui fonction des données sur la portion et des valeurs, obtenues à l’itération précé- dente, des déplacements et des efforts sur la totalité de la frontière .

L’atout principal de la méthode est que le système d’équations aux dérivées partielles du problème est pris en charge par les contraintes égalités.

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3. Comparaison sur un exemple de la stratégie proposée avec celle retenue par Marin et al [MAR 01]

Marin et al. [MAR 01] étudient, par la méthode des éléments de frontière, la ré- ponse d’un disque soumis à une pression hydrostatique uniforme^c (fig. 1). La stratégie retenue par les auteurs repose sur l’utilisation de l’algorithme proposé par Kozlov et al. [KOZ 91] où est introduit un facteur de relaxation [MER 99]. Les figures 2 et 3

PSfrag replacements

dfegh

d

g e F

d

g e Fji

M

lk

d

g e Fminpo

k

d

g e Fji

k

d

g eq

Fji

k

]_r

] ^

s M

Alliage de cuivre :

tvuxwzy{jwG|~}a&@

u#aym

Données chargement :

uD}9yC|~} & @

Solution analytique :

u}jy|/}" &

correspond au quart : i.e.^{99 /}^ay} ^zzy^{9z

Figure 1. Définition du problème

comparent les reconstructions du déplacement vertical

et des efforts verticaux aux noeuds^c

sur avec celles obtenues par Marin et al. [MAR 01]. Elles mettent en évidence la convergence de la stratégie avec le raffinement du maillage.

PSfrag replacements

Solution analytique N=40 FE N=80 FE N=160 FE N=320 FE N=40 BE

N=80 BE N=160 BE

FjiM FmiM

FjiM k

Fmi

Fjin Fjin k

Fmi

h

FmiFo FjiF

FmiF

Fmi

MpM

d

g

Figure 2. Comparaison des reconstruction de

sur entre l’approche proposée (courbes FE) et celle de Marin et al. (courbes BE) pour un même nombre d’éléments sur la frontière

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Complétion de données 5

Solution analytique N=40 FE N=80 FE N=160 FE N=320 FE N=40 BE

N=80 BE N=160 BE

FjiM FmiMk

Fmi

Fjin Fjin k

Fji

h

M i M iM M i M ih M ik M i¡

¢ £¤

¥ d

g

Figure 3. Comparaison des reconstructions de^¦

sur entre l’approche proposée (courbes FE) et celle de Marin et al. (courbes BE) pour un même nombre d’éléments sur la frontière

4. Etude de la stabilité par rapport à un bruit entachant les données de déplacement

La frontière du domaine est discrétisée avec 320 éléments. La zone inconnue correspond à la moitié du domaine (i.e.^{§©¨zª¬«.}

4 ; !® 0). Les données de déplace- ment sont entachées d’un bruit aléatoire de^<¯ à^® ^¯ . La figure 4 permet de comparer les reconstructions de

sur avec la solution analytique.

PSfrag replacements

Solution analytique Reconstrution : données non bruitées Reconstrution : données bruitées à 2%

Reconstrution : données bruitées à 5%

Données bruitées à 5%

q

FjiM

q

FmiF k

° 3 FmiF k

FjiM

N=160 FE N=320 FE N=40 BE N=80 BE N=160 BE

q

Fji

h q

Fmi

d

g

Fji

h

Figure 4. Reconstruction et débruitage de

sur avec 320 éléments

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5. Conclusion

La méthode inverse présentée permet de reconstruire des conditions aux limites sur une partie de frontière, non accessible à la mesure, à partir de la donnée simultanée des déplacements et des contraintes surfaciques sur la partie complémentaire. Différentes améliorations sont actuellement développées, en utilisant comme dans [DEL 03] des termes d’ordre un. La méthode peut aussi être utilisée pour l’identification de para- mètres comme le module d’Young et le coefficient de Poisson. Un couplage de la méthode inverse avec des techniques expérimentales de mesures de déplacements se- rait intéressante du point de vue industriel et pourrait trouver des applications dans le domaine du contrôle non destructif et de la sécurité industrielle.

6. Bibliographie

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[MER 99] MERAN., ELLIOTTL., INGHAM D., LESNICD., « The effect of a variable relaxation factor on the rate of convergence in the Cauchy problem », Boundary Element Technique, Queen Mary and Westfield College, Univ. of London, 1999, p. 357-366.

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