Intégration numérique avec erreur bornée en précision arbitraire

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arbitraire

Laurent Fousse

To cite this version:

Laurent Fousse. Intégration numérique avec erreur bornée en précision arbitraire. Modélisation et simulation. Université Henri Poincaré - Nancy I, 2006. Français. �tel-00477243�

D´epartement de formation doctorale en informatique Ecole doctorale IAEM Lorraine´ UFR STMIA

Int´ egration num´ erique avec erreur born´ ee en pr´ ecision arbitraire

TH` ESE

pr´esent´ee et soutenue publiquement le 4 d´ecembre 2006 pour l’obtention du

Doctorat de l’universit´ e Henri Poincar´ e – Nancy 1

(sp´ecialit´e informatique)

par

Laurent Fousse

Composition du jury

Pr´esident :

Jean-Claude BAJARD, Professeur, Universit´e de Montpellier 2

Rapporteurs :

Fabienne J´ EZ´ EQUEL, Maˆıtre de conf´erences, Universit´e Panth´eon-Assas, Paris Bruno SALVY, Directeur de recherche INRIA, Rocquencourt

Examinateurs :

Didier GALMICHE, Professeur, Universit´e Henri-Poincar´e, Nancy Norbert M ¨ ULLER, Professeur, Universit¨at Trier

Paul ZIMMERMANN, Directeur de recherche INRIA, Nancy (Directeur de th`ese)

Laboratoire Lorrain de Recherche en Informatique et ses Applications — UMR 7503

J'aibénéiélorsdelapréparationdemathèsedel'aidedenombreusespersonnes.J'aimerais

leurexprimermaprofonde gratitudepar es quelqueslignes.

Mespremiers remeriements vont naturellement à Paul Zimmermannpour avoiraepté de

m'enadrerave patieneetbonne humeur toutau longdees troisans.Déjàen stage deDEA

ilm'afaitdéouvrir(etappréier!)l'arithmétiquedesordinateurs,etsesonseilspréieuxm'ont

guidépendant mapréparation.

Je remerie haleureusement Fabienne Jézéquel etBrunoSalvypour avoir aepté d'êtreles

rapporteursdee manusript. Leur releture minutieuse ena grandement amélioré laqualité.

Je tiensàremerierJean-Claude Bajard pourm'avoirfaitl'honneurdeprésidermonjuryde

thèse.

Jeremerie NorbertMüllerpour avoiraepté defairepartiedemonjury.Nosrenontres au

grédesonférenesetenpartiuliernotrepartiipationentant queonurrentsàlaompétition

dealulMany Digits ont étél'oasiond'uneémulation et de disussionsfortenrihissantes.

Je remerie Didier Galmihe pour avoir aepté de faire partie de mon jury. Je lui suis

notamment reonnaissant de m'avoir prodigué ses onseils et enouragements onernant la n

etlejuste-aprèsthèse.

Je n'oubliepas lesmembresde l'équipe Spaes(maintenant Caao) quim'ont aueillidans

uneatmosphère detravail motivante etqui m'ont apportéuneaide sientique préieuse.Meri

donàPierrik, Guillaume,Vinent,Patrik,Damien. Jeremerietoutpartiulièrement Emma-

nuel pour l'infatigable supporttehnique L A

T

E

X qu'il m'a apporté, et Mariondont le soutienet

lesenouragementsont beauoupompté dansette période ompliquée qu'estlan de thèse.

Ma reonnaissane va aussi au LORIA et à sa diretrie pour m'avoir permis de travailler

dansd'exellentesonditions.J'aipuavanersereinement etdansuneignoranequasitotaledes

traasseries administratives grâe à notre assistante de projet Céline que je remerie pour son

eaitéetsonenthousiasme.

Je voudrais enn remerier mes amisprohes et ma famille, en partiulier mes parents. Ils

m'onttousmanifestéunsoutienetuneonanetranquilleyomprisauxmomentsoùjedoutais

moi-même.

Chapitre 1

Introdution 1

1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1 Intégrationnumérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Arrondi orret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 État del'art algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Méthode de Newton-Cotes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Méthode de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Méthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Méthode de Clenshaw-Curtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Méthode doublement exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6 Stratégies adaptatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 État del'art auniveau logiiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1 Maple 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Pari/GP 2.3.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Mathematia 5.0.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4 MuPAD2.5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Contributions etorganisationdu doument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Chapitre 2 Élémentsde alul ottant 5 Modèlede alulottant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.1 FlottantsIEEE 754. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Partiularités deMPFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7 Calul d'ulp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Chapitre 3

Intégration de Newton-Cotes

8 Présentation dela méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

9 Algorithmes pour lealuldesoeients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9.1 Algorithmenaïf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9.2 Algorithmerapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

10 Analysed'erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

10.1 Bornessurl'erreur mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

10.2 Théorème de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

10.3 Borne surlesoeients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

10.4 Erreursd'arrondi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

11 Expérimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Chapitre 4 Intégration de Gauss-Legendre 12 Présentation dela méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

13 Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

13.1 Polynmes deLegendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

13.2 Caluldes poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

14 Bornesd'erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

14.1 Erreur mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

14.2 Erreursd'arrondi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

15 Expérimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

16 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Chapitre 5 Isolation et ranement de raines 17 Isolationde raines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

17.1 Règle dessignesdeDesartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

17.2 Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

18 Ranement de raines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

18.1 Dihotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

18.2 Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

18.3 Méthode dela séante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

18.4 Comparaison delaméthode de laséanteetde l'itération de Newton . . . 86

Chapitre 6 Résultats expérimentaux 19 Desriptionde CRQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

19.2 Exemple d'utilisation deCRQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

20 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

20.1 Calul de poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

20.2 Intégrationde fontions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

21 Conlusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Conlusion 111

Bibliographie 113

1.1 La transformation

φ(x) = tanh(

^π₂

sinh x)

^{utilisée dans la méthode doublement}

exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 La déroissanede

φ

^′

(x)

^{.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9}

1.3 La fontion sinus ardinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1 Les formats de ottants de la norme IEEE 754 (la plage d'exposant est donnée

pour unenormalisation

1 ≤ | m | < 2

^{). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15}

3.1 TempsdealuldespoidsdeNewton-Cotespourde petits

n

^avel'algorithme naïf. 25 3.2 Dénition de

Tree(a

₁

, a

₂

, . . . , a

_n

)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27}

3.3 Calul de l'arbredesproduits

Tree(0, 1, 2, 3)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27}

3.4 Évaluationmulti-pointsrapide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5 Le rapport

log(S(n)/n

²

)/ log log(n)

^{semble tendre vers}

1, 5

^,où

S(n)

^{est la taille}

desoeients deNewton-Cotes en bitspour

n

^{points. . . . . . . . . . . . . . . . 35}

3.6 Un exemple de mesure d'erreur pour la méthode de Newton-Cotes appliquée à

f : x 7→ e

^x,

[a, b] = [0, 3]

^{. Lesaluls sont faits ave lapréision par défautde}

53

bits desottantsdouble préision, lenombrede points

n

^{estindiqué enabsisse,}

le logarithmeen base

2

^{de l'erreur esten ordonnée. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42}

3.7 Lesdiérentesbornesd'erreurslorsdualulde

R3

0

e

^x

dx

^ave

113

^{bitsdepréision.}

Seule la ourbe mesurée orrespond diretement à une erreur plutt qu'à une

bornesurl'erreur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.8 Lesvaleursoptimalesdunombre

n

^depointsd'évaluationpourplusieurspréisions de alul(données expérimentalesissuesde l'étudede

R3

0

e

^x

dx

^{). . . . . . . . . . . 46}

4.1 La surestimation de l'erreur en bits lors du alul de

R₃

0

e

^x

dx

^ave

113

^{bits de}

préision et

n

^pointsd'évaluation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2 Les bornes sur les erreurs d'arrondi

B

^{arrondi et sur l'erreur} mathématique

B

^math

lors du alulde

R3

0

e

^x

dx

^ave

113

^{bits de préision et}

n

^pointsd'évaluation. . . . 59 4.3 Temps de alul des poids et absisses pour

113

^{bits de préision et}

n

^points

d'évaluation. Mesureseetuées surunPentium 4 à 3,2GHz.. . . . . . . . . . . . 60

4.4 Ordres optimaux pour diérentes préisionsde alul, pour lealulde

R₃

0

e

^x

dx

^{.. 60}

5.1 La zoneomplexe prosrite pour lesraines de

P

^{dansle théorème10. . . . . . . 62}

5.2 La zoneomplexe presrite pour lesraines nonréelles de

P

^{danslethéorème 11. 63}

5.3 Une étape de l'itération de Newton dans une situation idéale, où le nombre de

bits orrets double à haque étape et où l'ajustement

d

^{de l'étape ourante est}

alulé ave lapréision optimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4 Une interprétation graphiquede laméthodede Newtonpar intervalles. . . . . . . 78

5.5 Une situation oùlaméthodede lafausse positionne onvergepasau sensdes

intervalles:laborneinférieuredel'intervalle onvergeverslarainemaislaborne

supérieureest onstante. La taillede l'intervalle d'isolationest don minorée. . . 82

5.6 L'évolution de la position de

x

_n ^{par rapport à la raine}

u

^{dans le domaine de}

onvergene,déoupée en yles disjoints. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.7 Une étape de l'itération de la séante ave

f (x) = x

²

− x − 2

^,

x

₀

= 8

^,

x

₁

= 4

^et

u = 2

^{.Lespointsinitiauxsont hoisis loindelaraine pour améliorerlavisibilité}

maiselane hange paslerésultat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.8 Une étape de l'itération de laséante dansledomaine deonvergene, indiquant

leserreurs estiméessurhaque terme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.1 ComparaisondesperformanesdesdeuxalgorithmesdealuldespoidsdeNewton-

Cotes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Introdution

1 Problématique

1.1 Intégration numérique

La notion d'intégrale est essentielle en analyse et onduit à de nombreux développements

théoriques aussi bien que pratiques. On peut iter naturellement le alul diérentiel omme

prolongement évident,maisonretrouvelebesoindealulerdesintégralesnotammententhéorie

analytiquedesnombres,dansledomaine desalulsgraphiquessurordinateurs,etbienentendu

aussidansdesappliations physiques.

L'intégration numérique en elle-même se distingue de l'intégration symbolique dont l'objet

est de fournir une expression mathématique équivalente à une expression faisant intervenir une

intégrale. Pourillustration, un systèmede alulsymbolique pourra aluler

Z ₁₇

0

dx

1 + x

²

= arctan(17)

tandis qu'une intégration numérique seontentera derépondre :

Z 17

0

dx

1 + x

²

≈ 1, 512040504...

A priori la résolution symbolique de formules omportant des intégrales est préférable : on

obtient une expression plus simple qu'il sera possible de ontinuer à manipuler par la suite en

tant que sous-expression de l'expression globale. Par exemple le système de alul symbolique

saura montrerque

Z 17

0

dx

1 + x

²

− arctan(17) = 0

tandis qu'un système numérique alulera une valeur approhée de l'expression gauhe en se

rapprohanttoujoursplusdezéroàmesurequelapréisiondemandée granditmaissanspouvoir

déider de lanullité de l'expression.

D'autre partle alul numérique d'une intégrale fait appel à un nombre plus ou moins im-

portant d'évaluations de lafontion à intégrer,e qui a desimpliationsautant sur letemps de

alulquesur lapréision.À titred'exempleon peutdénir pour

0 ≤ x ≤ 1

^:

f(t) = 2

p

1 − t

²

F (x) =

Z _x

0

f(t)dt =

Z _x

0

2

p

1 − t

²

dt = arcsin(x) + x

p

1 − x

²

.

Le alulde

F (x)

^via l'expressionde droite pour une valeurdonnée de

x

^{demande le alul}

d'une raine arrée et d'un ar-sinus en plus de quelques opérations élémentaires. En revanhe

l'évaluation numérique de l'intégrale demande lealul de

2 √

1 − t

^{2 pour un ertainnombrede}

valeurs de

t

^{hoisies dans}

[0, x]

^{. Le nombre exat de points à utiliser dépendra de la méthode}

d'intégration hoisie etde la préision voulue mais il est légitime de penser que dansle as où

la fontion

f

^{est fournie omme une boîte noire à la routine} d'intégration numérique alors le résultat fournipour

F

^{sera moinspréisetdemandera plus detemps de alulque viale alul}

diretde l'expressionsymboliquesans intégrale, pour une même préision.

Dansesonditions,pourquoivouloirintégrernumériquementmalgrétout?Onpeutavaner

prinipalement deuxarguments.

Toutd'abord,l'intégrationsymboliquepeutéhouer.Commeexemplebienonnu,laprimitive

x 7→

Z x

0

e

^−t2

dt