Estimation a posteriori adaptation de maillage
Thierry Coupez
Erreur d’approximation
• La simulation numérique :
– Réalité physique – Modèle physique – Modèle mécanique
⇒ Système d’équations aux dérivées partielles
Résolution :
-Méthode d’approximation : éléments finis - Erreur d’approximation :
- Erreur a priori : ce que l’on peut dire de l’approximation que l’on va faire
- Erreur a posteriori : ce que l’on peut dire de la solution
approchée que l’on vient de calculer
Aperçu historique :
/HVSUpFXUVHXUV
pour le point de vue mathématiques : Babuska, Bank et Oden Les approches les plus immédiates : Zienkienwicz et Zu.
)LOLqUHDQDO\VHQXPpULTXH
:les travaux de synthèse de Verfurth
- un cadre unifié à nombre de méthodes existantes - une approche approfondie des méthodes de résidus.
/HSRLQWGHYXHPpFDQLTXH
de l’estimation d’erreur : Ladevèze basée sur l’erreur en loi de comportement.Il existe donc des méthodes afin d’estimer
véritablement l’erreur commise lors d’un calcul éléments finis et ceci pour un grand nombre d’applications.
Erreur d’approximation
Pour un problème donné
u
hune solution calculée, approximation de u solution exacte, u,.
L’erreur d’approximation est donnée par l’écart de la solution approchée à la solution exacte :
X
KX −
Pour une norme qui aura son importance en fonction du problème traité.
Un estimateur d’erreur est une approximation de l’erreur exacte qui est calculable à partir de la solution approchée uniquement:
K K
K
X X X
( ( ) ≈ −
– Mesure de l ’erreur: choix d ’une norme
• Norme L
2:
• Norme W
1,m+1:
• Norme énergie :
2 1 2
L h
h
e d
e
2
= ∫
1/2 3
1 i
1 m
i 1 h
m m h
h
h
x d e e
e
∂ + ∂
= ∫
+∑
= +( ) ( )
21
h ex
h E ex
h
: d
e
−
−
= ∫
Erreur d’approximation
En connaissant le comportement de l’erreur a priori, pour h une taille de maille et p un degré d’interpolation :
S K
K K
K X ( X K K
(
≈ ’
) (
) ( ’
’
K F X K S
X
X − ≤ ( )
Qui dépend à la fois de l’ordre d’approximation, du type de norme utilisée et du type de problème approché (ce qui nécessite l’analyse numérique de la méthode utilisée).
Il est alors possible à l’aide de l’estimateur de calculer une taille de maille nécessaire afin d’obtenir une précision donnée.
Pour une erreur désirée on calcul h’ (localement) à partir de l’estimateur
Construit à partir de la solution calculée puis on refait le maillage en respectant la carte de maille estimée
– Estimation d ’erreur a priori
•
•
– C
1et C
2: constantes indépendantes du maillage – h est le diamètre maximal des éléments
– p
iest le degré maximal des fonctions d’interpolation.
• Pour un problème présentant une singularité d ’intensité λ :
1 p L 1
h
i
2
C h
e ≤
+pi
1 2
h
C h
e ≤
( pi)
min 1 3
h
C h
e ≤
Où est l’erreur ?
Dans les méthodes éléments finis, la plupart des estimateurs tentent d’approcher une norme du résidu. On peut comprendre cela d’un point de vue mécanique. En notant s le tenseur des contraintes et une relation de comportement liant vitesse (ou déplacement) aux contraintes :
) ( X
σ σ =
I GLY σ =
considère un simple problème d’équilibre statique (élasticité, viscoplasticité) :
En supposant u nul au bord, la formulation variationnelle de ce problème
)
0(
: Y = ∫ I Y ∀ Y ∈ 9
∫
Ωσ ε
ΩQue l’on note de façon compacte :
)
0, ( )
,
( X Y I Y Y 9
D = ∀ ∈
Où est l’erreur ?
une approximation interne éléments finis en construisant un sous espace
9 9
K⊂
, de dimension fini et on obtient
X K
solution du problème approché :K K K
K
K Y I Y Y 9
X
D ( , ) = ( , ) ∀ ∈ 0
Le résidu est défini dans 9 par :
)
0, (
) , (
) ,
( 5
KY = D X
KY − I Y ∀ Y ∈ 9
Où est l’erreur ?
Il est évident alors que :
) ,
( )
,
( 5
KY = D X
K− X Y − Y
Koù
Y
K est ici une approximation quelconque deY
3DUFRQVpTXHQWO¶HUUHXUG¶DSSUR[LPDWLRQHVWGpWHUPLQpHSDU ODQRUPHGXUpVLGX
9 K
K Y
5 Y Y
5 6XS ( , )
0
1 ≠
−
=
Un estimateur d’erreur est basée sur une estimation de la norme du résidu
D’un point mécanique : la norme du résidu est une évaluation de l’erreur en énergie
Vrai pour la plupart des problèmes elliptiques.
Tous les estimateurs d’erreur reviennent à approcher la norme du résidu en ne se servant que de la solution approchée.
Deux grandes classes de méthodes :
•celles qui tentent de construire directement une norme du résidu et
•celles qui sont basées sur la résolution d’un problème local à partir d’une approximation
- d’ordre plus élevée (méthodes hiérarchiques)
- ou plus régulière (régularisation).
Estimation directe du résidu
méthode de résidu, une méthode qui évalue directement la norme du résidu.
Si on choisit une approximation P1 continue dans le problème décrit jusqu’ici on aboutit aux quantités suivantes :
Sur chaque élément K :
. K 2
.
.
K X I
H = α
1∇ . σ ( ) −
,Sur chaque face F :
[
K]
2 ))
)
K X
H = α
2 21σ ( )
,Et la norme du résidu par :
∑
∑ +
−
≈
) )
. .
K
H H
5
1– Estimateurs d ’erreur en relation de comportement :
¾ Principe: construire un nouveau champ σ
SA/ i div σ
SA+ f = 0 sur Ω
ii σ
SA.n = T sur Γ
Niii σ
SAContinu
➨ L ’estimateur d ’erreur est ainsi décrit:
)d ˆ )
( (C : ˆ )
4 ( 1
avec
e
h 1
h 2
2
2
= ∑
H= ∫ −
−−
H
η
Hη
η
Mais σSA ne vérifie pas la loi de comportement : σSA ≠ C.ε ( élasticité )
– Estimateurs basés sur la comparaison avec une solution extrapolée:
¾ Principe: calculer l’écart entre la solution éléments finis et une solution améliorée par les techniques d ’extrapolation
L ’estimateur est définit comme suit:
HOOKE de
loi la de tenseur :
C
extrapolée solution
la :
d ) (
C : ) (
avec
* h
h
* h 1 h
* h 2
e e
2 e 2
e
−
−
=
= ∑ ∫
−– Construction de : techniques d ’extrapolation
*hh E h E
h
h h
p h E
h h
0
i p
h E
1/2
h E h
h
e de estimation bonne
une
~ est et
vers que
rapidement plus
converge alors ~
~ C.h / 0 et
~ champ un
si
E.F e convergenc de
vitesse la
p et 0 C / C.h
Propriété :
exacte erreur
l' )d
( : ) (
e : soit
i
−
=
−
⇒
≤
−
>
∃
•
>
≤
−
− −
=
−
=
+
∫
– Principe des techniques d ’extrapolation:
1. Extrapolation des déplacements : méthode d ’Orkisz
– Critère de choix des voisins:
⇒ ζ
-1est la quantité d ’information apportée par le voisin.
Q°XGFRXUDQW Q°XGYRLVLQ
YRLVLQDJHWRSRORJLTXH YRLVLQDJHGLIIpUHQFHVILQLV
∏
= −
=
3
1
2
L 1
L1
U
1 [ ( )
21 3
1
:
2avec
= ∑
M= M1
[
U
doivent minimiser la fonctionnelle :
k j
M i 2
j M i
x x et u x
u
∂
∂
∂
∂
∂
➟ (
grad(u ) grad(u ))
2
~ 1 t
h h
h = +
( ) ( ) ( )
∑
∈ ( )
=
M N
2
N 3 N 3 i i
DF
U
U
ϑ
maillage.
du noeud chaque
sur ue) (quadratiq P
ou linéaire) tion
(extrapola P
~ est
maillage.
du élément chaque
sur P
est
2 1
0 K
K
ε ε
•
•
( ( )
N 3)
i k
j k j
M i 3 2
1 j
3
1 k j
3
1
j j
M M i
i N
i [ [ U
x x
u~ 2
[ 1 x
~u u~
u : N de voisin
M +
∂
∂ + ∂
∂ + ∂
=
∀
∑ ∑∑
= =
=
eOpPHQWVOLQpDLUHV3
eOpPHQWVTXDGUDWLTXHV3
⇒ Extrapolation:
2. Extrapolation des contraintes:
3RLQWGH*DXVVYRLVLQ Q°XGFRXUDQW
YRLVLQDJHWRSRORJLTXH
...
[ x
~ ~
j 3
1
j j
M M ij
ij N
ij
+
∂ + ∂
= ∑
=nœud M et N un point d ’intégration voisin, σ champ de contrainte à extrapoler :
– Efficacité des estimateurs :
Définition : Erreur estimée / Erreur exacte :
L ’estimateur est dit asymptotiquement exact si ξ
→ 1 lorsque ||e
h|| → 0
En pratique l ’indice d ’efficacité apporte une correction sur l ’erreur estimée.
E h h
h E
= e
−
= −
∗
2SWLPLVDWLRQGXPDLOODJH
$SSOLFDWLRQV
7HPSpUDWXUH