3 Méthode des éléments finis de Galerkin

3

Le doute n’est pas au-dessous du savoir mais au-dessus (Alain)

Résumé. Il est rarement possible de résoudre analytiquement le problème modèle général de l’acoustique défini au chapitre 2. Dès lors, l’ingénieur a recours à des méthodes numériques qui fournissent une solution approchée (méthode des éléments finis, des éléments de frontière, etc.). Ce chapitre établit la formulation éléments finis de type Galerkin et rappelle les critères de bonne pratique en vigueur pour les analyses acoustiques. Il introduit ensuite deux notions théoriques fondamentales : l’interpolant et les normes d’erreur.

C’est au cours de ce chapitre que les spécificités de l’acoustique sont définies et illustrées.

Premièrement, en rappelant que la constante de Babuska-Brezzi est inversement proportionnelle au nombre d’onde, on montre que la stabilité de la méthode des éléments finis diminue lorsque le nombre d’onde augmente. Ensuite, on démontre que la solution éléments finis est dispersive, c’est-à-dire qu’elle ne se propage pas à la vitesse du son imposée. On établit à une dimension la relation entre le nombre d’onde éléments finis et la nombre d’onde exact et les tests numériques illustrent parfaitement ce concept de dispersion.

La k-singularité, correspondant au déphasage entre les ondes exacte et éléments finis, est démontrée et abondamment commentée sur des exemples numériques uni- et bidimensionnels. Ces tests concluent que le critère de bonne pratique usuel ne permet pas de contrôler l’erreur de discrétisation.

La λ-singularité, correspondant aux fréquences propres éléments finis, est ensuite étudiée sur des problèmes de cavités en l’absence d’amortissement.

Enfin, ce chapitre se termine par la démonstration d’une propriété d’équilibre local éléments finis dont nous ferons usage au chapitre 4 pour construire une solution numérique satisfaisant à la forme forte du problème modèle général.

3.1 Introduction

Il existe très peu de cas où l’on connaît une solution au problème modèle général (2.32-35) formulé au chapitre 2, c’est pour cette raison que nous l’avons ensuite énoncé sous forme faible de manière à permettre le calcul de solutions approchées par éléments finis de type Galerkin où les approximations résultent d’interpolations polynomiales de valeurs nodales de pression. Le cadre de cette étude est donc les éléments finis classiques de type “déplacement” compatibles ou conformes [ZIE89, WAR96/1], réalisant la continuité du champ de pression aux interfaces élémentaires, car c’est cette formulation qui est disponible dans le logiciel SYSNOISE dont nous souhaitons contrôler la précision de la solution.

Le but de ce chapitre est de décrire le comportement de la solution éléments finis (normes d’erreur, analyse de dispersion, erreur a priori, tests numériques) sans faire appel pour l’instant aux méthodes d’estimation a posteriori, de manière à montrer les spécificités intrinsèques de l’opérateur de Helmholtz :

1) la k-singularité correspondant au phénomène de pollution mis en évidence par F. Ihlenburg et al. pour des problèmes unidimensionnels [IHL95/2, IHL97/1] et dont nous reprenons la démonstration ici (paragraphe 3.8.2). Il s’agit d’une diminution de la stabilité croissante lorsque le nombre d'onde κ augmente qui se manifeste par un déphasage croissant entre l’onde exacte et l’onde éléments finis. La perte de stabilité était prévue par la condition BB du problème variationnel (2.66), le but est ici d’en comprendre la nature pour la solution éléments finis elle-même,

2) la λ-singularité désignant la singularité de la matrice d’impédance lorsque la fréquence d’excitation correspond à une fréquence propre (fréquence de résonance).

Pour ces valeurs, la réponse acoustique est infinie (ou très grande en présence d’amortissement structural).

Ces singularités s’ajoutent, à deux et à trois dimensions, aux singularités habituellement identifiées des solutions de problèmes régis par un opérateur de Laplace (angles entrants, discontinuités de conditions aux limites). Leur existence et leur influence sur la solution éléments finis de problèmes régis par un opérateur de Helmholtz n’a pas encore fait l’objet d’études détaillées.

Ce chapitre s’attache également à valider la règle de bonne pratique suggérée par le manuel d’utilisation de SYSNOISE imposant à l’utilisateur la résolution d’une onde par six éléments finis linéaires ou deux éléments finis quadratiques (paragraphe 1.3.2). En particulier, nous examinons la pertinence de ce critère en modifiant uniquement la longueur de la cavité étudiée et montrons qu’il est indispensable de travailler à l’aide de critères portant sur le nombre d'onde adimensionnel κ, défini par la relation (2.41).

D’autres méthodes numériques appliquées à l’opérateur de Helmholtz ont fait l’objet de travaux d’évaluation de la qualité de la solution approchée, consistant le plus souvent en une analyse de la convergence : autres méthodes des éléments finis [MEL95], éléments de frontière [DEM92], éléments à enveloppe d’onde [GER96/1]. Elles ne font pas l’objet de ce travail.

3.2 Formulation de la méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis consiste à chercher une solution approchée dans les sous-espaces

S₁^h ⊂ V₁ (3.1)

S₂^h ⊂ V₂ (3.2)

où h désigne pour l’instant le fait qu’il s’agit d’un sous-espace discret de type éléments finis. En toute généralité, ces espaces peuvent être quelconques (les fonctions de forme ne doivent pas nécessairement être polynomiales [MEL95]) et la solution éléments finis correspond à

p^h ∈ S₁^h a (p^h, w^h) = ϕ(w^h) ∀ w^h ∈ S₂^h (3.3) Si la forme variationnelle (2.60) est bien posée (ce qui est le cas ici), les propriétés de la solution éléments finis dépendent uniquement du choix des sous-espaces Sih

. Dans le cadre de ce travail, nous nous restreignons aux sous-espaces de Sobolev des polynômes de degré p par morceaux. Dans ce cadre, on désigne par h la taille élémentaire (pas spatial) et p le degré des polynômes d’interpolation (linéaire, quadratique, etc.). La solution éléments finis p^h est obtenue en résolvant un système algébrique d’équations linéaires correspondant au problème (3.3). Désignons par N_i les fonctions de forme polynomiales de degré p qui permettent d’engendrer les fonctions d’essai et les fonctions tests par les relations

p^h = N_i p_i^h i = 1

#Nh

= N p^h

(3.4)

w^h = N_j w_j^h j = 1

#Nh

= N w^h

(3.5) où pih

et w_j^h

sont les valeurs nodales. Le champ de pression éléments finis p^h doit satisfaire a priori aux conditions aux limites de Dirichlet (2.22) lorsqu’elles existent. On a donc, en injectant (3.4) et (3.5) dans (3.3)

a(N_i, N_j) p_i^h i = 1

#Nh

= ϕ(N_j) ∀ j = 1, #Nh

(3.6) qui, avec la définition des opérateurs a(p , w) (2.58) et ^ϕ(w)(2.59), s’écrit matriciellement sous la forme,

K + jρω C - ω² M p^h = - jρω f (3.7) où,

K = ∇^tN ∇N dΩ

Ω (3.8)

C = A_n N^t N dΓ

ΓR (3.9)

M = 1 c²

N ^t N dΩ

Ω (3.10)

f = N^t v_n dΓ

ΓN (3.11)

Le système d’équations (3.7) est similaire à celui décrivant la réponse harmonique forcée en dynamique des structures [WAR94/2]. Il y a donc incontestablement une analogie entre les problèmes de l’acoustique et de la dynamique lorsque l’on s’intéresse aux réponses harmoniques.

3.3 Critère de bonne pratique SYSNOISE

Introduisant son module de calcul acoustique par éléments finis, LMS Numerical Technologies préconise un critère de bonne pratique de la manière suivante :

“It is important to note that the size of the elements depends upon the frequency range of interest. A mesh density of five or six linear elements per wavelength is generally sufficient.” [LMS97, p. 1-17].

Cette recommandation est basée, comme indiqué dans l’introduction paragraphe 1.3.2., sur le bon sens en observant (figure 3.1) que six éléments suffisent pour bien représenter une longueur d’onde.

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

p ph

x

figure 3.1. Règle de bonne pratique : résolution d’une longueur d’onde par six éléments linéaires

Nous donnerons à ce critère le nom de “limite SYSNOISE” qui s’exprime, selon le contexte, par les relations suivantes, toutes équivalentes.

1) taille maximale lorsque la fréquence est connue h_SYSNOISE ≤ λ

6 (3.12)

2) fréquence maximale lorsque la taille est connue f_SYSNOISE ≤ c

6h (3.13)

3) critère exprimé en fonction du nombre d’onde kh ≤ 2π

6 (3.14)

De la même manière, ce critère est généralisé pour les éléments quadratiques en considérant qu’il faut deux éléments quadratiques par longueur d’onde [MIG97].

3.4 Interpolant éléments finis

La démonstration de l’existence de la k-singularité se fera (paragraphe 3.8) en décomposant l’erreur en deux termes : l’erreur entre la solution exacte et l’interpolant, et l’erreur entre l’interpolant et la solution éléments finis. Cette décomposition fait intervenir une notion fondamentale : l’interpolant. L’interpolant p^I est l’approximation d’une fonction p à l’aide des fonctions d’interpolation polynomiales par morceaux N_i, les valeurs nodales de l’approximation étant les valeurs nodales exactes.

p^I = N_i p_i i = 1

#Nh

(3.15) Cette définition est illustrée à la figure 3.2 pour le problème modèle 1 qui représente les ondes exacte, éléments finis et interpolante correspondant à κ = 10.3 (f = 410 Hz) et h = 0^.1 m.

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

p ph pI

ξ

figure 3.2. Modèle problème 1 : ondes exacte “p”, éléments finis “ph” et interpolante “pI”

(f=410 Hz, k=10^.3 m^-1, h=0^.1 m, κ = 10.3)

3.5 Normes d’erreur

La solution éléments finis p^h est une solution approchée de p car, en général,

p ∉ S₁^h (3.16)

On souhaite évaluer la précision de p^h, c’est-à-dire mesurer la distance de p à p^h. Pour cela, l’idéal serait de définir l’erreur locale qui nous donnerait en tout point l’erreur sur un champ éléments finis (pression ou vitesse). Par exemple, l’erreur locale pour la pression s’écrit

I (x) = p (x) - p^h(x_{) (3.17)} Nous utiliserons cette définition au paragraphe 4.7 mais précisons tout de suite qu’il n’existe aucune méthode permettant de l’estimer lorsque la solution exacte p n’est pas connue. De plus, l’utilisation de cette erreur aux noeuds d’un maillage dont les valeurs nodales sont exactes (poutres, problèmes unidimensionnels de Poisson) est à proscrire puisque cela laisserait penser à tort que la solution éléments finis est exacte partout.

Les mesures d’erreur se font alors à l’aide de normes intégrales étendues au domaine (erreur globale), à des sous-domaines ou à un élément (erreur élémentaire). Dès que le cadre fonctionnel de la méthode des éléments finis est posé, Strang et Fix [STR73] montrent que la norme d’erreur est définie par la relation

p - p^h ₁² = a ( p -p^h , p -p^h ) (3.18) correspondant à la norme H¹, ce que rappelle l’indice 1. L’application de la définition (3.18) à l’acoustique requiert toutefois quelques commentaires.

1) Premièrement, il faut que a( p -p^h , p -p^h ) soit réel, ce qui n’est pas le cas en présence de conditions aux limites de Robin. On décompose alors la forme a(p , w) en deux contributions, l’une b (p , w) due à l’opérateur de champ, l’autre d(p , w) aux conditions de Robin,

a(p , w) = b (p , w) + d (p , w) (3.19)

où,

b (p , w) = ∂ip ∂iw - k²p w dΩ Ω

d(p , w) = jρc k An p w dΓ

ΓR (3.20)

et on restreint la définition de la norme d’erreur à la contribution de l’opérateur de champ

p - p^h ₁² = b ( p -p^h , p -p^h ) (3.21) On voit à ce stade la raison pour laquelle nous avons pris le complexe conjugué des fonctions tests dans la définition de la forme a(p , w). Avec la définition (3.21), l’erreur en norme énergie donne

p - p^h ₁² = ∇p - ∇p^{h t} ∇p - ∇p^h - k² p - p^h p - p^h dΩ

Ω (3.22)

2) On voit immédiatement que la relation (3.22) ne définit pas une norme puisque l’opérateur n’est pas défini positif (lorsque k est plus grand que la première valeur propre). On peut alors adopter comme définition de la norme H¹[IHL95/1, MEL95], p - p^h ₁² = ∇p - ∇p^{h t} ∇p - ∇p^h + k² p - p^h p - p^h dΩ

Ω (3.23)

3) Enfin, il est plus courant et plus aisé d’utiliser la semi-norme H¹ définie par p - p^h ₁² = v - v^{h t} v - v^h _dΩ

Ω (3.24)

La relation (3.24) ne définit pas une norme car la condition (9.9) n’est pas satisfaite : le second membre peut être nul alors que l’erreur sur le champ de pression ne l’est pas. On dit dans ce cas qu’elle définit une semi-norme. Néanmoins, lorsqu’il existe

des conditions aux limites de Dirichlet (2.22) homogènes, la relation (3.24) définit bien une norme.

4) Toutefois, si l’on veut connaître l’erreur sur une variable en particulier, il est toujours possible de la calculer en norme L². Par exemple, l’erreur en norme L² sur le champ de pression s’écrit

p - p^h ₀² = p - p^h p - p^h dΩ

Ω (3.25)

Toutes les quantités ainsi définies sont difficiles à interpréter car elles sont des mesures énergétiques de l’erreur. On leur préfère alors des grandeurs relatives, telle l’erreur relative en semi-norme H¹,

η = p - p^h ₁

p ₁ (3.26)

qui fournit une mesure de l’erreur en fraction de la norme de la solution.

Pour illustrer ces définitions, considérons le problème modèle 1 respectivement pour κ₁ = 10^.3 (f = 410 Hz) et κ₂ = 15^.1 (f = 600 Hz). À partir de la solution exacte (2.46), il est aisé de montrer que

p ₀² = Ω (3.27)

et, avec la définition (3.24)

p ₁² = Ω (3.28)

Le calcul d’erreur exact est synthétisé à la table 3.1. pour un maillage d’éléments linéaires (p=1) de taille h = 0^.1 m (L = 1 m, hauteur du tube = 0^.2 m).

p - p^h ₀ p - p^h ₀ p ₀

p - p^h ₁ p - p^h ₁ p ₁

κ1 = 10.3 0^.010 22^.36 % 0^.160 35^.78 %

κ2 = 15^.1 0^.265 59^.25 % 0^.305 68^.20 %

Table 3.1. Problème modèle 1 : calcul d’erreur en norme L² et semi-norme H¹ pour κ1 = 10.3 (f = 410 Hz) et κ2 = 15.1 (f = 600 Hz)

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

p ph

ξ

figure 3.3. (a) Problème modèle 1 : pressions exacte “p” et éléments finis “ph” (partie réelle) (f=410 Hz, k=10^.3 m^-1, h=0^.1 m, κ = 10.3)

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

p ph

ξ

figure 3.3. (b) Problème modèle 1 : pressions exacte “p” et éléments finis “ph” (partie imaginaire) (f=410 Hz, k=10^.3 m^-1, h=0^.1 m, κ = 10.3)

La distribution de pression a été représentée à figure 3.3, partie réelle (a) et imaginaire (b), et celle de vitesse à la figure 3.4. Ces figures permettent d’appréhender la définition de l’erreur à l’aide de normes intégrales. À la figure 3.3 (a) par exemple, on voit que l’erreur locale (3.18) en ξ = 0^.55 vaut,

I ( ξ = 0.55 ) p ( ξ = 0.55) ≈ 20 %

(3.29) ce qui est du même ordre de grandeur que l’erreur relative en norme L² (table 3.1). Les mesures d’erreur en normes intégrales mesurent en effet la différence entre les distributions spatiales des ondes exacte et éléments finis. Même si l’on a envie de dire, en regardant la figure 3.3 (a) par exemple, que l’onde éléments finis est de très bonne qualité, une norme d’erreur intégrale tient compte de l’erreur en chaque point et fournit une valeur qui traduit l’erreur sur la phase et l’amplitude.

Le même raisonnement peut être tenu pour la distribution de vitesse et l’on voit à la figure 3.4 (a) que l’erreur locale en ξ = 0^.85 vaut

I ( ξ = 0.85 ) p ( ξ = 0.85) ≈ 50 %

(3.30) qui est du même ordre de grandeur que l’erreur relative en semi-norme H¹. Les valeurs (3.29) et (3.30) n’ont valeur que d’exemple, à d’autres abscisses on peut calculer des erreurs locales très faibles.

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

v vh

ξ

figure 3.4. (a) Problème modèle 1 : vitesses exacte “v” et éléments finis “vh” (partie réelle) (f=410 Hz, k=10^.3 m^-1, h=0^.1 m, κ = 10.3)

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

v vh

ξ

figure 3.4. (b) Problème modèle 1 : vitesses exacte “v” et éléments finis “vh” (partie imaginaire) (f=410 Hz, k=10^.3 m^-1, h=0^.1 m, κ = 10.3)

De même, lorsque la fréquence augmente, on observe (figure 3.5) que le déphasage augmente, et l’erreur sur la valeur aussi, ce que traduisent les résultats de la Table 3.1.

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

p ph

ξ

figure 3.5. (a) Problème modèle 1 : pressions exacte “p” et éléments finis “ph” (partie réelle) (f=600Hz, k=15^.1 m^-1, h=0^.1 m, κ = 15.1)

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

p ph

ξ

figure 3.5. (b) Problème modèle 1 : pressions exacte “p” et éléments finis “ph” (partie imaginaire) (f=600Hz, k=15^.1 m^-1, h=0^.1 m, κ = 15.1)

3.6 Stabilité en semi-norme H¹

La nécessité de vérifier la condition inf-sup de Babuska-Brezzi, afin de garantir la stabilité des méthodes numériques, a été évoquée au paragraphe 2.3.3. Si de plus, ces méthodes sont consistantes (ce qui est en général très facile à démontrer), alors elles sont convergentes. La condition BB s’écrit pour la solution éléments finis [BAB96/3]

inf p ∈ S 1h

sup w ∈ S 2h

a (p^h, w^h) p^h ₁ w^h ₁

= γ^h > 0

(3.31)

Théorème

Il existe des constantes C₁ et C₂ ne dépendant ni de κ ni de h telles que C₁

κ ≤ γ^h ≤ C₂

κ (3.32)

Démonstration

La démonstration se trouve in extenso dans [IHL95/2].

Nous concluons du résultat (3.32) que la méthode des éléments finis présente une diminution de stabilité lorsque le nombre d'onde adimensionnel κ augmente. Cette propriété sera analysée en détail en introduisant les concepts de dispersion (différence de vitesses entre les ondes exacte et éléments finis) et de pollution (déphasage entre les ondes exacte et éléments finis). Nous verrons en outre que ces deux notions sont intimement liées.

3.7 Analyse de dispersion

Une première manière de mettre en évidence le déphasage entre les ondes exacte et approchée est de montrer le caractère dispersif des ondes éléments finis. Considérons l’équation d’onde (2.10) unidimensionnelle

d²p' dt²

- c²d²p' dx²

= 0

(3.33) pour laquelle nous cherchons une solution harmonique du type p' (x , t ) = p (x ) e^jωt. La variation spatiale p (x ) est solution de l’équation de Helmholtz

d²p dx²

+ k² p = 0

(3.34) Avec des conditions aux limites judicieuses, la solution correspond à la propagation d’une onde non amortie

p (x ) = p₀e^{j k x} (3.35)

Dans ce cas, l’équation d’onde (2.10) a donc pour solution générale une onde du type

p' (x , t ) = p₀e^{j ( k x + ωt )} (3.36) qui se propage à la vitesse

ω k = c

(3.37) Cette vitesse est égale à la vitesse du son et est indépendante de la fréquence d’excitation : le milieu est dit non dispersif. Nous allons montrer que ce n’est pas le cas des ondes éléments finis qui sont du type

p'^h(x , t ) = e^{j ( khx + ωt )} ∀ x ∈ T^h (3.38) où k^h dépend de la fréquence d’excitation. Les ondes éléments finis ont donc une vitesse de propagation

ω k^h

≠ c

(3.39) qui diffère de la vitesse du son et qui détruit le caractère non dispersif des ondes satisfaisant à l’équation de Helmholtz. En fait, le nombre d'onde éléments finis est une fonction non linéaire du nombre d'onde exact. Le théorème qui suit et sa démonstration sont adaptés de [IHL95/1], mais on en trouve déjà l’idée dans [HAR91].

Théorème

Dans le cas de maillages uniformes d’éléments linéaires, on a k^h = k - k³ h²

24 + O(k⁵ h⁴)

(3.40) Démonstration

La démonstration est adaptée de [IHL95/1, IHL95/2, IHL97/3]. Elle consiste à résoudre l’équation de Helmholtz discrétisée par éléments finis (3.7) et exprimée en un noeud interne du maillage. Pour cela, exprimons d’abord les matrices de rigidité K (3.8) et de masse M (3.10) au niveau élémentaire. Pour l’élément τ, les fonctions de forme sont données par (figure 3.6)

N₁(x ) = x₂ - x

h et N₂(x ) = x - x₁

h (3.41)

1 2

N₁(x) 1

1 2

N₂(x)

x 1 x

figure 3.6. Fonctions de forme linéaires pour un élément unidimensionnel On en déduit aisément les matrices de rigidité et de masse élémentaires par simple intégration

K = 1 h 1 -1

-1 1

et M = h 6 c²

2 1

1 2 (3.42)

Le système assemblé (3.7) peut alors s’écrire, en l’absence d’amortissement structural (C=0)

S (kh) R (kh) 0 ... ... 0

R (kh) 2 S (kh) R (kh) 0

0 ... ...

... ... ... 0

0 R (kh) 2 S (kh) R (kh)

0 ... ... 0 R (kh) S (kh)

p^h = h f

(3.43) où,

S (kh) = ( 1 - k2h2

3 ) et R (kh) =(-1 - k²h² 6 )

(3.44) L’équation correspondant au noeud n peut être isolée et s’écrit

R (kh)p_n-1^h + 2 S (kh)p_n^h + R (kh)p_n+1^h = 0 (3.45) le second membre étant nul si le noeud n n’appartient pas à la frontière. On cherche des solutions de type p_n^h = exp(α^hx_n). En observant que xn = n h, il vient

R (kh)e^{αh( n-1 )h} + 2 S (kh)e^{αh( n )h} + R (kh)e^{αh( n+1 )h} = 0 (3.46) Posant λ = e^{αh h}, l’équation (3.46) se ramène à une équation du deuxième degré en λ

R (kh)+ 2 S (kh)λ + R (kh)λ² = 0 (3.47) dont les racines sont

λ_{1, 2} = - S (kh) R (kh)^±

S²(kh) R²(kh)

- 1

(3.48) Selon le signe du discriminant, les racines ^λ_{1, 2} sont réelles ou complexes. Si elles sont réelles, la définition de λ montre que les ondes sont amorties (α^h = k^h), par contre si elles sont complexes les ondes se propagent sans amortissement (^αh = j k^h). Considérons le cas de racines complexes, c’est-à-dire

S (kh) R (kh) < 1

(3.49) En développant cette condition par les définitions (3.44), il est aisé de montrer qu’elle correspond à

kh < 12 (3.50)

ce qui est très courant en pratique, cette condition étant moins stricte que la règle de bonne pratique (3.14). Par la définition de λ, il vient pour la partie réelle des racines

cos(k^hh) = - S (kh)

R (kh) (3.51)

c’est-à-dire,

k^hh = arccos(- S (kh) R (kh))

(3.52) On a alors, par développement en série de Taylor,

k^hh = kh - kh ³

24 + 3 kh ⁵

640 + O kh ⁷

(3.53) soit,

k^h = k - k^{3 h2}

24 + O(k⁵h⁴)

(3.54) Afin d’illustrer numériquement les conséquences de ce théorème, nous considérons le problème modèle 1 en variables dimensionnelles pour une cavité de longueur L variable discrétisée par des éléments de taille h = 0^.1 m. Les conséquences du théorème (3.40) sont les suivantes.

1) les ondes numériques de type éléments finis sont dispersives : leur vitesse de propagation dépend du nombre d'onde, c’est-à-dire de la fréquence d’excitation.

Cette remarque est illustrée par le problème modèle 1 aux nombres d'onde k₁ = 18^.85 m^-1 (f = 750 Hz) et k₂ = 25^.1 m^-1 (f = 1000 Hz), tous deux supérieurs à la limite de résolution SYSNOISE afin d’illustrer le caractère général de la relation (3.52) (k_SYSNOISE = 10^.5 m^-1, f_SYSNOISE = 417 Hz). Par application de la formule (3.52), on voit aux figures 3.7 (a) et (b) la très bonne corrélation entre l’onde exacte calculée avec le nombre d'onde k^h et la solution éléments finis. On en déduit les vitesses de propagation éléments finis : v₁ = 279 m/s et v₂ = 293 m/s, toutes deux supérieures à la vitesse de propagation du son imposée pour ce problème ( c = 250 m/s ), ce qui correspond à une plus grande longueur d’onde,

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

p(k) p(kh) ph

x

figure 3.7. (a) Problème modèle 1 : pressions exacte “p(k)”, exacte avec dispersion “p(kh)”

et éléments finis “ph” (partie réelle) - (k=18^.85 m^-1, f=750 Hz, L=1 m, h=0^.1 m, κ1 = 18.85)

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

p(k) p(kh) ph

x

figure 3.7. (b) Problème modèle 1 : pressions exacte “p(k)”, exacte avec dispersion “p(kh)”

et éléments finis “ph” (partie réelle) - (k=25^.1 m^-1, f=1000 Hz, L=1 m, h=0^.1 m, κ2 = 25.1)

2) l’onde numérique se propagera sans amortissement si la condition (3.50) est satisfaite, c’est-à-dire si l’onde est résolue par deux éléments linéaires au moins, 3) à ce stade, nous pouvons déjà illustrer les lacunes d’un critère de type SYSNOISE

(3.12-14) de la manière suivante. Considérons le problème modèle 1 à un nombre d’onde inférieur au nombre d’onde limite de la relation (3.14) et évaluons la dispersion de l’onde pour des tubes respectivement de longueur 1 et 8 m. Les figures 3.8 (a-b) présentent les ondes exacte, éléments finis et exacte déphasée par application de la relation (3.52). On observe sur le tube de longueur unitaire une excellente corrélation entre l’onde exacte et l’onde éléments finis car la modélisation est limitée à une longueur d’onde. Par contre, sur le tube de 8 m, avec la même résolution d’une longueur d’onde par dix éléments, on observe un déphasage important en x = 8 m, de l’ordre d’un quart de longueur d’onde. On en déduit donc que l’erreur de discrétisation en acoustique ne peut pas être contrôlée en maintenant kh constant, ce que nous établissons mathématiquement et numériquement au paragraphe 3.8,

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

p(k) p(kh) ph

x

figure 3.8. (a) Problème modèle 1 : pressions exacte “p(k)”, exacte avec dispersion “p(kh)”

et éléments finis “ph” (partie réelle) - (k =6.28 m^-1, f = 250 Hz, L = 1 m, h = 0^.1 m, κ = 6.28)

-1 -0.5 0 0.5 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

p(k) p(kh) ph

x

figure 3.8. (b) Problème modèle 1 : pressions exacte “p(k)”, exacte avec dispersion “p(kh)”

et éléments finis “ph” (partie réelle) - (k = 6.28 m^-1, f = 250 Hz, L = 8 m, h = 0^.1 m, κ = 50.3) 4) bien sûr, tous ces résultats sont présentés sur un problème unidimensionnel. En fait,

ils peuvent être observés dans le cas général de cavités bi- ou tridimensionnelles mais il n’est pas possible dans ce cas d’établir une relation permettant de connaître a priori la vitesse de propagation numérique. On peut toutefois illustrer le même phénomène sur le problème modèle 3 (cavité bidimensionnelle) pour une onde se propageant par exemple à 45° par rapport à l’axe x. Les figures 3.9 (a-b) donnent les distributions de la partie réelle des ondes de pression exacte, exacte se propageant au nombre d’onde discret (3.52) et éléments finis. On constate qu’il y a effectivement un déphasage entre les ondes exactes et éléments finis qui est légèrement inférieur à celui prédit par la relation (3.52) dont le domaine de validité est restreint aux problèmes unidimensionnels.

-1 -0.5 0 0.5 1

0 2 4 6 8 10

pression

p(k) p(kh) ph

x (y=0)

figure 3.9. (a) Problème modèle 3 : pressions exacte “p(k)”, exacte avec dispersion “p(kh)”

et éléments finis “ph” (partie réelle) le long de l’axe y = 0 (k = 5.03 m^-1, f = 200 Hz, L = 10 m, α = 45°, h = 0^.25 m, κ = 70.11)

-1 -0.5 0 0.5 1

0 5 10 15

pression

p(k) p(kh) ph

s (y=x)

figure 3.9. (b) Problème modèle 3 : pressions exacte “p(k)”, exacte avec dispersion “p(kh)”

et éléments finis “ph” (partie réelle) le long de l’axe y = x (k = 5.03 m^-1, f = 200 Hz, L = 10 m, α = 45°, h = 0^.25 m, κ = 70.11)

3.8 ^k-singularité (pollution)

3.8.1 Notion de pollution

Avant de démontrer l’existence de pollution numérique dans le cadre de l’acoustique, il convient d’en définir la notion qui ne fait pas l’objet des enseignements classiques de type “ingénieur” [ZIE89, WAR96/1]. La notion de pollution a été introduite principalement par I. Babuska qui en a fait récemment une analyse systématique dans le cadre de l’élasticité [BAB94/3, BAB95/3, BAB97/1]. Elle est intimement liée à la présence de singularités. Par exemple, I. Babuska et al. montrent que la présence de singularités géométriques (angles entrants) pour un problème d’élasticité influence globalement la qualité de la solution éléments finis et il ne peut dès lors être question de s’affranchir d’un raffinement dans les zones concernées. D’autres singularités peuvent produire les mêmes effets (discontinuité de conditions aux limites, ...). Un exposé succinct de ces travaux en élasticité est donné en annexe 9.3.

3.8.2 Erreur de pollution en semi-norme H¹

Ce paragraphe est adapté des travaux de F. Ihlenburg et I. Babuska [IHL95/2, BAB95/2, BAB96/1, IHL97/1, IHL97/3]. Nous définissons dans ce paragraphe la pollution numérique en acoustique en décomposant l’erreur en semi-norme H¹ en deux contributions : l’erreur entre la solution exacte et l’interpolant (défini au paragraphe 3.4) d’une part, et l’erreur entre l’interpolant et la solution éléments finis d’autre part. C’est cette deuxième contribution qui mesure l’erreur sur la phase et l’amplitude entre les solutions exacte et éléments finis et qui définit donc l’erreur de pollution. La démonstration est menée sur le problème modèle 1 en variables adimensionnelles avec des éléments finis linéaires (p = 1) dont la taille élémentaire est notée

h = h

L (3.55)

Théorème

p - p^h ₁

p ₁ ≤ C₁ κh + C₂ κ³h2

(3.56)

pour autant que κh < 1. Θ est défini pour les éléments linéaires par

Θ = κh (3.57)

Le premier membre de (3.56) représente l’erreur relative en semi-norme H¹ et les constantes C₁ et C₂ sont indépendantes de κ, de p et de h.

Démonstration

Décomposons l’erreur en semi-norme H¹ en faisant apparaître l’interpolant p^I:

p - p^h ₁ = p - p^I + p^I - p^h ₁ (3.58) Par l’inégalité triangulaire, il vient :

p - p^h ₁ ≤ p - p^I ₁ + p^I - p^h ₁ (3.59) Le premier terme du second membre correspond à l’erreur d’approximation par des fonctions de forme polynomiales tandis que le dernier terme définit l’erreur de pollution qui correspond à l’erreur entre l’onde interpolante et l’onde éléments finis (figure 3.2).

Le dernier terme de l’inégalité (3.59) peut être relié à l’erreur exacte sur l’interpolant. Pour cela, observons que le sous-espace éléments finis est contenu dans l’espace V (2.62), on peut alors combiner les équations (2.65) et (3.3) et obtenir la relation, souvent appelée orthogonalité de l’erreur,

a₁(p - p^h, w^h) = 0 ∀ w^h ∈ S^h (3.60) où, pour les éléments linéaires, on a noté par facilité S1h

= S^h. L’équation (3.60) peut encore s’écrire, en faisant apparaître l’interpolant et puisque la fonctionnelle a1(p , w) est bilinéaire (sesquilinéaire en fait, voir annexe 9.2),

a₁(p - p^I, w^h) = - a₁(p^I - p^h, w^h) ∀ w^h ∈ S^h (3.61) Posons,

z^h = p^I - p^h (3.62)

Le problème (3.61) est donc équivalent au problème auxiliaire

a₁( z^h, w^h) = - a₁(p - p^I, w^h) ∀ w^h ∈ S^h (3.63) Le second membre peut être développé, par définition de la fonctionnelle a1(p , w) (2.63), en

a₁(p - p^I , w) = dp dξ - dp^I

dξ dw

dξ - κ² p - p^I w dξ 0

1

- jκ p (1 ) - p^I ( 1 ) w(1 ) (3.64)

Le dernier terme est nul par définition de l’interpolant (3.15). Le premier terme du second membre peut être intégré par parties,

dp dξ - dp^I

dξ dw dξ dξ 0

1

= p (ξ) - p^I (ξ) dw(ξ) dξ 0

1

- p - p^I d²w dξ² dξ 0

1

(3.65) Le premier terme du second membre est nul par définition de l’interpolant (3.15) et le second est nul car on se limite aux éléments finis linéaires. Le problème auxiliaire (3.63) devient donc

a₁( z^h, w^h) = κ² < p - p^I, w^h> ∀ w^h ∈ S^h (3.66) F. Ihlenburg et al. [IHL95/2, lemme 3 p. 20] exploitent ensuite le résultat suivant. Pour le problème

a₁( p^h, w^h) = < f, w^h> ∀ w^h ∈ S^h (3.67) ils démontrent, pour autant que κ^h < 1 (résultat adapté à la définition 3.24 de la semi-norme H¹)

p^h ₁ ≤ C κ f ₀

(3.68) Remarquons bien que ce résultat n’est pas un résultat classique. En particulier, cette relation n’est valable que si toutes les variables spatiales ont été rendues adimensionnelles. Appliquée au problème auxiliaire (3.63), la relation (3.68) donne par comparaison entre les seconds membres de (3.66) et (3.67)

z^h ₁ ≤ C κ p - p^I 0 (3.69)

L’inégalité (3.59) devient alors

p - p^h ₁≤ p - p^I ₁ + C κ p - p^I ₀ (3.70) Les normes d’erreur sur les interpolants ont déjà fait l’objet d’études antérieures au cours desquelles il a été démontré [STR73, p. 45] que (en adaptant les résultats à la définition 3.24 de la semi-norme H¹)

p - p^I ₀ ≤ Cκ^h p - p^I ₁ (3.71)

p - p^I ₁≤ C ^h κ p ₂

(3.72) Avec ces relations, il vient successivement,

p - p^h ₁ Š p - p^I ₁ + C κ^2h p - p^I ₁ Š 1 + C κ^2h p - p^I ₁ Š C^h

κ + C' κ^h2 p ₂

(3.73) Pour arriver au résultat (3.56), il reste à trouver une expression liant la semi-norme H² de p à sa semi- norme H¹. Pour cela, supposons que la solution harmonique de l’équation de Helmholtz (2.43) soit du type

p = A sin (κ ξ + φ) (3.74)

Alors, il est aisé de montrer, par simple dérivation, que

p ₂≤ C κ² p ₁ (3.75)

et finalement,

p - p^h ₁

p ₁ ≤ C1 κ^h + C₂ κ^3h2

(3.76) Enfin, la généralisation de ce théorème aux éléments de degré quelconque p se trouve dans [IHL97/1] ou [IHL97/3]

p - p^h ₁

p ₁ ≤ C1 Θ + C2 κ Θ²

(3.77) où

Θ = κ^h p

p

(3.78) Les conséquences du théorème (3.56), obtenues sur un exemple unidimensionnel, c’est-à-dire en l’absence de singularités géométriques, sont essentielles :

1) l’erreur peut être décomposée en deux termes. Le premier correspond à l’approximation polynomiale et est proportionnel à Θ. Le deuxième, appelé terme de pollution, correspond au déphasage et à l’erreur sur l’amplitude entre les ondes exacte et éléments finis, il est proportionnel à κΘ²,

2) asymptotiquement, pour ^h → 0, la relation (3.56) devient p - p^h ₁

p ₁ ≤ C1 Θ

(3.79) et l’erreur se réduit à l’erreur d’approximation polynomiale. Cette relation définit l’ordre de convergence asymptotique. On a

p - p^h ₁ = o ( h^p ) (3.80)

On peut observer à la figure 3.10 la convergence de la solution éléments finis en semi-norme H¹ pour des éléments linéaires. À faible nombre d’onde (κ = 1^.01 par exemple), on observe immédiatement l’ordre de convergence asymptotique (pour des éléments linéaires, la pente vaut bien 1). Par contre, pour les nombres d’onde plus élevés, on observe une zone préasymptotique dont l’importance croît avec le nombre d’onde.

0.1%

1.0%

10.0%

100.0%

1 10 100

kL=1.01 (f=40 Hz) kL=10.05 (f=400 Hz) kL=25.13 (f=1000 Hz) kL=50.27 (f=2000 Hz) kL=100.53 (f=4000 Hz) p - p^h₁ 1/h

p₁

figure 3.10. Problème modèle 1 : convergence en semi-norme H¹ pour différents κ=kL 3) une autre manière d’illustrer le même phénomène consiste à faire varier la longueur

du tube à nombre d’onde et taille élémentaire constants (h=constante). La figure 3.11 donne l’erreur en semi-norme H¹ en fonction de la longueur du tube. On observe qu'à nombres d'onde élevés, l’erreur croît avec la longueur, ce qui est conforme à la relation (3.76) puisque, lorsque seul le terme de pollution intervient, on a

p - p^h ₁

p ₁ Š C₂ κ^3h2

Š C₂ L k³h² (3.81)

en faisant apparaître les variables dimensionnelles. L'erreur croît donc au maximum linéairement en fonction de la longueur.