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Erreur d’approximation

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Estimation a posteriori adaptation de maillage

Thierry Coupez

(2)

Erreur d’approximation

• La simulation numérique :

– Réalité physique – Modèle physique – Modèle mécanique

⇒ Système d’équations aux dérivées partielles

Résolution :

-Méthode d’approximation : éléments finis - Erreur d’approximation :

- Erreur a priori : ce que l’on peut dire de l’approximation que l’on va faire

- Erreur a posteriori : ce que l’on peut dire de la solution

approchée que l’on vient de calculer

(3)

Aperçu historique :

/HVSUpFXUVHXUV

pour le point de vue mathématiques : Babuska, Bank et Oden Les approches les plus immédiates : Zienkienwicz et Zu.

)LOLqUHDQDO\VHQXPpULTXH

:

les travaux de synthèse de Verfurth

- un cadre unifié à nombre de méthodes existantes - une approche approfondie des méthodes de résidus.

/HSRLQWGHYXHPpFDQLTXH

de l’estimation d’erreur : Ladevèze basée sur l’erreur en loi de comportement.

Il existe donc des méthodes afin d’estimer

véritablement l’erreur commise lors d’un calcul éléments finis et ceci pour un grand nombre d’applications.

(4)

Erreur d’approximation

Pour un problème donné

u

h

une solution calculée, approximation de u solution exacte, u,.

L’erreur d’approximation est donnée par l’écart de la solution approchée à la solution exacte :

X

K

X −

Pour une norme qui aura son importance en fonction du problème traité.

Un estimateur d’erreur est une approximation de l’erreur exacte qui est calculable à partir de la solution approchée uniquement:

K K

K

X X X

( ( ) ≈ −

(5)

– Mesure de l ’erreur: choix d ’une norme

• Norme L

2

:

• Norme W

1,m+1

:

• Norme énergie :

2 1 2

L h

h

e d

e

2

 

 

= ∫

1/2 3

1 i

1 m

i 1 h

m m h

h

h

x d e e

e  

 

∂ + ∂

= ∫

+

= +

( ) ( )

2

1

h ex

h E ex

h

: d

e  

 

= ∫

(6)

Erreur d’approximation

En connaissant le comportement de l’erreur a priori, pour h une taille de maille et p un degré d’interpolation :

S K

K K

K X ( X K K

( 

 

≈  ’

) (

) (

K F X K S

X

X − ≤ ( )

Qui dépend à la fois de l’ordre d’approximation, du type de norme utilisée et du type de problème approché (ce qui nécessite l’analyse numérique de la méthode utilisée).

Il est alors possible à l’aide de l’estimateur de calculer une taille de maille nécessaire afin d’obtenir une précision donnée.

Pour une erreur désirée on calcul h’ (localement) à partir de l’estimateur

Construit à partir de la solution calculée puis on refait le maillage en respectant la carte de maille estimée

(7)

– Estimation d ’erreur a priori

– C

1

et C

2

: constantes indépendantes du maillage – h est le diamètre maximal des éléments

– p

i

est le degré maximal des fonctions d’interpolation.

• Pour un problème présentant une singularité d ’intensité λ :

1 p L 1

h

i

2

C h

e ≤

+

pi

1 2

h

C h

e ≤

( pi)

min 1 3

h

C h

e ≤

(8)

Où est l’erreur ?

Dans les méthodes éléments finis, la plupart des estimateurs tentent d’approcher une norme du résidu. On peut comprendre cela d’un point de vue mécanique. En notant s le tenseur des contraintes et une relation de comportement liant vitesse (ou déplacement) aux contraintes :

) ( X

σ σ =

I GLY σ =

considère un simple problème d’équilibre statique (élasticité, viscoplasticité) :

En supposant u nul au bord, la formulation variationnelle de ce problème

)

0

(

: Y = ∫ I Y ∀ Y ∈ 9

σ ε

Que l’on note de façon compacte :

)

0

, ( )

,

( X Y I Y Y 9

D = ∀ ∈

(9)

Où est l’erreur ?

une approximation interne éléments finis en construisant un sous espace

9 9

K

, de dimension fini et on obtient

X K

solution du problème approché :

K K K

K

K Y I Y Y 9

X

D ( , ) = ( , ) ∀ ∈ 0

Le résidu est défini dans 9 par :

)

0

, (

) , (

) ,

( 5

K

Y = D X

K

Y − I Y ∀ Y ∈ 9

(10)

Où est l’erreur ?

Il est évident alors que :

) ,

( )

,

( 5

K

Y = D X

K

− X Y − Y

K

Y

K est ici une approximation quelconque de

Y

3DUFRQVpTXHQWO¶HUUHXUG¶DSSUR[LPDWLRQHVWGpWHUPLQpHSDU ODQRUPHGXUpVLGX

9 K

K Y

5 Y Y

5 6XS ( , )

0

1 ≠

=

Un estimateur d’erreur est basée sur une estimation de la norme du résidu

(11)

D’un point mécanique : la norme du résidu est une évaluation de l’erreur en énergie

Vrai pour la plupart des problèmes elliptiques.

Tous les estimateurs d’erreur reviennent à approcher la norme du résidu en ne se servant que de la solution approchée.

Deux grandes classes de méthodes :

•celles qui tentent de construire directement une norme du résidu et

•celles qui sont basées sur la résolution d’un problème local à partir d’une approximation

- d’ordre plus élevée (méthodes hiérarchiques)

- ou plus régulière (régularisation).

(12)

Estimation directe du résidu

méthode de résidu, une méthode qui évalue directement la norme du résidu.

Si on choisit une approximation P1 continue dans le problème décrit jusqu’ici on aboutit aux quantités suivantes :

Sur chaque élément K :

. K 2

.

.

K X I

H = α

1

∇ . σ ( ) −

,

Sur chaque face F :

[

K

]

2 )

)

)

K X

H = α

2 21

σ ( )

,

Et la norme du résidu par :

+

) )

. .

K

H H

5

1

(13)

– Estimateurs d ’erreur en relation de comportement :

¾ Principe: construire un nouveau champ σ

SA

/ i div σ

SA

+ f = 0 sur Ω

ii σ

SA

.n = T sur Γ

N

iii σ

SA

Continu

➨ L ’estimateur d ’erreur est ainsi décrit:

)d ˆ )

( (C : ˆ )

4 ( 1

avec

e

h 1

h 2

2

2

=

H

=

H

η

H

η

η

Mais σSA ne vérifie pas la loi de comportement : σSA ≠ C.ε ( élasticité )

(14)

– Estimateurs basés sur la comparaison avec une solution extrapolée:

¾ Principe: calculer l’écart entre la solution éléments finis et une solution améliorée par les techniques d ’extrapolation

L ’estimateur est définit comme suit:

HOOKE de

loi la de tenseur :

C

extrapolée solution

la :

d ) (

C : ) (

avec

* h

h

* h 1 h

* h 2

e e

2 e 2

e

=

= ∑ ∫

(15)

– Construction de : techniques d ’extrapolation

*h

h E h E

h

h h

p h E

h h

0

i p

h E

1/2

h E h

h

e de estimation bonne

une

~ est et

vers que

rapidement plus

converge alors ~

~ C.h / 0 et

~ champ un

si

E.F e convergenc de

vitesse la

p et 0 C / C.h

Propriété :

exacte erreur

l' )d

( : ) (

e : soit

i

=

>

>

 

 

 − −

=

=

+

(16)

– Principe des techniques d ’extrapolation:

1. Extrapolation des déplacements : méthode d ’Orkisz

– Critère de choix des voisins:

⇒ ζ

-1

est la quantité d ’information apportée par le voisin.

Q°XGFRXUDQW Q°XGYRLVLQ

YRLVLQDJHWRSRORJLTXH YRLVLQDJHGLIIpUHQFHVILQLV

=

 

=

3

1

2

L 1

L1

U

1 [ ( )

2

1 3

1

:

2

avec  

 

=  ∑

M= M

1

[

U

(17)

doivent minimiser la fonctionnelle :

k j

M i 2

j M i

x x et u x

u

➟ (

grad(u ) grad(u )

)

2

~ 1 t

h h

h = +

( ) ( ) ( )

( )

=

M N

2

N 3 N 3 i i

DF

U

U

ϑ

maillage.

du noeud chaque

sur ue) (quadratiq P

ou linéaire) tion

(extrapola P

~ est

maillage.

du élément chaque

sur P

est

2 1

0 K

K

ε ε

( ( )

N 3

)

i k

j k j

M i 3 2

1 j

3

1 k j

3

1

j j

M M i

i N

i [ [ U

x x

u~ 2

[ 1 x

~u u~

u : N de voisin

M +

∂ + ∂

∂ + ∂

=

∑ ∑∑

= =

=

eOpPHQWVOLQpDLUHV3

eOpPHQWVTXDGUDWLTXHV3

⇒ Extrapolation:

(18)

2. Extrapolation des contraintes:

3RLQWGH*DXVVYRLVLQ Q°XGFRXUDQW

YRLVLQDJHWRSRORJLTXH

...

[ x

~ ~

j 3

1

j j

M M ij

ij N

ij

+

∂ + ∂

= ∑

=

nœud M et N un point d ’intégration voisin, σ champ de contrainte à extrapoler :

(19)

– Efficacité des estimateurs :

Définition : Erreur estimée / Erreur exacte :

L ’estimateur est dit asymptotiquement exact si ξ

→ 1 lorsque ||e

h

|| → 0

En pratique l ’indice d ’efficacité apporte une correction sur l ’erreur estimée.

E h h

h E

= e

= −

(20)

2SWLPLVDWLRQGXPDLOODJH

$SSOLFDWLRQV

7HPSpUDWXUH

Poinçonnement des tôles

(21)

2SWLPLVDWLRQGXPDLOODJH

$SSOLFDWLRQ

Forgeage d ’un triaxe

(22)
(23)

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