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Chapitre IV : MATRICES CARRÉES INVERSIBLES ET APPLICATIONS
I- Matrice inverse d’une matrice carrée
Définition-propriété 1 : Soit ܣ une matrice carrée de taille ݊.
On dit que ܣ est inversible si et seulement s’il existe une matrice carrée ܤ de taille ݊ telle que : ܣ × ܤ = ܤ × ܣ = ܫ.
La matrice ܤ ainsi définie est unique.
On dit alors que la matrice ܤ est la matrice inverse de ܣ et on note : ܤ = ܣିଵ. Remarques :
1) Il suffit en fait de montrer que ܣ × ܤ = ܫ ou ܤ × ܣ = ܫ pour prouver que ܣ est inversible de matrice inverse ܤ (résultat admis).
2) Si l’une des conditions précédentes est vérifiée, on dit que ܣ et ܤ sont inversibles et inverses l’une de l’autre.
3) Tout nombre ܽ non nul admet un inverse noté ܽିଵ mais toute matrice non nulle n’admet pas forcément une matrice inverse…
Exemples :
1) ܫ× ܫ = ܫ : donc ܫ est inversible et égale à son inverse.
2) Pour ܣ = ቀ1 11 2ቁ et ܤ = ቀ 2 −1−1 1 ቁ : ܣ × ܤ = ቀ1 11 2ቁ ቀ 2 −1
−1 1 ቁ = ቀ2 − 1 −1 + 1
2 − 2 −1 + 2ቁ = ቀ1 0
0 1ቁ = ܫଶdonc ܣ est inversible et ܤ = ܣିଵ.
De même ܤ est inversible et ܣ = ܤିଵ.
Théorème 1 : Soit ܯ une matrice carrée de taille 2 : ܯ = ቀܽ ܾܿ ݀ቁ 1) Si ܽ݀ − ܾܿ ≠ 0, alors ܯ est inversible et ܯିଵ= ௗିଵ ቀ ݀ −ܾ−ܿ ܽ ቁ. 2) Si ܽ݀ − ܾܿ = 0, alors ܯ n’est pas inversible.
Remarque : Le nombre réel ܽ݀ − ܾܿ est appelé déterminant de la matrice ܯ.
Théorème 2 : Soient ܣ, ܯ, ܰ des matrices carrées de taille ݊ et ܱ la matrice nulle de taille ݊. On suppose de plus que A est inversible :
1) Si ܣ × ܯ = ܱ, alors ܯ = ܱ 2) Si ܣ × ܯ = ܣ × ܰ, alors ܯ = ܰ 3) Si ܣ × ܯ = ܰ, alors ܯ = ܣିଵ× ܰ
2 II- Application aux systèmes linéaires
Exemple :
On considère le système (S) suivant : ൜2ݔ − 3ݕ = 15ݔ − 7ݕ = 3 On pose ܣ = ቀ2 −35 −7ቁ, ܷ = ቀݔ
ݕቁ et ܸ = ቀ13ቁ La matrice colonne ܣܷ est égale à : ൬2ݔ − 3ݕ5ݔ − 7ݕ൰
Le système (S) est donc équivalent à l’égalité matricielle : ܣܷ = ܸ Théorème 3 : Soit ܣܷ = ܸ l’écriture matricielle d’un système linéaire.
Si la matrice carrée ܣ est inversible, alors le système admet une unique solution égale à la matrice colonne ܣିଵ× ܸ.
Propriété 2 (admise) : Soit ܣܷ = ܸ l’écriture matricielle d’un système linéaire.
Si la matrice carrée ܣ n’est pas inversible, alors le système admet une infinité de solutions ou aucune solution.
Résolution de l’exemple :
